线性空间和线性映射

1、2012 级旅游管理页 1线性空间的结构和性质简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。域的概念：首先介绍数域的概念：设 F 是至少包含两个数的数集，如果 F 中任意两个数的和、差、积、商(除数不为 0)仍是 F 中的数，则称 F 为一个数域。常见的数域有：复数域 C、实数域 R、有理数域 Q，但是自然数集 N 和整数集 Z 都不是数域。 以下是线性空间严格的定义：设 V 是一个非空集合，F 是一个数。

2、01:25,1,5 线性映射及其矩阵的运算,线性映射与矩阵的加法运算 线性映射与矩阵的数乘运算 线性映射与矩阵的乘法运算 乘法满足分配律、结合律，但不满足交换律,01:25,2,线性映射与矩阵的加法运算,01:25,3,矩阵的加法运算,01:25,4,线性映射与矩阵加法的基本性质,01:25,5,线性映射的数乘运算,基本性质:,01:25,6,矩阵的数乘运算,我们把矩阵 C 称为矩阵 A 与数k的数乘，记为C = kA.,基本性质:,01:25,7,例题 5.1,解:,(1) 原式=,01:25,8,线性映射与矩阵的乘法运算,可以作出它们的乘积映射：,01:25,9,矩阵的乘法运算(1),由线性映射与矩阵的对应关系。

3、第一章 线性空间与线性变换1.1 线性空间1.2 两个特殊的线性空间1.3 线性变换及其矩阵,第二章 特征值与特征向量 Jordan 标准形2.1 线性变换的特征值与特征 向量 2.2 矩阵的对角化 2.3 Jordan 标准形 2.4 凯莱-哈密顿定理,第三章 矩阵分解,3.1 Hermite二次型及其分类 3.2 正规矩阵及Hermite二次型的标准型 3.3 矩阵的UR分解 3.4 矩阵的秩分解 3.5 矩阵的最大秩分解 3.6 矩阵的奇异值分解 3.7 单纯矩阵的谱分解,第四章 向量的范数与矩阵的范数4.1 向量的范数 4.2 矩阵的范数,第五章 矩阵分析及其应用5.1 矩阵极限5.2 矩阵级数5.3 矩阵函数5.4。

4、线性空间习题,所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：,1次数等于,解：不构成。因两个n,次多项式相加不一定是n,次多项式。例如,的实系数多项式的全体，对于,多项式的加法和数量乘法；,解：构成.令 | 为实系数多项式， 是 实矩阵,则有,由于矩阵的加法和数量乘法满足线性空间定义的18条规则，故,2设,是一个,构成线性空间。,实矩阵，,的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；,的实系数多项式,3全体,解：构成。 因为实对称(反对称，上三角，下三角）之和、之倍数仍为实对称(反对称，上三角，下三角），故做成线性空间。,级实对称（反对称，上。

5、第六章 习题课,一、线性空间的定义,定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):,设, , , O V, 1, l, k R,(1) 加法交换律: a+b =b +a ;(2) 加法结合律: (a+b )+g =a+(b +g ) ; (3) 零元素: 存在O V, 对任一向量a , 有a+O=a ;,(4) 负元素: 对任一元素aV, 存在 V,。

6、第六章 线性空间与线性变换,第一节 线性空间的定义与性质,第二节 维数、基与坐标,第三节 基变换与坐标变换,第四节 线性变换,第五节 线性变换的矩阵,6.1 线性空间的定义与性质,定义1 设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任意两个元素 V ，总有唯一的一个元素 V 与之对应，称为 的和，记作 ；对于任一个数kR与任一个元素 V ，总有唯一的一个元素 V 与之对应，称为k与 的积，记为,两种运算满足以下八条运算规律 （对任意 V , R）：,返回,上一页,下一页,V就称为R上的向量空间(或线性空间),V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数。

7、第三章 线性空间与线性变换,3.1 线性空间的定义与性质,0,数轴,平面,三维空间,常见的几何空间：,几何空间R3的运算,运算规律,加法：,数乘：,对几何空间进行推广，通过抽象出几何空间线性运算的本质；在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。,线性空间,若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作,定义 设 是一个非空集合， 为一个数域如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律:,那么 就称为数域 上的线性空间,2 判。

8、2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,小结与习题,第六章 线性空间,6.3 维数 基 坐标,一、线性空间中向量之间的线性关系,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3 维数 基与坐标,6.3 维数 基 坐标,引 入,即线性空间的构造如何？,怎样才能便于运算？,问题,如何把线性空间的全体元素表示出来？,这些元素之间的关系又如何呢？,（基的问题）,问题,线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？,。

9、第六章 线性空间及线性变换,一、基本概念和重要结果,1.空间的直和,我们用W=V1+V2记子空间V1与V2的和,用W=V1V2记W是V1与V2的直和.,(1) W=V1V2当且仅当W=V1+V2,对任意的 有 ,其中 ,i=1,2,且表示法是唯一的.,(2) W=V1V2当且仅当W=V1+V2且零向量的表示法是唯一的.,(3) W=V1V2当且仅当W=V1+V2且V1V2=0.,(4) W=V1V2当且仅当W=V1+V2且W的维数=V1的维数+V2的维数.,(5) 若 是线性空间V的一组基,则其中 表示由 生成的子空间.,(6) 若W=V1+V2且V1与V2正交,则W=V1V2.,上面的结论可推广到多个子空间的情况.,(7) 设线性变换/A的特征多项式为:则V可分解为A。

10、Title,Subtitle,Insert Slide Title,Introduction,Strategy,Challenges Forward,Conclusion,Insert Slide Title,Click to edit your subject 1,Click to edit your subject 1,Click to edit your subject 1,Conclusion 1,Conclusion 2,Click to edit your subject 2,Click to edit your subject 2,Click to edit your subject 2,Insert Slide Title,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,。

11、02:24,1,4 线性映射及其矩阵,线性映射的定义 若干例子 线性映射的确定 取定定义域的一组基，则线性映射由基向量的象确定 线性映射的矩阵 分别取定定义域和值域的基，则线性映射与矩阵有着一一对应的关系,02:24,2,线性映射的定义,02:24,3,例子 4.1: 线性函数,定义,02:24,4,例子 4.2: 射影变换,02:24,5,例子 4.3: 平面上的旋转变换,写成映射的形式:,02:24,6,例子 4.4 平面上的镜像变换等,(点 P 与它的像关于直线 y=x 对称),02:24,7,线性映射的基本性质,02:24,8,线性映射的确定: 例子,02:24,9,线性映射的确定: 例子(2),所以,02:24,10,线性映。

12、第六章 线性空间,2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,主要内容,子空间的交,第六节 子空间的交与和,子空间的和,子空间的交与和的性质,例题,子空间的交与和的维数,一、子空间的交,1. 定义,定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空,间, 称,V1 V2 = |。

13、课程概述,矩阵论课程是专门为工科研究生开设的数学课程。 矩阵论的内容是根据国家教育部课程指导委员会关于工科研究生数学课程教学的基本要求编写而成。 矩阵论介绍的理论是现代数学的重要基础。 矩阵论是工科研究生必备的核心基础知识，是工科研究生的必修课。,I. 先修课程,矩阵论主要以大学线性代数为先修课程，可以同济大学数学系编著的线性代数教材书为参考书。 矩阵论还以大学高等数学为先修课程，可以同济大学数学系编著的高等数学教材书为参考书。 本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经掌握相关的知识。,II. 主要内容,。

14、1第六章 线性空间和欧式空间1 线性空间及其同构一 线性空间的定义设 V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法 则， 对于 V 中任意两个元素 和 ，在 V 中都有唯一的一个元素 与他们对应，成 为 与 的和， 记为 。在数域 K 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域 K 中任一数 k 与 V 中任一元素，在 V 中都有唯一的一个元素 与他们对应，称 为 k 与 的数量乘积， 记为 ，k如果加法与数量乘法满足下述规则，那么 V 称为数域 K 上的线性空间。加法。

15、第 7 章 一般向量空间与线性变换 第 5 讲17.5 线性映射和向量空间的同构本节内容需分两次课上完1. 线性映射的定义和基本性质如何建立两个集合之间的联系呢？映射。当然向量空间之间也可以通过映射相互联系，但映射只是给出元素之间的对应，在向量空间中，向量之间还有线性关系，我们自然希望映射和线性关系之间能“和谐”相处。由此有了线性映射的概念。定义 1 设 是域 上的两个向量空间, 如果存在映射 使得,VWK:VW(1) 保持加法运算 : 即对任意 , 有,V()();(2) 保持纯量乘积 : 即对任意 和 , 有kK.k则称 是从 到 的线性映射.注 1 定义的第。

16、广义线性判别函数,出发点 线性判别函数简单，容易实现； 非线性判别函数复杂，不容易实现； 若能将非线性判别函数转换为线性判别函数，则有利于模式分类的实现。,广义线性判别函数,基本思想设有一个训练用的模式集x，在模式空间x中线性不可分，但在模式空间x*中线性可分，其中x*的各个分量是x的单值实函数，x*的维数k高于x的维数n，即若取x* = (f1(x), f2(x), ., fk(x), kn则分类界面在x*中是线性的，在x中是非线性的，此时只要将模式x进行非线性变换，使之变换后得到维数更高的模式x*，就可以用线性判别函数来进行分类。 描述,广义线性判。

17、第一章,线性空间和线性映射,本章知识要点,线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换； 线性空间的分解：子空间、值域(像空间)与核空间(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和； 线性变换及其矩阵表示：定义、运算、值域与核空间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变子空间、Jordan标准形; 欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、标准正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、正规矩阵与可对角化、谱分解。 Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。,集合,集合 元。

18、第一章,线性空间和线性映射,本章知识要点,线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换；线性空间的分解：子空间、值域(列空间)与核空间(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和；线性变换及其矩阵表示：定义、运算、值域与核空间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变子空间、Jordan标准形;欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、标准正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、正规矩阵与可对角化、谱分解。Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。,集合,集合元素、子。

19、第一节 线性空间,一： 线性空间的定义与例子,定义 设 是一个非空的集合， 是一个数域， 在集和 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 用 来表示; 另一种是数乘运算, 并且 这两种运算满足下列八条运算律：,第一章 线性空间和线性映射,（1） 加法交换律,（2） 加法结合律,（3） 零元素 在 中存在一个元素 ，使得对 于任意的 都有,（4） 负元素 对于 中的任意元素 都存 在一个元素 使得,（5）,（6）,（7）,（8）,且这两种运算满足封闭性，则 称这样的 为数域 上的线性空间。,例 1 全体实函数集合 构成实数域 上的 线性空间。,例 2 复数域 上。

20、矩阵理论,其中,为,维输入变量，,维状态向量，,为,矩阵理论的简单应用,一 矩阵在线性系统与多变量控制中的应用 线性系统状态空间的线性微分方程组为,第一章 线性空间和线性映射,分别为,m维输出向量，矩阵,为,型矩阵且均为时间,的函数。,定义：如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常系统。其状态空间线性方程为 考虑一个线性定常系统,定义 对于上述系统，如果从状态空间中。