1、案例“抛物线及其标准方程”中的概念设计。老教材在椭圆与双曲线中要学习第二定义，我们知道：按第二定义，当 01 时，轨迹是双曲线；那么，e=1 时轨迹又是什么呢？所以抛物线概念的引出不必花太多工夫，可以开门见山地直奔主题，但是新教材删除了第二定义，所以引出抛物线的概念就变得相当困难，如果教师把握不准课程标准和学科指导意见 ，就或多或少地增加了第二定义的内容，抛物线的教学仍然与老教材的教法一样；我也曾为了能够上好抛物线，也增加了第二定义的教学。这种做法“方便”了教学，却加重了学生的负担，现在回想实不可取。那么到底怎样设计教学呢？先看看教科书中的导语：“我们在操场上投掷篮球，或者进行排球比赛时向对方
2、抛发球，看到的篮球、排球运行的轨道是抛物线的形象，也就是说，在物理中，抛射体运动的轨迹是抛物线，教科书中的这段导语给了笔者一个启发-从学生已有的知识诱导出新概念，顺势我说在初中数学中，我们知道二次函数的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题， 那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？” 。因为学生已经具备椭圆、双曲线、初中层面抛物线的知识，从中挖掘分析，于是我对抛物线的概念教学进行了如下设计。第一步：在学生已有认知基础上设计问题，使学生初步体验新概念的一个具体背景。教师：前面我们已经学习了椭圆和双曲线的有关知识，请同学们试解决下面问题：问题 1：若点 满足 ，则
3、P 点的轨迹是-,Pxy222y-+xy=6（ ） （ ）_。（然后，学生开始思考或动笔，教师在教室巡视）学生 1：我利用平方化简，但没有做出来。教师：该同学平方化简，肯定可以得到答案，只是还需要一些时间,相信他一定能成功！学生 2：上面式子表示两点距离之和，根据椭圆定义可知，P 点轨迹是椭圆。众学生：是的。问题 2：若点 满足 ，则 P 点的轨迹是 ,xy222y-xy+=6（ ） （ ）。众学生：双曲线。教师：是双曲线吗？学生 3：应该是双曲线的上半支。由于第 1 题的解决对第 2 题有着提示和启发作用，所以第 2 题几乎所有学生都不再化简了，自然地联想到利用定义的解法中来，于是教师顺势抛
4、出第 3 题。问题 3：若点 满足 ，则 P 点的轨迹是 。,Pxy2y-+=0（ ）众学生：从条件的含义看，似乎不是椭圆，也不像双曲线，不太清楚。教师：到底轨迹是什么，学生 1 解问题 1 的方法会给我们很好的启示。（学生再次化简，片刻后，一致得到轨迹是抛物线，因为它的方程是 ，初中已经2y=8x学过）第二步：剖析问题 3 条件的几何意义，并推断是否具有一般性结论。教师：若把条件中的“2”改为其他数字（非零） ，结果如何？众学生：轨迹仍然是抛物线，只是方程中的数字不同而已。教师：那么条件所表示的几何意义又是什么呢？学生 4：原方程即 =y+2，左端表示点 到点 的距离，右22xy-（ ） ,
5、Pxy0,2端肯定不是两点的距离，但它是点 到直线 y=-2 的距离，等式表示两个距离相等。,Px第三步：类比推广，从具体实例中抽象出抛物线的概念。教师：从问题 3 的分析中我们可看出，满足这种条件的轨迹都是抛物线，于是我们抛弃这些具体的位置和数据外壳，得出抛物线的定义，请哪位同学根据上面的等式，说出抛物线的定义。学生 5：到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。教师：不太准确，应该添上“平面内”三字，完整的定义请同学们看课本，再通过教材中的实验演示我及动画来演示一下这个定义下的轨迹。课后反思：本设计从学生已有知识出发，由易到难设计了 3 个问题，让学生在问题解决的过程中对比发现，逆推出抛物线的定义，再结合教材中实物演示和多媒体动画的演示，会给学生留下较深刻的印象。事实上，在探讨中也让学习领悟了一些解析几何的思想方法，如根据定义判断轨迹、运算化简求轨迹等。我会让微型教学设计成为一种习惯。高中部：高二数学组 2012 年 2 月 22 日
