基和维数

1、1,3 维数 基与坐标,主要内容,向量的线性相关性,线性空间的维数,目录 下页 返回 结束,基与坐标,2,一、向量的线性相关性,首页 上页 下页 返回 结束,3,首页 上页 下页 返回 结束,4,首页 上页 下页 返回 结束,5,以上概念与 n 元数组相应概念的关系,以上定义与 n 元数组相应概念的定义完全相同因为以 n 元数组为元素的向量空间，就是我们这里所定义的线性空间的一个实例. 不仅如此，在第三章中，从这些定义出发对n 元数组所作的那些论证也完全可以搬到数域 P 上的抽象的线性空间中来并得出相同的结论.,首页 上页 下页 返回 结束,6,几个常用结论。

2、6.2 线性空间的维数、基与坐标,一、线性空间的基与维数,已知: 在Rn中, 线性无关的向量组最多由n个向量组成, 而任意n+1个向量都是线性相关的.,问题1: 在线性空间中是否也可以定义线性无关的概念?问题2: 线性空间的一个重要特征在线性空间V中, 最多能有多少线性无关的向量?,定义: 设V为线性空间, 对1, 2, , m V, 如果存在不全为零的数 k1, k2, ,kmR, 使 k11 + k22 + + kmm = 0 则称1, 2, , m是线性相关的, 否则称它是线性无关.,定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, , nV, 满足:(1) 1, 2, , n 线性无关;(2) V中任意元素总可以由1, 2, 。

3、1、基和维的概念,2、再论线性代数方程组的解,5.3 向量空间的基和维,定义 设V为向量空间 如果r个向量a1 a2 arV 且满足(1) a1 a2 ar 线性无关 (2)V中任一向量都可由a1 a2 ar 线性表示 那么 向量组a1 a2 ar 就称为向量空间V的一个基 r 称为向量空间V的维数 并称V为 r 维向量空间,注（1）只有零向量的向量空间没有基 规定其维数为0 （2）若把向量空间V看作向量组 则向量空间V的基就是向量组的最大无关组 向量空间V的维数就是向量组的秩 （3） 向量空间的基不唯一.,5.3.1 基和维,定义 如果在向量空间V中取定一个基a1 a2 ar 那么V中任一向量 x 。

4、第六章线性空间 3维数基与坐标 一 线性变换的定义 Definition2 1 线性组合 2 等价 定义3设 1 2 是V中两个向量组 如果 1 中每个向量都可以用向量组 2 线性表出 那么称向量 1 可以用向量组 2 线性表出 如果 1 。

5、第6章,线性空间与线性变换,线性空间是线性代数最基本的概念之一,它,线性空间是为了解决实际问题而引入的,它,一、线性空间的定义,是向量空间概念的推广,是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际,问题看作线性空间,进而通过研究线性空间来解,决实际问题,1 线性空间的概念,个元素 与之对应,称为 与 的和,记作,记作,若对于任一数 与任一元素 ,总有唯一,的一个元素 与之对应,称为数 与 的积,定义 1 设 是一个非空集合, 为一数域，,如果对于任意两个元素 , 总有唯一的一,如果上述两种运算满足以下八条运算规律,那么, 就称为数域 上的线性空间。

6、1,第三节 向量空间的基、维数 与坐标,一 向量空间,二 向量空间的基、维数与坐标,三 基变换与坐标变换,四 小结,2,说明,一、向量空间,定义3.18 设 是非空 维向量的集合，若 对于向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称 为一个向量空间,集合 对于加法及乘数两种运算封闭是指,3,4,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,5,解,对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭.,6,二、向量空间的基、维数与坐标,定义3.19 设 是向量空间，如果 个向量 且满足,（1） 线性无关；,（2） 中任一向量都可由 线性表示.,7,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量。

7、5 线性子空间的基与维数,重点 1、线性空间基、维数、坐标的概念,一、线性子空间基的定义与判定,2、基的判定方法,设W是线性空间V的一个线性子空间，,定义5.1,3、线性空间基的性质,向量组 称为W的一个基，,W的,如果它满足,（1） W的每个向量都可由 线性表示；,（2） W的每个向量由 线性表示唯一。,注释1,设 是线性子空间W的一个基，,对任意的,向量,令,称有序数组 是 在基 下坐标.,（1）由上面定义知零子空间没有基。,（2）线性子空间中一个基的向量是有序的。,（3）线性空间的基是线性空间的一个框架，,表示空间的每个向量，,它能,也就确定。

8、,一、线性空间的基与维数,已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的,问题：线性空间的一个重要特征在线性空 间 中，最多能有多少线性无关的向量？,当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的,定义,二、元素在给定基下的坐标,注意,线性空间 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的,例 所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性 空间对于 中的矩阵,新泰洛其 新泰洛其价格 新泰洛其批发 www.。

9、一、线性空间中向量之间的线性关系,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3 维数 基与坐标,引 入,即线性空间的构造如何？,怎样才能便于运算？,问题,如何把线性空间的全体元素表示出来？,这些元素之间的关系又如何呢？,（基的问题）,问题,线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？,（坐标问题）,一、线性空间中向量之间的线性关系,1、有关定义,设V 是数域 P 上的一个线性空间,则称向量 可经向量组 线性表出；,使,若向量组 中每一向量皆可经向量组,线性表出，则称向量组,可经向量组 线性表出；。

10、6.2 线性空间的维数、基与坐标,一、线性空间的基与维数,已知: 在Rn中, 线性无关的向量组最多由n个向量组成, 而任意n+1个向量都是线性相关的.,问题1: 在线性空间中是否也可以定义线性无关的概念?问题2: 线性空间的一个重要特征在线性空间V中, 最多能有多少线性无关的向量?,定义: 设V为线性空间, 对1, 2, , m V, 如果存在不全为零的数 k1, k2, ,kmR, 使 k11 + k22 + + kmm = 0 则称1, 2, , m是线性相关的, 否则称它是线性无关.,定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, , nV, 满足:(1) 1, 2, , n 线性无关;(2) V中任意元素总可以由1, 2, 。

11、第三节 向量空间的基、维数,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作 .,1、向量空间的概念,定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间,1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间,实例,2、子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，,3、向量空间的基与维数,定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为,。

12、,一、线性空间的基与维数,已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的,问题：线性空间的一个重要特征在线性空 间 中，最多能有多少线性无关的向量？,当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的,定义,二、元素在给定基下的坐标,注意,线性空间 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的,例 所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性 空间对于 中的矩阵,三、线性空间的同构,定义 设 是两个线性空。

13、,一、线性空间的基与维数,已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的,问题：线性空间的一个重要特征在线性空 间 中，最多能有多少线性无关的向量？,当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的,定义,二、元素在给定基下的坐标,注意,线性空间 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的,例 所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性 空间对于 中的矩阵,三、线性空间的同构,定义 设 是两个线性空。

14、12:31,1,5 线性子空间的基与维数,基的定义、基的验证 可以表示所有向量的线性无关向量组 基的存在性、性质 存在（无穷多） 基之间的线性表示关系 每一组基所含向量的个数相等（维数） 维数和秩的概念,12:31,2,基的概念,且表示方式唯一,定义 5.1. 设 W是 V的一个 (线性)子空间,12:31,3,例题5.1,证明:,且表示方式唯一,12:31,4,例题 5.2,则W中元素可表示成,下证表示方式唯一.,12:31,5,关于基的说明,基于上面的讨论, 我们得到结论:,1) 个数足够多.,12:31,6,理论结果(1),proof,定理 5.3. 设W 是 V上的一个非零子空间, 则 W 中有一组基.,proof,。

15、第三节 维数 基与坐标,一、线性空间中向量之间的线性关系,二、线性空间的维数、基与坐标,线性空间是线性代数最基本的概念之一。,这一节我们来介绍它的定义，,并讨论它的一些,线性空间也是我们碰到的第一,在引入定义,先看几个熟知的例子。,一、引例,最简单的性质。,个抽象的概念。,为了说明它的来源，,之前，,例1,在第三章2中，我们讨论了数域P上的n维,向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：,一、线性空间中向量之间的线性关系,1、有关定义：,和式:,(2)线性表出:,若存在,(1) 线性组合:,V 是数域 P 上的一个线性空间,V 是数域 P 上。

16、1,向量空间、基和维数,2,一、向量空间概念,则称V是向量空间,定义 设V是非空的n维向量的集合，如果（1）V对加法运算具有封闭性，即 ， 有（2） V对数乘运算具有封闭性，即,3,特例： 1、 只有一个零向量所构成的向量空间 称为零空间。2、所有的n维向量全体构成一个最大的向量空间,4,5,二、向量空间的基与维数,定义,且满足：,(1) 1, 2, , r 线性无关；,(2) V 中任一向量都可以由1, 2, , r 线性表示；,则称1, 2, , r 为V的一组基底，简称基，,r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。,设V为向量空间，若存在1, 2, , r V.,6,注1：若将向量空间V。

17、6.2 维数、基、坐标,向量的线性相关、线性无关 线性空间的维数、基、坐标,一. 向量的线性相关（无关）,* 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.,二. 维数、基、坐标,定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性 无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性 无关，则称 V是无限维的，记成dimV=. 线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无。

18、2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,小结与习题,第六章 线性空间,6.3 维数 基 坐标,一、线性空间中向量之间的线性关系,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3 维数 基与坐标,6.3 维数 基 坐标,引 入,即线性空间的构造如何？,怎样才能便于运算？,问题,如何把线性空间的全体元素表示出来？,这些元素之间的关系又如何呢？,（基的问题）,问题,线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？,。

19、第6章 向量空间,6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间,6.4 基和维数,一、内容分布,6.4.1 生成子空间,6.4.2 向量空间的基,6.4.4 子空间的和、直和、余子空间,6.4.3 向量空间的维数,二、教学目的,三、重点、难点,1掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法,2理解基在向量空间理论中所起的作用,基和维数的概念及求法、维数定理,3了解子空间的和、直和、余子空间,四、难点,子空间的直和、余子空间,6.4.1 生成子空间,1、设V是数域F上向量。