1、线性空间子空间子空间就是线性空间的非空集合对于其中的运算也构成一个空间，而 span v1,v2.,vn 表示由 v1,v2.,vn 张成的子空间，即 v1,v2.,vn 所有可能的线性组合构成的子空间。子空间是空间，从而子空间存在着基底，子空间的任何一个基底张成的空间就是这个子空间本身。综上：子空间可以看成一些向量张成的空间，而由一些向量 v1,v2.,vn 张成的空间 span v1,v2.,vn 一定是一个子空间。2、R3 中的一条通过原点的直线是 R3 的子空间。按照子空间的判断方法，只需要验证对其加法和数乘运算封闭即可。这里的加法是向量加法，数乘是数和向量的数乘。易知，对于过原点的直
2、线来说，其上任意两点对应的两个向量（原点为起点，直线上的点为终点对应的向量）必共线，从而可知相加之后，起点仍选为原点，终点必落在原来的直线上，因此，对加法封闭。其次，对于数乘，很容易验证也封闭。故，R3 中的一条通过原点的直线是 R3 的子空间。对于不过原点的直线，构不成子空间。3、请用 Rn 空间为例子解释下子空间的定义或者是说概念。这里关键是理解子空间的概念以及其判定方法：只需要所给线性空间的非空子集合对于线性空间本身的两个运算：加法和数乘封闭即可！比如：向量（0，0， 。 。 。 ，0）本身构成 Rn 的一个零维子空间，因为这个集合只有一个元素 0,0+0=0，k0=0，所以对加法和数乘封闭。向量（1,0， 。 。 。 ，0）的倍数的全体就构成 Rn 的一个一维子空间，因为这个集合的元素都是（1,0， 。 。 。 ，0） ，易知（1,0， 。 。 。 ，0）的倍数相加仍是它的倍数，且任何一个数 k 乘以它的倍数仍是它的倍数，即 k*d（1,0，.，0）=kd*（1,0，.，0）所以对加法数乘封闭。向量（1,0,.，0）和（0,1,0，.，0）的所有线性组合构成 Rn 的一个 2 维子空间等。同样道理，可知对加法数乘都封闭。
