1、5 线性子空间的基与维数,重点 1、线性空间基、维数、坐标的概念,一、线性子空间基的定义与判定,2、基的判定方法,设W是线性空间V的一个线性子空间，,定义5.1,3、线性空间基的性质,向量组 称为W的一个基，,W的,如果它满足,（1） W的每个向量都可由 线性表示；,（2） W的每个向量由 线性表示唯一。,注释1,设 是线性子空间W的一个基，,对任意的,向量,令,称有序数组 是 在基 下坐标.,（1）由上面定义知零子空间没有基。,（2）线性子空间中一个基的向量是有序的。,（3）线性空间的基是线性空间的一个框架，,表示空间的每个向量，,它能,也就确定了空间的结构。,（4）直观上将，基就是“最大”
2、线性无关向量组。,如何判定一个向量组是否是线性子空间的基呢？,命题5.1,设W是线性空间V的一个线性子空间，,向量组 是W的一个基，,W的,当且仅当它满足,（1） W的每个向量都可由 线性表示；,上面命题5.1的条件（2）（线性无关）代替了定义5.1的条件（2）（表示唯一），因此由命题3.3即可证明该结论,（2） 线性无关。,例5.1,显然,因此，由例3.7知向量组 线性无关。,证明下面向量组是线性空间 的一个基，,并且求向量 在该基下坐标。,证明,令,解得坐标为,即任意向量都可由 线性表示 。,由命题5.1知 是一个基且向量 坐标为,几个例子表明：线性空间的基不是唯一的，基中的向量是有序的。
3、,注释2,例子表明线性空间 一定有基。,（1）一般线性子空间一定有基吗？,（2）基中向量个数都相等吗？,（3）线性子空间中的基个数有限还是无限？,引理5.2 设 与 是线性空,i) 向量组 可经 线性表出；,则向量组 必线性相关。,ii),间V 的两个向量组，,如果两个向量组满足,二、线性子空间基的性质,要证 线性相关，,使得,证明,由条件i)，,作线性组合,令,即证有不全为零的数,常数,显然这组不全为0的数 也使,从而 线性相关。,把它看成一个方程组，看它有无非零解,使,由条件ii)，,所以它有非零解。,的个数 s ，,该方程组中方程的个数r 未知量,已经知道,线性空间 的一个基。,对 的任
4、意向量组,由于 中每个向量都可由,线性表示，,于是由命题5.2知 线性相关。,推论5.3,中线性无关的像两个数不超过n.,事实上线性无关向量个数恰好是n,定理5.4,数域K上n维向量空间V的每个非0子空间,W都存在基。,证明,令 是W的一个线性无关向,因为W是非0子空间，,所以W存在线性无关,的向量组。,量组，,满足对W的任意向量,向量组,都线性相关。,于是 可由 线性表示，,注释3,教材求 的过程类似一个“算法”，,该过程可转化为矩阵来实现。,引理5.2可等价的表述为,引理5.2 设 与 是线性空,i) 向量组 可经 线性表出；,ii)向量组 线性无关,间V 的两个向量组，,如果两个向量组满
5、足,则,推论5.5,设W数域K上n维向量空间V的子空间,则,W 的所有基都包含相同个数的向量。,证明,由于B可由A线性表示并且B线性无关，,假设下面是W 的两个任意基,于是,由于A可由B线性表示并且A线性无关，,于是,因此，,定义5.2,设W数域K上n维向量空间V的非0子空间,则W 的一个基包含的向量个数成为W 的维数。,特别规定零子空间的维数为0.,利用线性子空间的维数定义向量组的秩如下,定义5.3,设 是向量空间V上的向量，,称,的维数为向量组 的秩。,注释4,零子空间是维数等于0的唯一子空间。,线性子空间的维数就是线性无关向量的最大个数。,从维数的定义可以得到下面几个显然的结论。,命题5.7,设W和Z都是线性空间V的子空间，,设W数域K上n维向量空间V的r 维子空间,则W 的任意r个线性无关向量都构成W 的一个基。,命题5.6,并且,则,命题5.8,设W和Z都是线性空间V的子空间，,如果,且,则,例5.2（Ex 3）,下面的证明方法类似引理5.2。,考虑下面的线性表示,于是,线性无关,因此，得到,线性无关,只有零解,只有零解,作业：P168 Ex 1, 2(2),
