线性空间

1、第六章 线性空间,2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,主要内容,子空间的交,第六节 子空间的交与和,子空间的和,子空间的交与和的性质,例题,子空间的交与和的维数,一、子空间的交,1. 定义,定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空,间, 称,V1 V2 = |。

2、第六章 习题课,一、线性空间的定义,定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):,设, , , O V, 1, l, k R,(1) 加法交换律: a+b =b +a ;(2) 加法结合律: (a+b )+g =a+(b +g ) ; (3) 零元素: 存在O V, 对任一向量a , 有a+O=a ;,(4) 负元素: 对任一元素aV, 存在 V,。

3、第六章 线性空间与线性变换,第一节 线性空间的定义与性质,第二节 维数、基与坐标,第三节 基变换与坐标变换,第四节 线性变换,第五节 线性变换的矩阵,6.1 线性空间的定义与性质,定义1 设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任意两个元素 V ，总有唯一的一个元素 V 与之对应，称为 的和，记作 ；对于任一个数kR与任一个元素 V ，总有唯一的一个元素 V 与之对应，称为k与 的积，记为,两种运算满足以下八条运算规律 （对任意 V , R）：,返回,上一页,下一页,V就称为R上的向量空间(或线性空间),V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数。

4、第三章 线性空间与线性变换,3.1 线性空间的定义与性质,0,数轴,平面,三维空间,常见的几何空间：,几何空间R3的运算,运算规律,加法：,数乘：,对几何空间进行推广，通过抽象出几何空间线性运算的本质；在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。,线性空间,若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作,定义 设 是一个非空集合， 为一个数域如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律:,那么 就称为数域 上的线性空间,2 判。

5、第五章线性空间与线性变换 1线性空间的概念 线性空间也是线性代数的中心内容之一 本章介绍线性空间的概念及其简单性质 讨论线性空间的基和维数的概念 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示 一 数域 1 0 1 K 定义5 1设K是一个数集 如果 2 a b K 都有a b K a b K ab K 且当b 0时 a b K 那么称K是一个数域 可见 有理数集Q 实数集R 复数集C都是数域 数集 也是。

6、向量空间一 判断题平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 作成实数域 上(1) ,kR的向量空间. ( ) .平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 作成实数域 上(2) 0,的向量空间. ( ).一个过原点的平面上所有向量的集合是 的子空间. ( ).(3) 3V所有 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间 的子空间. ( ).4n()nMR为 的子空间. ( ).(5)121,)|,niixx所有 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间 的子空间. ( ). 6 ()n为 的子空间. ( ).(7)11,0,)|,nxxR n若 是数域 上的 维向量空间 的一组基, 那么8234F4V1234,是 的一组基. ( ).V维向量空间 的任意。

7、线性空间习题,所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：,1次数等于,解：不构成。因两个n,次多项式相加不一定是n,次多项式。例如,的实系数多项式的全体，对于,多项式的加法和数量乘法；,解：构成.令 | 为实系数多项式， 是 实矩阵,则有,由于矩阵的加法和数量乘法满足线性空间定义的18条规则，故,2设,是一个,构成线性空间。,实矩阵，,的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；,的实系数多项式,3全体,解：构成。 因为实对称(反对称，上三角，下三角）之和、之倍数仍为实对称(反对称，上三角，下三角），故做成线性空间。,级实对称（反对称，上。

8、1第一讲 线性空间一、 线性空间的定义及性质知识预备集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（ ） ，交（ ）另外，集合的“和” （）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零） 。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C） 。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。1 线性空间的定义：设 。

9、第六章 线性空间及线性变换,一、基本概念和重要结果,1.空间的直和,我们用W=V1+V2记子空间V1与V2的和,用W=V1V2记W是V1与V2的直和.,(1) W=V1V2当且仅当W=V1+V2,对任意的 有 ,其中 ,i=1,2,且表示法是唯一的.,(2) W=V1V2当且仅当W=V1+V2且零向量的表示法是唯一的.,(3) W=V1V2当且仅当W=V1+V2且V1V2=0.,(4) W=V1V2当且仅当W=V1+V2且W的维数=V1的维数+V2的维数.,(5) 若 是线性空间V的一组基,则其中 表示由 生成的子空间.,(6) 若W=V1+V2且V1与V2正交,则W=V1V2.,上面的结论可推广到多个子空间的情况.,(7) 设线性变换/A的特征多项式为:则V可分解为A。

10、线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇- 1 -第五讲 线性空间与线性变换一、基本概念1. 数域 数的集合，且K1) ；0,12) 关于 运算封闭 .,例如：数域 ,QRC* 任意数域都包含有理数域（有理数域是最小的数域）. 数域有无穷多.2. 数域 上的线性空间 非空集合 + 数域 + 集合 在数域 上关于“+”与“数乘”运算封闭 + KKVKVK八条规律线性空间也称为向量空间，其中的元素也称为向量.* 维实向量线性空间nnR例如，例 5.1-例 5.73. 子空间 1) ；KUKV2) 且 是数域 上的线性空间 .生成子空间 1) ；K12,sK2) . （P84 例 5.10）1212,ssULkkkK 4. 基。

11、第一节 线性空间,一： 线性空间的定义与例子,定义 设 是一个非空的集合， 是一个数域， 在集和 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 用 来表示; 另一种是数乘运算, 并且 这两种运算满足下列八条运算律：,第一章 线性空间和线性映射,（1） 加法交换律,（2） 加法结合律,（3） 零元素 在 中存在一个元素 ，使得对 于任意的 都有,（4） 负元素 对于 中的任意元素 都存 在一个元素 使得,（5）,（6）,（7）,（8）,且这两种运算满足封闭性，则 称这样的 为数域 上的线性空间。,例 1 全体实函数集合 构成实数域 上的 线性空间。,例 2 复数域 上。

12、 第一讲 线性空间 一 线性空间的定义及性质 知识预备 集合 笼统的说是指一些事物 或者对象 组成 的整体 集合的表示 枚举 表达式 集合的运算 并 交 另外 集合的 和 并不是严格意义上集合的运算 因为它限定了集合中元素须有可加性 数域 一种数集 对四则运算封闭 除数不为零 比如有理数域 实数域 R 和复数域 C 实数域和复数域是工程上较常用的两个数域 线性空间是线性代数最基本的概念之一 也是学。

13、1第六章 线性空间和欧式空间1 线性空间及其同构一 线性空间的定义设 V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法 则， 对于 V 中任意两个元素 和 ，在 V 中都有唯一的一个元素 与他们对应，成 为 与 的和， 记为 。在数域 K 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域 K 中任一数 k 与 V 中任一元素，在 V 中都有唯一的一个元素 与他们对应，称 为 k 与 的数量乘积， 记为 ，k如果加法与数量乘法满足下述规则，那么 V 称为数域 K 上的线性空间。加法。

14、Title,Subtitle,Insert Slide Title,Introduction,Strategy,Challenges Forward,Conclusion,Insert Slide Title,Click to edit your subject 1,Click to edit your subject 1,Click to edit your subject 1,Conclusion 1,Conclusion 2,Click to edit your subject 2,Click to edit your subject 2,Click to edit your subject 2,Insert Slide Title,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,Click to edit text,。

15、线性空间 31设 是 矩阵，其中()ijAan,1aijij（a）求行列式 的值，这里 表示矩阵 A 的行列式；detAdet(b) 设 ，求 W 的维数及 W 的一组基。0WX2设 A 是元素全为 1 的 n 阶方阵， 是 阶单位矩阵。En（1）求行列式 的值,其中 是实常数；abA,ab(2) 已知 , 试确定 所满足的条件，并求下列线性子空间的()rk,维: 0,nWxaEbxR3设 与 分别是数域 上 8 元齐次线性方程组 与 的解空间，如果12K0AXB，那么 。12,rankArBW12dim()W4设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间, 是 V 上的非退化的反对称双线性函数 ,I 是 V 的子空间,记,)xy证明:|,()0,IvxvI（I）dim。

16、矩阵理论,其中,为,维输入变量，,维状态向量，,为,矩阵理论的简单应用,一 矩阵在线性系统与多变量控制中的应用 线性系统状态空间的线性微分方程组为,第一章 线性空间和线性映射,分别为,m维输出向量，矩阵,为,型矩阵且均为时间,的函数。,定义：如果上述方程中的矩阵 都是常数矩阵，则称该系统是线性定常系统。其状态空间线性方程为 考虑一个线性定常系统,定义 对于上述系统，如果从状态空间中。

17、广义线性判别函数,出发点 线性判别函数简单，容易实现； 非线性判别函数复杂，不容易实现； 若能将非线性判别函数转换为线性判别函数，则有利于模式分类的实现。,广义线性判别函数,基本思想设有一个训练用的模式集x，在模式空间x中线性不可分，但在模式空间x*中线性可分，其中x*的各个分量是x的单值实函数，x*的维数k高于x的维数n，即若取x* = (f1(x), f2(x), ., fk(x), kn则分类界面在x*中是线性的，在x中是非线性的，此时只要将模式x进行非线性变换，使之变换后得到维数更高的模式x*，就可以用线性判别函数来进行分类。 描述,广义线性判。

18、线性空间子空间子空间就是线性空间的非空集合对于其中的运算也构成一个空间，而 span v1,v2.,vn 表示由 v1,v2.,vn 张成的子空间，即 v1,v2.,vn 所有可能的线性组合构成的子空间。子空间是空间，从而子空间存在着基底，子空间的任何一个基底张成的空间就是这个子空间本身。综上：子空间可以看成一些向量张成的空间，而由一些向量 v1,v2.,vn 张成的空间 span v1,v2.,vn 一定是一个子空间。2、R3 中的一条通过原点的直线是 R3 的子空间。按照子空间的判断方法，只需要验证对其加法和数乘运算封闭即可。这里的加法是向量加法，数乘是数和向量。

19、课程概述,矩阵论课程是专门为工科研究生开设的数学课程。 矩阵论的内容是根据国家教育部课程指导委员会关于工科研究生数学课程教学的基本要求编写而成。 矩阵论介绍的理论是现代数学的重要基础。 矩阵论是工科研究生必备的核心基础知识，是工科研究生的必修课。,I. 先修课程,矩阵论主要以大学线性代数为先修课程，可以同济大学数学系编著的线性代数教材书为参考书。 矩阵论还以大学高等数学为先修课程，可以同济大学数学系编著的高等数学教材书为参考书。 本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经掌握相关的知识。,II. 主要内容,。