11.2 矩阵与线性变换

1、第6讲_线性空间与线性变换,线性空间与线性变换,线性空间和线性变换,线性空间的线性变换,数一考线性空间和线性变换吗,一维线性空间所有线性变换,线性变换和线性空间是什么意思,考研线性空间与线性变换,设T是线性空间R3的线性变换,设a是线性空间v上的线性变换。

2、课程概述,矩阵论课程是专门为工科研究生开设的数学课程。 矩阵论的内容是根据国家教育部课程指导委员会关于工科研究生数学课程教学的基本要求编写而成。 矩阵论介绍的理论是现代数学的重要基础。 矩阵论是工科研究生必备的核心基础知识，是工科研究生的必修课。,I. 先修课程,矩阵论主要以大学线性代数为先修课程，可以同济大学数学系编著的线性代数教材书为参考书。 矩阵论还以大学高等数学为先修课程，可以同济大学数学系编著的高等数学教材书为参考书。 本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经掌握相关的知识。,II. 主要内容,。

3、选考部分选修4 2矩阵与变换第一节线性变换与二阶矩阵 1 线性变换 1 在平面直角坐标系xOy内 很多几何变换具有下列形式 其中系数a b c d均为常数 我们把形如 的几何变换叫做线性变换 式叫做这个线性变换的坐标变换公式 P x y 是。

4、第六章 习题课,一、线性空间的定义,定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):,设, , , O V, 1, l, k R,(1) 加法交换律: a+b =b +a ;(2) 加法结合律: (a+b )+g =a+(b +g ) ; (3) 零元素: 存在O V, 对任一向量a , 有a+O=a ;,(4) 负元素: 对任一元素aV, 存在 V,。

5、第六章 线性空间与线性变换,第一节 线性空间的定义与性质,第二节 维数、基与坐标,第三节 基变换与坐标变换,第四节 线性变换,第五节 线性变换的矩阵,6.1 线性空间的定义与性质,定义1 设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任意两个元素 V ，总有唯一的一个元素 V 与之对应，称为 的和，记作 ；对于任一个数kR与任一个元素 V ，总有唯一的一个元素 V 与之对应，称为k与 的积，记为,两种运算满足以下八条运算规律 （对任意 V , R）：,返回,上一页,下一页,V就称为R上的向量空间(或线性空间),V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数。

6、第三章 线性空间与线性变换,3.1 线性空间的定义与性质,0,数轴,平面,三维空间,常见的几何空间：,几何空间R3的运算,运算规律,加法：,数乘：,对几何空间进行推广，通过抽象出几何空间线性运算的本质；在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。,线性空间,若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作,定义 设 是一个非空集合， 为一个数域如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律:,那么 就称为数域 上的线性空间,2 判。

7、第 26 卷 第 3 期 孝 感 学 院 学 报 VOL . 26 NO. 32006 年 5 月 J OURNAL OF XIAO GAN UNIV ERSIT Y MA Y. 2006 线 性 变 换 及 矩 阵 可 交 换 的 性 质 与 应 用曾 梅 兰(孝 感 学 院 数 学 系 ,湖 北 孝 感 432000)摘 要 :给 出 了 两 线 性 变 换 可 交 换 的 概 念 ,研 究 了 线 性 变 换 及 矩 阵 可 交 换 的 性 质 及 其 应 用 。关 键 词 :线 性 变 换 ;特 征 值 ;特 征 向 量 ;矩 阵中 图 分 类 号 :O151. 2 文 献 标 识 码 :A 文 章 编 号 :1671O2544 (2006) 03O0044O03近 些 年 来 在 高 等 代 数 考 研 试 题 中 ,经 常 有。

8、第五章线性空间与线性变换 1线性空间的概念 线性空间也是线性代数的中心内容之一 本章介绍线性空间的概念及其简单性质 讨论线性空间的基和维数的概念 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示 一 数域 1 0 1 K 定义5 1设K是一个数集 如果 2 a b K 都有a b K a b K ab K 且当b 0时 a b K 那么称K是一个数域 可见 有理数集Q 实数集R 复数集C都是数域 数集 也是。

9、第一章 线性空间与线性变换,本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。,“抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949年诺贝尔物理奖获得者）。,“用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化，并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。,几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。,1。

10、 6 2线性变换的矩阵 一 线性变换与基 二 线性变换与矩阵 一 线性变换与基 的线性变换 则对任意存在唯一的一组数 设是线性空间V的一组基 为V 使 从而 由此知 由完全确定 一组基在下的像即可 所以要求V中任一向量在下的像 只需求出V的。

11、7.4 线性变换在基下的矩阵,第七章 线性空间,下的像为,定义,设,是向量空间,中的线性变换，,在,中取定一个基,，若基,在线性变换,（7.6）,记,（7.6）式可表示为,其中,（7.7）,下的矩阵。,称,为线性变换,在基,下面介绍求线性变换在基下矩阵的方法：,（1）定义法。,的导数。,例,在,中取一个基,求线性变换,在此基下的矩阵,，其中,表示对,解,即,下的矩阵为,故,在基,下的坐标分别为,（。

12、总学时： 32 学分：2 先修课程: 线性代数，现代控制理论 教学目的:矩阵理论是系统与控制科学的数学基础之一，本课程主要介绍系统与控制学科中用到的矩阵理论，包括线性空间与线性变换、-矩阵与Jordan 标准型、矩阵分解、 矩阵范数、矩阵函数、线性矩阵不等式等，为从事系统和控制科学的各专业领域的教学和科研奠定良好的基础。 考核方式：大作业（40%）与闭卷考试（60%） 教师：刘冀伟（1-3）、丁大伟（4-6）,系统与控制中的矩阵理论,系统与控制中的矩阵理论,黄琳. 系统与控制理论中的线性代数.科学出版社，1984 须田信英等.自动控制中的。

13、 5线性变换的矩阵表示 线性变换的矩阵 线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 线性变换的秩 下页 关闭 为了将线性变换的讨论转化为矩阵的讨论 我们必须建立线性变换与矩阵之间的联系 线性变换的矩阵 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页。

14、3 线性变换及其矩阵表示,一、线性变换的引入,在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此，为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于1还是小于1，图像就能够被放大或者缩小。,线性变换的定义,例1,判断下面两个从R3到R2变换的类型（线性或非线性）。

15、4.2 线性变换的矩阵,一、线性变换在基下的矩阵,二、相似矩阵,一、 线性变换在基下的矩阵,的线性变换. 则对任意 存在唯一的一组数,设 是线性空间V的一组基， 为V,使,从而，,由已知，即得,证：对,证：,定义,易知 为V的一个变换，下证它是线性的.,任取 设,则,于是,为V的线性变换.,又,设 为数域P上线性空间V的一组基，,为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设,定义4.2.1,用矩阵表示即为,其中, 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；,零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；,矩阵A称为线性变换 在基 下的矩阵.,数乘变换在任意一。

16、,一、 线性变换与基,二、 线性变换与矩阵,三、 相似矩阵,3 线性变换的矩阵,为V的线性变换，若,则,命题1,设 是线性空间V 的一组基，,即：一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.,一、 线性变换与基,命题2,设 是线性空间V的一组基，对V中,即：任意给定基的像都决定一个线性变换.,由命题1和命题2即得,定理1 设 为线性空间V的一组基，,对V中任意n个向量 存在唯一的线性,变换 使,设 为数域P上线性空间V的一组基，,为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设,用矩阵表示即为,二、线性变换与矩阵,1线性变换的矩阵,其中, 单位变换在任意。

17、显然，线性映射就是保持线性运算的映射，线性变换是线性空间到自身的线性映射,1.3 线性变换及其矩阵,1.3.1 线性变换的概念,注意 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无关向量组变成线性相关向量组例如，零变换把任何线性无关向量组都变成线性相关向量组,1.3.2 线性变换的运算,1.3.3 线性变换的矩阵,该定理说明，线性空间V中的线性变换T在两个不同基下的矩阵是相似的反过来也可以证明，两个相似矩阵总可以看成某一线性变换在两个不同基下的矩阵,。

18、第一章 线性空间与线性变换1.1 线性空间1.2 两个特殊的线性空间1.3 线性变换及其矩阵,第二章 特征值与特征向量 Jordan 标准形2.1 线性变换的特征值与特征 向量 2.2 矩阵的对角化 2.3 Jordan 标准形 2.4 凯莱-哈密顿定理,第三章 矩阵分解,3.1 Hermite二次型及其分类 3.2 正规矩阵及Hermite二次型的标准型 3.3 矩阵的UR分解 3.4 矩阵的秩分解 3.5 矩阵的最大秩分解 3.6 矩阵的奇异值分解 3.7 单纯矩阵的谱分解,第四章 向量的范数与矩阵的范数4.1 向量的范数 4.2 矩阵的范数,第五章 矩阵分析及其应用5.1 矩阵极限5.2 矩阵级数5.3 矩阵函数5.4。

19、1,. 矩阵的初步概念 与线性变换,矩阵概念的引入,线性变换与矩阵的关系,矩阵的乘法,2,一、矩阵概念的引入,几个引例,（）考察三位同学上学期无机、高数两门课程 的成绩：,上面的数表完全刻画了三位同学的考试情况,3,系数,常数项,（）线性方程组,解的情况完全取决于,对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.,线性方程组的系数和常数项按原相对位置可排为,4,（）四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位,量的售价(以某种货币单位计)可用以下数表给出,在科学技术领域和生活实践中，许多对象都可以采用上边的数表形式表示，进而进行研究,5,。