1、（二）案例回放1创设情境，提出问题教师：前面，我们学习了等差数列，大家知道等差数列是一类重要的特殊数列，它除了定义、通项公式、前 n 项和的公式以外，还有一些重要的性质，正确地、灵活地运用这些知识，可以使我们在求解等差数列的有关问题时得心应手。下面请大家看一个问题（投影显示）：问题：已知数列 nab和 都是等差数列， nST和 分别是它们前 n 项之和，且nS4+3=T25，求8ab。从不同的角度入手思考，可以得到这个问题的不同解法。请大家尝试，看谁解得快，解得好，想到的方法多。问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，他们跃跃欲试，立即投入到解法的探索中。2展示错解，暴露思维
2、学生求解的同时，教师在教室巡视，发现学生 1 和学生 2 很快得出了结果，他们所用的解法不同，但都是错误的，且具有一定的典型性和代表性，这时我请他们到黑板上将解题过程展示出来，以便组织学生展开讨论，进行辨析，学生 1：因为nS4+3=T25，因此，可设 nS=4n+3， nT=2n+5，于是 887 87 aa8(7)4,285(7)2,=bb故 得学生 2：因为nS4+3=T5，因此，可设 nS=k（4n+3） ， nT=k（2n+5） ，于是87 87ak8k7()63k,285k7(25)3kb（ ） （ ） 。3错解辨析，正本清源教师：学生 1 和学生 2 运用了两种不同的解法，所得的
3、结果都是 2，他们的解法对吗？学生 3：学生 1 的结论对，但解法不对，因为由nS4+3=T25，不能得到nS=4n+3， nT=2n+5，学生 2 的解法是对的。教师：学生 3 指出了学生 1 解法的错误所在，肯定了学生 2 的解法，大家有不同意见吗？学生 4：学生 2 的解法也不对，设 nS=k（4n+3） ， nT=k（2n+5） ，表明了数列nab和的前 n 项和都是 n 的一次式。而等差数列如果不是常数列，它的前 n 项和 S是一个形如 2+的二次式，因此应该设 n=kn（4n+3） ， n=kn（2n+5） ，从而得到。87 87=Sk483k7(43)6k,285k7(25)3k
4、bT（ ） （ ） 。故得 8a9b5。教师：学生 4 指出了学生 1 和学生 2 解法的错误所在，8a9=b5并给出了正确的解法与答案，非常好。由 n-S=a+d（ ）知，只有当等差数列是常数列时，才能将其前 n 项和设为 nab的形式，而本题并没有这样的条件，学生 1 和学生 2 犯了偷换题设的错误，其原因在于对等差数列的前 n 项和公式的特征认识不到位。4合作交流，深入探究教师：学生 4 抓住了等差数列前 n 项和公式的本质特征，给出的解法非常好，请大家进一步思考，这个问题能不能用其他方法来求解呢？可以相互讨论。 （经过一番探究和讨论，不少学生有了新的发现）学生 5：可以设等差数列 na
5、b和 的公差分别为 d 和 d，由已知恒等式，令 n=1，得n1nS+=Tb令 n=2，得121ad42+31=59；令 n=3，得1231+a=bbd。由解得 1174， ， ， 81763a=+7db4=d+， 81735b=+d=d4。故可得895。教师：很好。学生 5 抓住等差数列的基本量，运用从特殊入手的思想方法，找出两个等差数列的首项和公差的关系，通过减少未知量的个数，求出了8ab之比，很有创意。学生 6：（迫不及待的）我有更简便的解法。能够得解由n2-1S=T，能够得8a9=b5。教师：啊，很妙！利用等差数列的性质，将等差数列的通项 a 与前 n 项和 联系起来，在已知与未知之间
6、架起了桥梁。这种解法，我倒没有想到，真是青出于蓝啊！（谦虚一下，给予学生足够的肯定）学生 6 给我们解决这一类问题提供了一个很好的解法。一般地，如果已知两个等差数列 nab和 的前 n 项和的比值nSp+b=Tqc，求k，都可以按照学生 6的方法来解。这种方法操作方便，过程简捷。5 .再掀波涛，更进一步讨论到这里，学生都想松一口气了，但我意犹未尽，又提出了新的问题。教师：同学们，两个等差数列 nab和 的前 n 项和 nS与 之比一定能表示成关于 n的一次分式函数吗？（学生们又热烈地讨论起来了）学生 7：一定能，因为我能证明这一结论，由n1n1-S=a+dT=b+d22（ ） （ ） ， ，得
7、 1n11ana-pn+b2=-T qcb（ ） （ ）（ ） （ ）。教师：非常好，这一结论反映了等差数列的一个性质，可以把它作为一个定理，就叫做学生 7 定理吧！根据学生 6 的方法，我们知道在两个等差数列 nab和 中，一定有n1nSa+=Tb，这也可以作为一个定理，叫做学生 6 定理。围绕这个问题，你们还能得出什么结论来呢？学生 8：从学生 6 的方法中，我发现，可以把kab用 nS和 T的比表示出来。教师：是吗？说说看。学生 8：12k-kk12k- -1-a+a2+a=bbbT（ ）（ ）。教师：看来，探究是没有止境的，学生 8 证明了更漂亮的结论：在等差数列nab和 中，通项 n
8、ab和 之比与前 n 项和 nS和 T之比之间具有如下关系：2-1nS=T6.设置悬念，欲擒故纵探究到这里，很快就要下课了，为了进一步激发学生的学习兴趣，将探究活动持续和延伸到课外，我向学生提出了一个新的问题，让学生带着悬念走出课堂。教师：本节课，我们从一个等差数列问题的错解出发，通过大家的努力，不仅加深了对等差数列的概念、公式和性质的认识和理解，还发现了三个重要的结论，得到了两个等差数列前 n 项和的比值之间的关系。大家还有什么新的发现吗？你们有没有想到：更一般地，等差数列 a的前 m 项和与 nb的前 n 项和之比它们的通项的比之间又有什么关系呢？建议同学们课后做进一步的探究。（三）教学感
9、悟 英国心里学家贝恩布里说过：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用则是不能原谅的。 ”面对日常教学中学生出现的错解，教师怎样才能有效地帮助学生认识产生错误的原因，使学生从错误中走出来呢？实际教学中，很多时候教师喜欢采用“告诉”的方法，一是针对学生解题中出现的错误，进行集中讲评，告知学生错因和注意事项，要求学生不要再犯类似的错误，称为“亡羊补牢” ；二是对学生容易出错的问题，提前暗示，事先指出，让学生“防患于未然” 。但效果怎么样呢？往往是学生听起来懂，做起来错，学生责怪自己粗心，教师埋怨学生太笨，果真如此吗？症结何在？正如著名的数学教育家马明先生所说的那样：“犹如抛盘子节目，老师抛得越快，学生丢得也越快。 ”犯错误、纠正错误的过程也是一种学习，对错误的认识也应该由学生自己建构起来，成功的乐趣只有在经历失败的痛楚后才能获得更深切的体验。从学生的错误中发现“闪光点” ，变告诉为探究，让学生在探究、合作和交流中学习，是帮助学生纠正错误的最为有效的教学方法，从这堂课中我尝到了甜头，我会在教学中继续大力发扬这种做法。
