1、第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法A 级 基础巩固一、选择题1应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )结论的否定即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论A BC D解析：由反证法的定义知，可把作为条件使用，而原命题的结论是不可以作为条件使用的答案：C2(2014山东卷)用反证法证明命题：“设 a， b 为实数，则方程 x2 ax b0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )A方程 x2 ax b0 没有实根B方程 x2 ax b0 至多有一个实根C方程 x2 ax b0 至多有两个实根D方程 x2 ax b0 恰好有两个实根解析：
2、“方程 x2 ax b0 至少有一个实根”的反面是“方程 x2 ax b0 没有实根 ”答案：A3用反证法证明命题“若直线 AB、 CD 是异面直线，则直线 AC、 BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则 A、 B、 C、 D 四点共面，所以 AB、 CD 共面，这与 AB、 CD 是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线 AC、 BD 也是异面直线；假设直线 AC、 BD 是共面直线则正确的序号顺序为( )A BC D解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为.答案：B4(1)已知 p3 q32，求证 p q2，用反证法证明时，可假设 p q2，(2)已知 a， bR，| a| b|
3、2；(2)的假设正确答案：D5设实数 a、 b、 c 满足 a b c1，则 a， b， c 中至少有一个数不小于( )A0 B.13C. D112解析：假设 a， b， c 都小于 ，则 a b cb)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有_个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在 n 使得 an bn，由题意 ab， nN *，则恒有 anbn，从而 an2 bn1 恒成立，所以不存在 n 使 an bn.答案：0三、解答题9用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 有且只有一条直线 b 与已知直线 a 平行证明：由两条直线平行的定义可知，过点 A 至少有一条直线与直线 a 平行
4、假设过点 A 还有一条直线 b与已知直线 a 平行，即 b b A，b a.因为 b a，由平行公理知 b b.这与假设 b b A 矛盾，所以假设错误，原命题成立10已知 a， b， c， dR，且 a b c d1， ac bd1，求证： a， b， c， d 中至少有一个是负数证明：假设 a， b， c， d 都是非负数因为 a b c d1( a b)(c d)1又因为( a b)(c d) ac bd ad bc ac bd，所以 ac bd1.这与已知 ac bd1 矛盾，因此假设不成立所以 a， b， c， d 中至少有一个是负数B 级 能力提升1设 a， b， c 大于 0，则
5、 3 个数： a ， b ， c 的值( )1b 1c 1aA都大于 2 B至少有一个不大于 2C都小于 2 D至少有一个不小于 2解析：假设 a ， b ， c 都小于 21b 1c 1a则 a 2； a2 b22.其中能推出“ a， b 中至少有一个大于 1”的条件是_(填序号)解析：显然、不能推出，中 a b2 能推出“ a， b 中至少有一个大于 1”否则a1，且 b1，则 a b2 与 a b2 矛盾中取 a2， b0，推不出答案：3求证：1、 、2 不能为同一等差数列的三项3证明：假设 1， ，2 是数列 an(nN *)中某三项，3不妨设为 an1， am ， ap2，( n， m， p 互不相等)3由等差数列定义可有 am anm n ap anp n即 ，则 1 .3 1m n 1p n 3 m np n由于 m， n， p 是互不相等的正整数，所以 必为有理数，而 1 是无理数，二者不会相等m np n 3所以假设不成立，结论正确
