1、1第一讲 线性空间一、 线性空间的定义及性质知识预备集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（ ） ，交（ ）另外，集合的“和” （）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零） 。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C） 。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。1 线性空间的定义：设 是一个非空集合，其元素用 等表示； 是一个数域，Vx,yzK其元素用 等表示。如果 满
2、足如下 8 条性质，分两类k,lmV（I）在 中定义一个“加法”运算，即当 时，有唯一的,V和 （封闭性） ，且加法运算满足下列性质xy（1）结合律 ； xyzxz（2）交换律 ；（3）零元律 存在零元素 o，使 o ；2（4）负元律 对于任一元素 ，存在一元素 ，使xVyVo，且称 为 的负元素，记为（ ） 。则有 o。xyxx（II）在 中定义一个 “数乘”运算，即当 ， 时，有VkK唯一的 （封闭性） ，且数乘运算满足下列性质k（5）数因子分配律 ； kxyk（6）分配律 ； llx（7）结合律 ； （8）恒等律 ； 数域中一定有 11x则称 为数域 上的线性空间。VK注意：1）线性空间
3、不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。（2）两种运算、八条性质数域 中的运算是具体的四则运算，而 中所定义的加法KV运算和数乘运算则可以十分抽象。（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。当数域 为实数域时， 就称为实线性空间； 为复数域，KVK就称为复线性空间。V例 1 设 全体正实数，其“加法”及“数乘”运算定义为Rx y=xy , kxo3证明： 是实数域 R 上的线性空间。证明 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性唯一性和封闭性唯一性显然若 x0,y
4、0, ，则有kRx y=xy 封闭性得证。kxoR八条性质（1） x （y z）=x(yz)=(xy)z=(x y) z（2） x y=xyyx= y x（3） 1 是零元素 x 1 x o=xxo=xo=1=（4） 是 x 的负元素 x x+y=o 1（5） （x y） x y 数因子分配律kokyok（6） （ x） （ x） 分配律llll（7） 结合律kll（8） 恒等律1xo由此可证， 是实数域 R 上的线性空间。2 定理：线性空间具有如下性质（1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。（2） 如下恒等式成立： o， 。0x1x证明 （ 1）采用反证法：零元素是唯一的。 设存
5、在两个零元素 o1 和 o2，则由于4o1 和 o2 均为零元素， 按零元律有 交换律 o1o 2o 1 o2o 1o 2所以 o1o 2即 o1 和 o2 相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。任一元素的负元素也是唯一的。假设 ，存在两个负xV元素 和 ，则根据负元律有yzoxyzyoxoz零元律 结合律 零元律即 和 相同，故负元素唯一。z（2） ：设 w=0x，则 x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故 w=o。恒等律 ：设 w=(1)x，则 x+w=1x+(1)x=1+(1)x=0x=o，故 w=x。3 线性相关性线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。线性组合：
6、12m12mx,V,cKLLi1cx称为元素组 的一个线性组合。12mx,5线性表示： 中某个元素 x 可表示为其中某个元素组的线性组V合，则称 x 可由该元素组线性表示。线性相关性：如果存在一组不全为零的数 ，使得12mc,KL对于元素 有12m,Li1cx0则称元素组 线性相关，否则称其线性无关。线性相关性概12mx,念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。4 线性空间的维数定义：线性空间 中最大线性无关元素组所含元素个数称为 的维VV数，记为 。dim本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及 。例 2. 全体 mn 阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对
7、于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算） ，求其维数。解 一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。令 Eij 为这样的一个 mn 阶矩阵，其（i, j）元素为 1，其余元素为零。显然，这样的矩阵共有 mn 个，构成一个具有 mn 个元素的线性无关元素组 。另一121n22nm12n,;E,;E,LLL6方面，还需说明元素个数最大。对于任意的 ，都可由以ijmnAa上元素组线性表示， ij,AaEij, 0即 构成了最大线性无关元素组，所以该空间ijE|1mn:的维数为 mn。二、 线性空间的基与坐标1 基的定义：设 V 是数域 K 上的线性空间，是属于 V 的 r 个任意元素，如果它
8、满足2rx,1L（1） 线性无关；1（2）V 中任一向量 x 均可由 线性表示。12r,xL则称 为 V 的一个基，并称 为该基的基元素。12rx,Lr,基正是 V 中最大线性无关元素组；V 的维数正是基中所含元素的个数。基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等。例 3 考虑全体复数所形成的集合 C。如果 KC（复数域） ，则该集合对复数加法和复数复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为 1；如果取 KR（实数域） ，则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为1,i，空间维数为 2。7数域 K 两种运算 基 一般元素空间类型维数复数域 C（1）复数加法；（2）复数对复
9、数的数乘1c1复线性空间1实数域 R（1）复数加法；（2）实数对复数的数乘1,ica1bi实线性空间22 坐标的定义：称线性空间 的一个基 为 的一nV12nx,LV个坐标系， ，它在该基下的线性表示为：nxi1iiK,则称 为 x 在该坐标系中的坐标或分量，记为 12n,LT讨论：（1）一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。（2）更进一步，原本抽象的“加法”及 “数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。8112n12nxy
10、(x)(xx)LL12n)()正对应 12n12nx(,)xy,y,LL212n nkkxkx,k正对应 12nx(,)L12nx,L（3）显然，同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关系。三、 基变换与坐标变换基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。设 是 的旧基， 是 的新基，由于两者都12nx,LV12ny,LV是基，所以可以相互线性表示( )njij1cxi1,即 121n212n12n 2n1n2nccy,x, x,CLLLLMO其中 C 称为过渡矩阵，上式就给出了基变换关系，可以证明，C 是可逆的。9设 ，它在旧基下的线性表示为nxV1n2i12
11、n1x,xLM它在新基下的线性表示为12i nn121 xy,yLM则 12n 1 2122ny,x,LL由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系12nCM12n12nCM补充：证明对于线性空间的零元素 o， ，均有 koo。kK线性子空间一、线性子空间的定义及其性质1. 定义：设 V1 是数域 K 上的线性空间 V 的一个非空子集合，且对10V 已有的线性运算满足以下条件（1） 如果 x、y V1，则 xy V1；（2） 如果 x V1，k K，则 kx V1，则称 V1 是 V 的一个线性子空间或子空间。 2. 性质：（1）线性子空间 V1 与线性空间 V 享有共同的零元素；（2）V 1
12、中元素的负元素仍在 V1 中。证明 （1） 0xQV 中的零元素也在 V1 中，V 1 与 V 享有共同的零元素。（2） 1x（1）x=(x) 封闭性1V1 中元素的负元素仍在 V1 中3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间：0 和 V 本身非平凡子空间：除以上两类子空间4. 生成子空间：设 x1、x 2、x m 为 V 中的元素，它们的所有线性组合的集合 mii1k|K,12L也是 V 的线性子空间，称为由 x1、x 2、x m 生（张）成的子空间，记为 L(x1、x 2、x m)或者Span(x1、x 2、x m)。若 x1、x 2、x m 线性无关，则11dimL(x
13、1、 x2、x m)=m5. 基扩定理：设 V1 是数域 K 上的线性空间 Vn 的一个 m 维子空间，x1、x 2、x m 是 V1 的一个基，则这 m 个基向量必可扩充为 Vn 的一个基；换言之，在 Vn 中必可找到n-m 个元素 xm+1、x m+2、x n，使得x1、x 2、x n 成为 Vn 的一个基。这 n-m 个元素必不在 V1 中。二、子空间的交与和1.定义：设 V1、V 2 是线性空间 V 的两个子空间，则12x|,12y分别称为 V1 和 V2 的交与和。2.定理：若 V1 和 V2 是线性空间 V 的两个子空间，则 ，12VV1V 2 均为 V 的子空间证明 （1） 12
14、x,yI2xy12xyI12IkKV12VI是 V 的一个线性子空间。12I（2） x,12y,1(y)12(x)1212(x)11212(y)V12121212(xy)()(x)(y)VkK1kV12()是 V 的子空间。124. 维数公式：若 V1、V 2 是线性空间 V 的子空间，则有dim(V1+V2)+ dim( )= dimV1+ dimV2证明 设 dimV1=n1, dimV2=n2, dim( )=m需要证明 dim(V1+V2)n 1n 2m设 x1、x 2、x m 是 的一个基，根据基扩定理V存在 1）y 1、y 2、y n1m V1，使x1、x 2、x m、 y1、y
15、2、y n1m 成为 V1 的一个基；2）z 1、z 2、 zn2m V2，使x1、x 2、x m、 z1、z 2、z n2m成为 V2 的一个基；考察x1、x 2、x m、 y1、y 2、y n1m 、z 1、z 2、z n2m ，若能证明它为 V1+V2 的一个基，则有 dim(V1+V2)n 1n 2m。成为基的两个条件：1） 它可以线性表示 V1+V2 中的任意元素132） 线性无关显然条件 1）是满足的，现在证明条件 2） ，采用反证法。假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为 0 的数k1、 k2、k m、 p1、p 2、p n1m 、q 1、q 2、qn2 m 使 iiixyz0
16、令 ，则i2zqV但ii2kpV12I根据基扩定理 ， ix1iyx1、x 2、x m、 y1、y 2、y n1m 成为 V1 的一个基 ip0同理： iqik0这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为 V1+V2 的一个基。dim(V1+V2)n 1n 2m三、子空间的直和1. 定义：设 V1、V 2 是线性空间 V 的子空间，若其和空间 V1+V2 中的任一元素只能唯一的表示为 V1 的一个元素与 V2 的一个元素之和，即 ，存在唯一的 、 ，12x1yz使 ，则称 为 V1 与 V2 的直和，记为xyz 2子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是14，1212Vxy|V,反映的是两个子空
17、间的关系特殊。2. 定理：如下四种表述等价（1） 成为直和1212（2） V0（3）dim(V 1+V2)=dimV1+ dimV2（4）x 1、x 2、x s 为 V1 的基，y 1、 y2、 、 yt为 V2的基，则 x1、x 2、x s、y 1、y 2、y t为 的基1证明 （2）和（ 3）的等价性显然采用循环证法：（1） （2） （4） （1）（1） （2）：已知 1V12假定 且 ，则x02x()， ， ， ，121212xV说明对 0 元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在 中只能存在 0 元素，即12V120（2） （4）：已知成为基的两个条件：1） 可以线性表
18、示 V1+V2 中的任意元素2）线性无关15、 ，存在如下坐标表示式1xV2ysi1xti1y可表示 V1+V2 中的任一元素，xyx1、x 2、x s、y 1、y 2、y t 可表示 V1+V2 中的任意元素。假设 x1、x 2、x s、y 1、y 2、y t 线性相关，即存在不全为 0 的 使t,L0si1ti1而 si1x1Vti1y2 ysi12si1x2I0si12sL同理 1t0这与其线性相关性矛盾，x1、x 2、x s、y 1、y 2、y t 线性无关x1、x 2、x s、y 1、y 2、y t 可作为 的基12V（4） （1）：已知（4）成立在 x1、x 2、x s、y 1、y 2、y t 这组基下16存在唯一的坐标 使12xV12s12t,Lxsi11tiysi1ti21V成为直和2V作业：P2526 7，9，12
