1、第6章 向量空间,6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间,6.4 基和维数,一、内容分布,6.4.1 生成子空间,6.4.2 向量空间的基,6.4.4 子空间的和、直和、余子空间,6.4.3 向量空间的维数,二、教学目的,三、重点、难点,1掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法,2理解基在向量空间理论中所起的作用,基和维数的概念及求法、维数定理,3了解子空间的和、直和、余子空间,四、难点,子空间的直和、余子空间,6.4.1 生成子空间,1、设V是数域F上向量空间，
2、 是V 中r个向量，则,构成V的一个子空间。,L( ),即L( ),或L( ),L( ),3、可以由有限个向量生成的子空间叫做有限生成子空间。,4、几点注意,(1)生成子空间提供了一种构造子空间的方法；,(2)有限生成的子空间所含向量个数不一定有限；,只有L(0)=0所含向量个数是有限的；,(3)除零空间外，任意一个向量空间都可以构造出无数个子空间，当然其中可能有许多是相同的；,(4)等价的向量组生成相同的子空间。,5、定理6.4.1 设 是向量空间V 的一组不全为零的向量,而 是它的一个极大无关组。那么,根据这个定理,如果有限生成子空间 不等于零子空间, 那么它总可以由一组线性无关的生成元生
3、成。,6.4.2 向量空间的基,（1） 线性无关；,（2）V的每一个向量都可以由 线性表示。,1、定义 设V是数域F上一个向量空间，如果在V中存在一组向量 满足：,4、有限生成的非零向量空间一定有基，其基就是生成元组的一个极大无关组。,5、一个向量空间如果有基的话，其基一般并不唯一。但一个向量空间的任意两个基是彼此等价的，并且所含向量个数相同。,6.4.3 向量空间的维数,1、定义 一个向量空间V的基所含向量个数叫做V的维数。记作dimV。,零空间的维数定义0。,2、n维向量空间中任意多于n个向量的向量组一定线性相关。,3、定理6.4.4 设 是n维向量空间中一组线性无关的向量那么总可以添加
4、n r 个向量 ，使得 作成的一个基。特别地，n维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以取作基。,4、定理6.4.5 设和都是数域上向量空间的有限维子空间那么也是有限维的，并且,dim（） dimdimdim（）,维数公式,6.4.4 子空间的和、直和、余子空间,1、子空间的和,(1)直和的定义,2、子空间的直和,(2)直和的等价条件,证明：（1）（2）（3）（4） （1）,3、余子空间,(1)定理：设W是向量空间V的一个子空间，那么一定存在V的一个子空间U，使得,(2)定义：设W是向量空间V的一个子空间，如果V的子空间U满足 ，则称U为W的一个余子空间。,例11、在几何空间V3中，W为过原点的平面，那么W的余子空间是任一过原点且不在此平面内的直线。,(3) 余子空间不唯一。,课堂练习,P235-236：1,5,课外作业,P236：2,3,4,7,
