1、空间平面方程的求法1、 用参数方程题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。矢量式参数方程 = + t1 +t2 其中 =X1,Y1,Z1, =X2,Y2,Z2 r r0 r1 r2 r1 r2坐标式参数方程 210ZtzYyXtx例 1、 写出下面的参数方程：通过点 并平行于),3(A)1,03(),12(2vv解：所求的参数方程为 vuzyx31例 2、证明矢量 平行于平面 的充要条件为：,ZYXv 0DCzByAx0CZBYAX证明：不妨设 中的 ，把这平面的方程化为参数式：0DzByAx所
2、以平面的两方位矢量是 与 ,从而,vuvDx 0,1A1知 与已知平面共面的充要条件为 与 ， 共面，或,ZYXv v,B,C,即 . 01ACB0CZYAX如果在直角坐标系下，那么由于平面的法矢量为 ,所以 平行于平面的充要BAnv条件为 ，即 .0vn0CZBYX2、 用点位式方程题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。=0222111000ZYXzyx3、用三点式方程题目的条件是平面上的三个已知点。=0131313222zyx例 3、已知三角形顶点为 求平行于三角形 所在),2(),(),07(CBAABC的平面且与它相距为 2 个单位的平面方程.解：由已知，得 ，91
3、6zyx所以三角形 所在的平面方程为 .ABC014623zyx设与这个平面相距 2 个单位的平面方程为 DCBA由于 所以，71.8,01D因此所求的平面方程为 ，063zyx 02863zyx4、用一般式方程（ 不全为零， =-（Ax 0+By0+Cz0） ）CzByAxCBA,D注:在笛卡尔坐标系下，每个平面是含有 的三元一次方程。反之，该三元一次方zyx,程表示一个平面，且系数 组成平面的法向量，即 = , n CBA,平面过原点的充要条件是 0D平面过 z 轴的充要条件是 ,C平面过 x 轴的充要条件是 A平面过 y 轴的充要条件是 0,B平面平行于 z 轴的充要条件是 .DC平面平
4、行于 x 轴的充要条件是 .0,A平面平行于 y 轴的充要条件是 B例 4、求通过点（2，-1，1）与点（3，-2，1）且平行于 z 轴的平面的方程。解：设所求平面方程为 ,0Dyx由已知条件得 023DBA由此 ,所以所求的平面方程为 )1(:.1yx例 5、 求通过点（1，1，1）与点（1，0，2）且垂直于平面的62zyx平面的方程。解：设所求平面方程为 ,0DCzBA写出这个平面过已知两点且垂直于已知平面的条件20解之得， ,于是所求平面方程为CBA1zyx5、用截距式方程如果在一般式中 都不为零，则可改写成 （,D1czbyax）由此可知该平面是过三点CcBbAa, ).,0(,)0,
5、（平面在 轴， 轴，及 轴上的截距为xyz.,cba例 6、设平面在空间直角坐标系的第一挂限的部分与三个坐标平面所构成四面体的体积为 1，并且在三个坐标轴上的截距之比是 ,截距之和为 6，求该平面的1:23:方程。解：设所求平面方程为 ，1czbyax依题意， 应满足 cba,1:23:6)1cba（代入上式，解得 t=1，故所求平面的方程为,2,3tct令123zyx例 7、求三个平面与坐标平面重合，而与原点相对的顶点在平面上的立方体的棱长.01823zyx解：所给的平面可化为截距式方程为 ，所以截距分别为 ，09186zyx 9,186因此，立方体在这个平面上的顶点可设为 得 .),(,(
6、a3所以原点与点 连线所形成的立方体的体对角线长度为 ，），（ 327因此所求的立方体的棱长为 .例 8、求通过点 且在各坐标轴上截取等长线段的平面的方程.)2,4(A分析：所给的条件是在各坐标轴上截取的线段的长度相等，所以求解过程中应该注意截距有正负多种情况.解：当平面在 轴上的截距都为正时zy,x可设平面方程为 得,123a49a所以平面方程为 0zyx当平面在 轴上的截距为正，在 轴上的截距为负时，,可设平面方程为 得,123a45a所以平面方程为 0zyx当平面在 轴上的截距为正，在 轴上的截距为负时，z,可设平面方程为 得,123a43a所以平面方程为 0zyx当平面在 轴上的截距为
7、正，在 轴上的截距为负时，z, x可设平面方程为 得,123a4a所以平面方程为 0zyx6、用法式方程坐标式法式方程， （ 为原点到该平面的距离）coscospzyx例 9、把平面 的方程 化为法式方程，求自原点指向平面 014623yx 的单位法矢量及其方向余弦。解：因为 0.A2,DCBA所以取法式化因子 ,71122CBA将已知的一般方程乘上 = ，即得法式方程：7.02763zyx原点指向平面 的单位法矢量为 = ,n0 ，它的方向余弦为.76cos,2s,73cos点法式方程0)()()(00zCyBxA注 i ：在该方程中若没有常数项则平面经过原点。如果缺少一个有坐标的项，则平面
8、与相应坐标轴平行；如果同时缺少常数项和一个有坐标的项，则平面经过相应坐标轴。如果缺少两个有坐标的项，则平面与所缺项对应的两个轴的坐标平面平行。若果缺少两个坐标项及常数项，则平面与其中一个坐标平面重合。最后如果所有的坐标项都没有，而常数项异于 0，则方程没有意义。根据以上的六项注意，可以根据题目中给出的平面的特点设方程，使问题简化或者去验证所求出的方程是否符合条件。注 ii：在空间直角坐标系中利用点法式是确定平面方程的基本方法。所以如果确定了平面上的一点及其法矢量，就能人能够确定平面方程，因此问题的关键在于找出平面上的一点以及平面的法矢量。在下列例题中就是根据不同的已知条件求平面方程。已知条件一
9、：过一直线与一平面垂直，确定方程。（过两点与一平面垂直，确定方程。对于这种情形只要将一直两点连接起来得一直线问题就转化为上述情形。 ）例 10、求经过直线 ，且垂直于平面 。3121zyx 032zyx分析：因为平面经过直线，则一定经过直线上的点（1，2，-1） 。而且平面的法矢量与直线的方向矢量垂直，又因为所求平面垂直于已知平面，所以两平面的法矢量也垂直，于是所求平面的法矢量 可以由已知平面的法矢量 与已知直线的方向适量 的叉积来确定。n1nv解：取 = ，所求平面方程为3,751v0)132()1(zyx（）已知条件二：过一点且垂直于二平面，确定方程。（过一点且与而直线平行，确定方程。对于
10、这种情形所求平面的法矢量垂直于已知二直线的方向矢量，求解过程类比上述情形。 ）例 11、做平面通过原点，且垂直于两平面 和 。07zyx 05123zyx分析：所求平面垂直于已知的二平面，则所求平面的法矢量一定垂直于已知二平面的法矢量，所以所求平面的法矢量 等于已知二平面的法矢量的叉积。n解： =n5,1021由点法式，所求方程：03zyx已知条件三：过一直线与另一轴或者直线平行，确定方程。（过两点与一轴或者直线平行，确定方程，同样的将该情形中已知两点连接成一条直线就变成上述情形。 ）例 12、求通过直线 ，且平行于直线2312:1zyxL的平面方程。321:zyxL分析：所求平面通过直线 所
11、以所求平面的法矢量 一定垂直于直线 的方向矢量1n1L，而且过 上的点（1，-2 ，3） ，平面的法矢量也垂直于 的方向矢量 ，所以所求平1v 2L2v面的法矢量 2vn解： =-5，-10，0由点法式得： 03yx已知条件四：过一点和轴或者直线，确定方程。（过二平行直线，确定方程，该情形很容易转化为上述情形。 ）（过二相交直线，确定方程，该情形中可以取已知两直线上的的任一点为所求点，取这两条直线的方向适量的叉积为平面的法矢量。 ）例 13、 求通过点（1，3，-1）和直线 20103zyx分析：所求的平面通过已知直线，所以一定通过直线上的点 ,)13(0M而且通过已知点 ，所以所求平面的法矢量 与 垂直， 与),(1Mnn直线的方向向量 垂直。v解： =n2,4710由点法式得 017zyx已知条件五：过三点，确定方程。例 14、求过三点 的平面方程。),2(),(),20(31M分析：所求平面过已知三点，则所求平面的法矢量 一定垂直于 和 ，n21M31所以所求平面的法矢量 = .n21M31解： ，由点法式，所求平面方程为： 03zyx
