1、1,3 维数 基与坐标,主要内容,向量的线性相关性,线性空间的维数,目录 下页 返回 结束,基与坐标,2,一、向量的线性相关性,首页 上页 下页 返回 结束,3,首页 上页 下页 返回 结束,4,首页 上页 下页 返回 结束,5,以上概念与 n 元数组相应概念的关系,以上定义与 n 元数组相应概念的定义完全相同因为以 n 元数组为元素的向量空间，就是我们这里所定义的线性空间的一个实例. 不仅如此，在第三章中，从这些定义出发对n 元数组所作的那些论证也完全可以搬到数域 P 上的抽象的线性空间中来并得出相同的结论.,首页 上页 下页 返回 结束,6,几个常用结论,1. 单个向量 是线性相关的充分必
2、要条件是, = 0 .,两个以上的向量 1 , 2 , , r 线性相关的,充分必要条件是其中有一个向量是其向量的线性组,合.,证,只证两个以上的情形.,先证必要性.,设 1 , 2 , , r 线性相关，则,存在不全为零的数 k1 , k2 , , kr 使得,k11 + k22 + + krr = 0.,首页 上页 下页 返回 结束,7,为表述简便，不妨设 k1 0 , 于是,即 1 可由2 , 3 , , r 线性表出.,必要性得证.,再证充分性.,设 1 , 2 , , r 中的一个向量,j 可由其余向量线性表出，即,j = l11 + + lj-1j-1 + lj+1j+1 + +
3、lrr ,于是,l11 + + lj-1j-1 +(-1)j + lj+1j+1 + + lrr = 0,首页 上页 下页 返回 结束,8,由于l1 , , lj-1 , -1 , lj+1 , , lr 不全为零，所以 1 ,2 , , r 线性相关，充分性得证.,2. 如果向量组1 , 2 , , r 线性无关, 而且可以被 1 , 2 , , s 线性表出，那么 r s .,证,用反证法.,假设 r s .,由已知 1 , 2 , r 可以被 1 , 2 , , s 线性表出，即,为了找出矛盾，又设,x11 + x22 + + xrr = 0 ,首页 上页 下页 返回 结束,9,即,令上
4、式中 j ( j = 1, 2, , s ) 的系数全为零，得,这是一个关于 x1 , x2 , , xr 的齐次线性方程组，,由于方程的个数 s r (未知量的个数)，因此方程,组必有非零解,从而有不全为零的 数x1 , x2 , , xr,使 x11 + x22 + + xrr = 0 , 故1 , 2 , , r 线性,相关与已知矛盾.,因此 r s .,首页 上页 下页 返回 结束,10,由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必定含有相同个数的向量.,3. 如果向量组1 , 2 , , r 线性无关，但向量组 1 , 2 , , r , 线性相关，那么 可以被 1 , 2 , , r
5、线性表出，而且表法是唯一的.,证,由于向量组 1 , 2 , , r , 线性相关,所以存在不全为零的数 k1 , k2 , , kr , k，使得,k11 + k22 + + krr + k = 0 ,其中 k 必不等于零.,因为如果 k = 0 ，则由 1 , 2 , r 线性无关又得 k1 , k2 , , kr 必全为零，与题,首页 上页 下页 返回 结束,11,设矛盾.,于是由上式可得,即 可由 1 , 2 , , r 线性表出.,再证表示法唯一.,设有两种表示法：, = k11 + k22 + + krr , = l11 + l22 + + lrr ,于是,(k1 - l1)1 +
6、 (k2 - l2) 2 + + (kr - lr) r = 0，,由于1 , 2 , , r 线性无关，所以 ki - li = 0，即,ki = li ，i = 1 , 2 , , r .,故表示法唯一.,首页 上页 下页 返回 结束,12,例 1 证明,线性无关.,证,设有三个数 k1 , k2 , k3 使,k1 p1(x) + k2 p2(x) + k3 p3(x) = 0 ,即,k1( 1 + x ) + k2( 1 - x ) + k3( x + x2 ) = 0 ,也即,( k1 + k2 ) + ( k1 - k2 + k3 ) x + k3 x2 = 0 ,于是,k1 +
7、k2 = 0； k1 - k2 + k3 = 0； k3 =0 .,从而得 k1 = k2 = k3 = 0 .,首页 上页 下页 返回 结束,13,首页 上页 下页 返回 结束,14,首页 上页 下页 返回 结束,15,二、线性空间的维数,我们知道，对于几何空间中的向量，线性无关,的向量最多是 3 个，而任意 4 个向量都是线性相关,的.,对于 n 元数组所成的向量空间，有 n 个线性无,关的向量，而任意 n + 1 个向量都是线性相关的.,在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性无,关的向量，显然是线性空间的一个重要属性.,为此，我们引入,首页 上页 下页 返回 结束,16,定义5 如果在线
8、性空间V中, 存在n个线性无关的向量, 而没有更多数目的线性无关的向量, 则称V是n维的 (即V是n维线性空间) ; 如果在V中, 存在任意多个线性无关的向量, 则称V是无限维的.,例如,平面上所有向量组成的线性空间是二维的;几何空间中所有向量组成的线性空间是三维的.,n 元数组所成的空间是 n 维的；,由所有实系数多项式所成的实线性空间是无限,维的，因为对于任意的 n , 都有 n 个线性无关的向,量,1 , x , , x n - 1 .,首页 上页 下页 返回 结束,17,三、基与坐标,注:(1)一个非零的有限维线性空间的基不唯一. 任意交换一个基的向量的次序则表示另外的基.,首页 上页
9、 下页 返回 结束,18,线性空间的维数与基有如下关系,定理 1 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无,关的向量 1, 2 , , n ,且 V 中任一向量都可以用,它们线性表出，那么 V 是 n 维的,而 1, 2 , , n,就是 V 的一组基.,证,因为 1, 2 , , n 是线性无关的,所以,V 的维数至少是 n .,为了证明 V 是 n 维的, 只须,证 V 中任意 n + 1 个向量必定线性相关.,设,1 , 2 , , n + 1,是 V 中任意 n + 1 个向量，它们可以用 1, 2 , ,首页 上页 下页 返回 结束,19, n 线性表出.,假设它们线性无关，就有 n
10、+ 1 n ,于是得出矛盾.,线性空间V中一组向量 构成基,这时n称为V的维数, 记为dim(V)=n.,零空间的维数定义为零.,的条件:,首页 上页 下页 返回 结束,20,例 5 在线性空间 P x n 中，,1 , x , , x n - 1,是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的,数域 P 上的多项式都可以被它们线性表出，,P x n 是 n 维的，而 1 , x , , x n - 1 就是它的基.,所以,首页 上页 下页 返回 结束,21,如果在 V 中取另外一组基,那么按泰勒展开公式,因此， f (x) 在基 1 , 2 , , n 下的坐标是,首页 上页 下页 返回 结束,22,首页 上页 下页 返回 结束,23,注: 同一向量在不同基下的坐标一般是不同的.,首页 上页 下页 返回 结束,24,首页 上页 下页 返回 结束,行变换,25,所以,则所求坐标为,首页 上页 下页 返回 结束,26,例 8 如果复数域 K 看作是自身上的线性空间,那么它是一维的，数 1 就是一组基；,如果看作是,实数域上的线性空间，那么就是二维的，数 1 与 i,就是一组基.,这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域,有关的.,首页 上页 下页 返回 结束,27,首页 上页 返回 结束,
