1、1,向量空间、基和维数,2,一、向量空间概念,则称V是向量空间,定义 设V是非空的n维向量的集合，如果（1）V对加法运算具有封闭性，即 ， 有（2） V对数乘运算具有封闭性，即,3,特例： 1、 只有一个零向量所构成的向量空间 称为零空间。2、所有的n维向量全体构成一个最大的向量空间,4,5,二、向量空间的基与维数,定义,且满足：,(1) 1, 2, , r 线性无关；,(2) V 中任一向量都可以由1, 2, , r 线性表示；,则称1, 2, , r 为V的一组基底，简称基，,r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。,设V为向量空间，若存在1, 2, , r V.,6,注1：若将向量
2、空间V看成无穷个向量组成的向量组，其基就是其极大线性无关组，其维数就是其秩。,注2：零空间 没有基，规定其维数为0。,7,例如：对于Rn,(1) 基本单位向量组 是一组基，称为标准基。,(2) 1 = (1, 0, 0, 0), 2 = (1, 1, 0, 0), ，n = (1, 1, 1) 也是基。,原因是什么？,8,三、向量在给定基下的坐标,定义4.2,设1, 2, , n 是向量空间 V 的一组基，任取 V, 都有, = x11 + x22 + + xnn,且组合系数 x1, x2, , xn 唯一，称为向量 在基 1, 2, , n 下的坐标，记为 (x1, x2, , xn),为什么唯一,9,例如：在 R3 中，, = (2, 3, 1)T,= 213 2 + 1 3,注：1、基并不是唯一的2、向量在不同基坐标也不同,10,例,求向量 在如下基下的坐标,
