线性空间试题.doc

1、向量空间一 判断题平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 作成实数域 上(1) ,kR的向量空间. ( ) .平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 作成实数域 上(2) 0,的向量空间. ( ).一个过原点的平面上所有向量的集合是 的子空间. ( ).(3) 3V所有 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间 的子空间. ( ).4n()nMR为 的子空间. ( ).(5)121,)|,niixx所有 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间 的子空间. ( ). 6 ()n为 的子空间. ( ).(7)11,0,)|,nxxR n若 是数域 上的 维向量空间 的一组基, 那么8234F4V123

2、4,是 的一组基. ( ).V维向量空间 的任意 个线性无关的向量都可构成 的一个基. ( ).(9)nn设 是向量空间 中 个向量, 且 中每一个向量都可由1012, 12,n线性表示, 则 是 的一组基. ( ).n V设 是向量空间 的一个基, 如果 与 等价, 则()12, 12,n 12,n也是 的一个基. ( ).12,n关于基 的坐标为 . ( ).()3x32,1xx(,0)设 为 维空间 的子空间, 且 .若12,sV V12sVV, 则 为直和. ( ).dimidimsn 12s设 为 维空间 的子空间, 且 . 若(4)12,s 12s则 为直和.30()0VV121(

3、)0,SsV sV( ).设 为 维空间 的子空间, 且 . 若(15)12,sV nV12sVV则 为直和. ( ).0,ijiV12s设 为 维空间 的子空间, 且 . 若(16)2,s n12s则 为直和. ( ).0,ijij12sV设 为 维空间 的子空间, 且 . 零向量表法是唯一(7)12,s 12sVV的, 则 为直和. ( ).sV设 是向量空间 的一个基, 是 到 的一个同构映射, 则 的一个(8)12,n fWW基是 . ( ).()()ff设 是数域 上的 维向量空间, 若向量空间 与 同构, 那么 也是数域 上(9)VFVF的 维向量空间. ( ).n把同构的子空间算

4、作一类, 维向量空间的子空间能分成 类. ( ).(20) nn答案 错误 错误 正确 错误 错误 正确 正确 正确 1(2)(3)(4)(5)(6)(7)8)正确 错误 正确 错误 正确 正确 正确 错误 (9)12134156正确7正确 正确 错误(18)()(0)二 填空题全体实对称矩阵, 对矩阵的_作成实数域 上的向量空间. () R全体正实数的集合 ,对加法和纯量乘法 构成 上的向量空间.2R ,kaba则此空间的零向量为_. 全体正实数的集合 ,对加法和纯量乘法 构成 上的向量空间.(3) ,kR则 的负向量为_.aR全体实二元数组对于如下定义的运算:(4)2(,),(,),1ab

5、cdabdckk构成实数域 上的向量空间. 则此空间的零向量为_. R全体实二元数组对于如下定义的运算:(5)2(,),(,),1abcdabdckk构成实数域 上的向量空间. 则 的负向量为_.R(,)数域 上一切次数 的多项式添加零多项式构成的向量空间 维数等于_.(6)FnnFx任一个有限维的向量空间的基_的, 但任两个基所含向量个数是_.7复数域 作为实数域 上的向量空间, 维数等于_, 它的一个基为_.(8)CR复数域 看成它本身上的向量空间, 维数等于_, 它的一个基为_.9实数域 上的全体 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间, (10)n它的维数等于_.向量 关

6、于基()(,01)123(,0)(,1)(,10)的坐标为_.4,关于 的一个基 的坐标为_.(12)3xFx32,xx三维向量空间的基 则向量12(,0)(1)(2,0)在此基下的坐标为 _.和 是数域 上的两个向量空间, 到 的映射 满足条件(14)VWVWf_, 就叫做一个同构映射. 数域 上任一 维向量空间 都与向量空间_同构.(5)FnV设 的子空间 有 , 则16123,1213230W123_直和.答案加法和数量乘法 1 不唯一, 相等 (1)(2)3a(4)0,(5)2,)ab(61n(7)82;,i9;0n10,3,1)是 到 的双射; 对任意 ; 对任意(4)fVW,()(

7、)Vff不一定是,()(aFfaf5)nF6)三 简答题设 问下列集合是否为 的子空间, 为什么?(1)().nMR所有行列式等于零的实 阶矩阵的集合 ;1W所有可逆的实 阶矩阵的集合 ;2) 2设 是实数域 上所有实函数的集合, 对任意 定义()LR,(),fgLR()(),()fgxfgxx对于上述运算 构成实数域 上向量空间. 下列子集是否是 的子空间? 为什么?R()所有连续函数的集合 ;1)1W所有奇函数的集合 ;223)|(),0();fLRf下列集合是否为 的子空间? 为什么? 其中 为实数域.(n R;1)1212(,)| 0,nniWxxx ;2,|i 每个分量 是整数;3)

8、12(,)|nx ix设 分别为数域 上 矩阵, 问 的所有解向量是 上的(4,AXbF,1mAXbF向量空间吗? 说明理由. 下列子空间的维数是几?(5);132,3)(1,45,2)LR)2(xxF实数域 上 矩阵所成的向量空间 的维数等于多少? 写出它的一个基.(6)Rmn()mnMR实数域 上, 全体 阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？7若 是数域 上 维向量空间 的一个基，(8) 12,n FV也是 的一个基吗？1231,nn V是向量空间 的一个基吗？(9)()2xx2x取 的两个向量 .求 的一个含 的基.04R1(,0),(1,0)4R12,在 中求基 到基(1)323,的

9、过渡矩阵.23,(,)(,)在中 求向量 关于基()4F1123(,)(1,),(1,)的坐标.41,)设 表示几何空间 中过原点之某平面 的全体向量所构成的子空间, 为过原(3)W3V12W点之某平面 上的全体向量所构成的子空间, 则 与 是什么? 能不22W121能是直和?设 求 和 . 其中(14)123212(,),(,)LL1212; 3, 0,(,56),(1,73).证明 数域 上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.(5)F设 都是实数域 的向量空间.问 与16|,(,)|,abVcRWdeR V是否同构? 说明理由.W设 为向量空间的一个基, 令 且(7)12,

10、n 12,12,i in .证明 .iiL12nV答案 ()不是 的子空间. 若 若未必等于零, 对加法不封闭.1W1,|ABW1W不是 的子空间. 因为 , 则 , 但 , 对加法不封2)V3|0|A|()|0A闭.(2)是 的子空间. 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数.1W()LR是 的子空间. 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数.)2是 的子空间. 因为 非空, 且对任意 有3()3W3,fgWR(0(0)1()(1;)(,fgfgfg故 3,.ff(3)是. 因 是齐次方程组 的全体解向量.11W120nxx不是 的子空间. 因 对加法不封闭.2)nR不是子空间.

11、因对数乘运算不封闭.3当 时, 的所有解向量不能构成 上的向量空间. 因 维零向量不是(4)0bAXbFn的解向量. 当 时, 的所有解向量能构成 上的向量空间.0(5)维数是 2. 因 线性无关, 而 .1(2,31)(4(5,24)(,31)(,42)维数是 2. 因易证 线性无关, 但 .2) 2x 210xx解 令 表示 行 列位置元素是 其余是零的 矩阵. 那么易证 这 个矩(6ijEj mnijEmn阵是线性无关的. 它们作成 的一个基, 故 的维数是 .()mnMR()R为全体 阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,(7),1,23ijji ij其中共有 个向量, 故此向量空间的维数

12、 .()n (1)2n解 由(8).12112,)(,)nnnA 得 . 当 为偶数时, , 故 线性相关, 它不构|()A|0A1231,n成基. 当 为奇数时, 故 线性无关, 它构成一个基.n|0,A1231,n解 在基 之下有(9)21,x.2(,(1)(,)10xx因上式右方的 阶矩阵为可逆, 所以 线性无关, 它是 的一个3,()2Fx基.解 取向量 ,由于(10)34(0,1),(0,1),201因此 线性无关, 所以向量组是 的一个基.1234,4R解 由()123123123123(,)(,),(,)(,)AB推出 B因此所求过渡矩阵为.101320102AB解 取 的标准基

13、 . 由 到 的过渡矩阵为(12)4F1234,1234,1234,11A于是 关于基 的坐标为(1,2)234,.15424A解 由于 , 皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若 与 重合, 则(13)1W2 1W2. 若 与 不重合, 则 为一条过原点的直线, 而212W12, 但 不能是直和.1V2解 设 为交空间的任意向量.由(4)131212kkt2 0,得齐次线性方程组 12312123120567ktt由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为 , 解空间的维数为 , 且求得方程组的一般解为41因此维 , 维 .1223224896,77kttktt2()W12()4取

14、 ,令 便有 , 另外显然 .161)L131,L证明 设数域 上两个有限维向量空间 与 的维数均为 , 因 所(5)FVn,nnVFW以 .VW反之, 若 , 设 且 是 到 的同构映射. 取 的一个基dim0,nfW, 易证 是 的一个基, 故 .12n 12()()f dimn与 不同构. 因 , 与 的维数不相等.(6)Vi3,iVV证明 任取 , 若 , 那么712naa1212311()()()nnnna 因此 , 并且 中向量依诸 表示唯一, 故VW ViW12nVW四 计算题设由 , 生成 的子空间 试(1)123(,),(,01),(2,5)4R.W从向量组 中找出43016

15、(7,15) 的生成元.W解 以 及 为列做成矩阵 , 在对 的行施行初等变换.(1)123,1234,A170221536501/021/4AB 由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵 知, B从而 但由 还知1323412,134(,).LW线性无关, 故 为 的一组生成元.4, 1W在向量空间 中, 求由向量(2)4R123(,),(,5),(1,)生成的子空间的一个基和维数.41,53)解 对下述矩阵施行行的初等变换()241063955133284012.3此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知 是一个极大无关组, 因此13的维数实是 ,而 是它的一个基.1234(,

16、)L213在 中求出向量组 的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向量. )R145这里 .123(,)(,0),(,0)45(1,)(0,12,5)解 对下述矩阵施行行的初等变换(3).112201230355132100652由右方矩阵知 是一个极大无关组, 并且有234,.15234求 中与矩阵 可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基, 其中(4)3()MFA01.32解 设这个子空间为 由于 , 这里(4),WAIB031B因此与 可交换的 阶方阵, 就是与 可交换的 阶方阵, 从而AB3.3()|WXMFX任取 . 由 , 可得,()ijCcC13212310, ,ccc,于是 当且仅

17、当 的元素为齐次线性方程组1232c13122cc的解. 于是我们得到如下矩阵10103,3,001,31它们构成 的一个基, 故 的维数是 .W5求实数域上关于矩阵 的全体实系数多项式构成的向量空间 的一个基与维数.其中(5)AV21013,.i解 因 , 所以(5)312231,AAI易证 线性无关. 于是任何多项式 皆可由 线性表示, 故2,I ()fxR2IA为的一个基, .Adim3V设 为向量 关于基(6)1234,)x12(,0),(,10),3(,1)的坐标; 是 关于基 的坐标, 其中 ,40,1234(,)y134yx求基 .2134.yxxx2,解 因 且(6) 1122

18、123423433(,)(,)yx1 112 223 334 440yxP则1 12 212342343 3(,)(,)xxP于是 , 即12341234(,)(,)1P故所求的基为 .1234(,),(0,),(0,)(0,21)设 是 维向量空间 的一个基， 也是(7)2,n V12n 的一个基，又若向量 关于前一个基的坐标为 , 求 关于后一个基的V(,)n 坐标.解 基 到后一个基的过渡矩阵为(7)12,n.1101P 那么12 012011nnnyP 故 关于后一个基的坐标为 .(1,)已知 的一个基为 . 求向量(8)3R23(,)(0,2)(5,82)关于这个基的坐标.解 设 ,

19、 的方程组()123xx13258x解得 . 故 关于基 的坐标 .135,123,(5,21)已知 是 的一个基.(9)1234(,),(0,1)(5,21),(6,3)4R求 的一个非零向量 , 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.4R解 由标准基 到基 的过渡矩阵为()12341234,05613P设 关于两个基的坐标为 , 则124(,)x1223344,xP即得齐次线性方程组1342134560xx解得 , 令 , 则 即为所求.12xx0,kR(,)k已知 的一个基 .(0)4R123()(10)5214(6,3)求 关于基 的坐标.1234,)x34,解 由标准基到所给基

20、的过渡矩阵为()056132P那么1 12 2123423434(,)(,)xxP故 关于基 的坐标为 , 这里1234,1234(,)y.11 122 233 344 4/91/3/974/7/0/6yx xP 五 证明题设 为向量空间 的两个子空间.(1)2,W()VF证明: 是 的子空间 .1是否构成 的子空间, 说明理由.)2证明(显然 , 即 , 任取 , 易知1)120W121212,WkF, 故 是 的子空间.2kV不一定. 当 或 时, 是 的子空间. 但当 与 互不包含时,)121212不是 的子空间. 因为总存在 及 使12V12,1W, 而 , 因为这时 , 否则与选取1

21、2,W1212W212W矛盾.设 为向量空间 的两个子空间. 证明: 是 的即含 又含 的最小子(2)12, 12V12空间.证明 易知 为 的子空间, 且()121212|,12,.WW设 为 的包含 与 的任一子空间, 对任意 ,有 , 即V12 12,W12W, 故 是 的即含 又含 的最小子空间.12V12设 为向量空间 的两个子空间. 是 的两个向量, 其中 , 但(3)1()F,V2, 又 . 证明: W2对任意 ;)2,k至多有一个 使得 .2),kF1kW证明(3任意 若 , 则 矛盾, 故 成立.1),k2k2()k1)当 时, 仅当 时, 有 ; 当 时, 若存在2101W

22、使得 , 则 , 12,kFk122kWk2121()k因此 , 矛盾, 故 成立.1W)设 为向量空间 的两个子空间. 证明 若 , 则 或(4)2V121212.21证明 因 含 与 中所有向量, 含一切形如()12W1212W的向量, 因为 , 所以 或1212,)W121. 若 , 令 , 则 , 故 ; 若 , 令121221212, 则 , 故 .1W证明: 维向量空间 中 , 任意 个线性无关的向量都可作为 的一个基.(5)nVnV证明 设 是 中线性无关的向量, 取 的单位向量 , 则12, 12,n, 且 中每一个可由 线性表示. 由替换定理知12(,)nVL 12n 12,

23、n与 等价, 所以 中每一个向量可由 线性表示, 又 12n V2,n线性无关, 故 可作为 的一个基.12,n 12,n设 为 维向量空间, 中有 组线性无关的向量, 每组含 个向量, 证明: 中存在(6)VmtV个向量与其中任一组组成 的一个基.tV证明 设 中 组线性无关的向量分别为 . 令() 12,(1,2),iitmtn , 则 . 因存在 , 使12,)iiitL ditniV线性无关, 若 ,令 , 则 也为 的非平,iit 1t/121(,)iiitVL /iV凡子空间, 同理存在 , 而且 线性无关, 如此/2,12iVm 1212,iit继续下去, 可找到 使得 线性无关

24、, 故对每个 , 1,nt iit nt i它们都是 的一个基.设 维向量空间 的向量组 的秩为 , 使得(7) 12,n r全体 维向量 的集合为 . 证明 是 的120nkk ()k WnF维子空间.nr证明 显然 , 今设每个 在 的某个基下的坐(7)12dim(,)nLr i12(,)nL标为,12iiira,n那么由 可得120nkk.它决定了一个含 个未知量 个方程的齐次线性方程组, 其系数矩阵12,nkr的秩为 , 故解空间即 的维数为 .12(,)n rWnr设 是数域 中 个不同的数, 且 . 证明8)a F12()()nfxaxa多项式组 是向量空间 的一个基.()1,2)

25、iifxf na 1nF证明 因 , 所以只需证 线性无关. 设有 , (8)1dmn 12,nff 12,nkF使(*)120nkfkf由 , 因此将 带入(*) 得 , 从而()0,()0jiifajfaia()0iikfa故 线性无关, 为 的一个基.12ikn 12nf 1nFx设 是 的一个非零子空间, 而对于 的每一个向量 来说, 或者(9)WRW12(,)n, 或者每一个 都不等于零. 证明: 120naa iadim.证明 由 非零, 我们总可以取 , 且 , 那么每个 且(9)W12(,)nbW 00ib线性无关. 今对任意 , 若 当然 可由 线性表示; 若12(,)na

26、而 , 由于其第一个分量为 , 由题设知 . 故 可作为 的一01ab01abW个基,且 dim.证明: 是 的一个基, 并求 关于这个基的坐标.()2,1xx2F273x证明: 由基 表示的演化矩阵为102i3F1x,01A但 可逆, 故 是 的一个基.A2,xx2F关于这个基的坐标 ,273(31)因为 1.23A若 都是 的子空间, 求证:()12,WV.131213)()()W证明: 任意 , 则 , 且 , 因此()1123()W, 但 , 知 , 故13123,133.2()()W反之, 任意 , , 则1213()W121213, 且 , 故 .1()13()W设 是 维向量空间

27、 的子空间. 如果 为直和.(2)2,s nV12s证明: .0,2ijWijs证明: 由 为直和, 有 , 而(12)12sW ()0,12ijWijs. 故()0,12,ijijijs.0,12,ijijs设 分别是齐次线性方程组 与 的解空间.(13)12W120nxx 12nx证明: .nF证明 因 的解空间的维数为 , 且一个基为()12nxx , 又12,0,)(,0,) 1,(,01) 2nxx即方程组12310nx 的系数矩阵的秩为 , 其解空间的维数为 , 且一个基为 , 但1(1,)线性无关, 它是 的一个基, 且 , 故121,n nF2dimidinFW.nFW证明 每

28、一个 维向量空间都可以表成 个一维子空间的直和.(4) n证明: 设 是 维向量空间 的一个基, 那么112,n V12(),()nLL都是一维子空间.显然 12()()nVLL于是由 中向量在此基下表示唯一, 立得结论.证明 维向量空间 的任意一个真子空间都是若干个 维子空间的交.(5)nV1n证明: 设 是 的任一子空间, 且设 为 的一个基, 将其扩充为 的1W12,s WV一个基 , 那么令2,s 1n211(,)i ssisinL 于是这些 , 均为 维子空间, 且 .,12,iWns 112nsW设 是数域 上向量空间 到 的一个同构映射, 是 的一个子空间. (16):fVFV1

29、V证明: 是 的一个子空间.1证明: 因 , 所以 非空. 对任意 , 由于 是 到()1(0)f1()f/1,()ff1的满射, 因此存在 , 使 , 对任意 , 有1fVV/,()fabF, 于是 , 故 是1ab /1()( ()fabfbafV1()f的一个子空间.W证明: 向量空间 可以与它的一个真子空间同构.(7)Fx证明: 记数域 上所有常数项为零的多项式构成的向量空间 , 显然 , 且1 fx中有形式 , 这里 .V()xf()fx定义 , 显然 是 到 的双射, 且对于任意 :;FV()fFxV(),fxg,xab()()()afgxf故 是 到 的同构映射. 从而 是 的一

30、个真子空间, .FxVVFFxV设 是复数, ,(18)()|()0()|()0fxRfWgR证明: 是 上的向量空间 , 并且 .WR证明: 易证 是 上的向量空间 ,(),V设 中次数最低的多项式为 , 则对任意 , 都有 , 使()hx()fxV()sxR, 因此()()fxhs|()sR同理, 设 中次数最低的多项式为 , 则 .Wkx()|()Wkxsx定义 :()()xskxs易证 是 到 的同构映射, 故 .VV证明 实数域 作为它自身上的向量空间与全体正实数集 对加法: , 与(19)RRab纯量乘法: 构成 上的向量空间同构 .kaR证明: 定义(19):(1)xa显然 是

31、到 的映射., 若 , 则 , 所以 为单射;),xyRyxy任意 , 因 , 则 , 即 为满射.从而 为双射.blogbaR(log)ba任 .2)() ()xyyxyxy y任 ,3,(kkkRa于是 是 到 的同构映射. 故 .R设 是数域 上无限序列 的集合, 其中 , 并且只有有限 不是零. (20)VF12(,)a iaFia的加法及 中的数与 中元的纯量乘法同 , 则 构成 上的向量空间. 证明: 与nFVV同构.Fx证明: 取 的一个基 , 则 中任一多项式(20)x21,x x0()nfaa关于这个基有唯一确定的坐标 .1,)nV 定义 :()fx01,)n 则 是 到 的

32、一个同构映射, 故 .FVFx向量空间自测题一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）1设 n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩 r n 是 n 维向量组 1 ， 2 ， 线性相关的（ ）条件mA充分 B必要 C充分必要 D必要而不充分二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由，每小题 5 分，共 20 分）1设 1， 2 是 的基础解系，则 也是它的基础解0AX2121,系2若 是 的解，则它的任意线性组合也是 的解nx,21 b bAX3 的维数等于 2,| 02130123 aaRaaWi 且4F 上向量空间 V 若含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量三、简答题（每小题 5 分，

33、共 10 分）1设 是 的解其中 A 为 5 4 矩阵， 。若321,xbAX.3)(Ar， 试写出该方程组的全部解)0,(x)0,12(2已知 可由 1 ， 2 ， 线性表出，那么，在什么情况下，表示n法唯一？四、计算题（每小题 8 分，共 32 分）1试将 用向量组 ， ， ， 线性表出，其中 = ， =12341),45(2， = ， = ， ),0(3),42(4),0()0,1(2已知 , 是 的两个,|01RbaW ,|112RcaW)(2M子空间，求 的一个基和维数2121,3已知 关于基 的坐标为（1，0，2） ，由基 到基,3 ,321的过渡矩阵为 ，求 关于基 的坐标,32

34、101243,3214求非齐次线性方程组 的全部解9742836451542xxx五、证明题（每小题 9 分，共 18 分）1 .设 A 是任一 矩阵，将 A 任意分块成 ，证明：n 元齐次线nmsA21性方程组 的解空间 V 是齐线性方程组 的解空间 的交，0X0xi iV.,21si2. 设向量组 1 ， 2 ， ， 线性无关，向量 可由它线性表示，而向m1量 不能由它线性表示证明：m+1 个向量 1 ， 2 ， ， + 必2 m12线性无关线性空间习题一、填空题1、已知 是 的一个子空间，则维（ ） 0,aVabcbcR3V， 的一组基是_.2、在 中，若 线性无关，4P1234(,0)

35、,(1,)(1,),(0,1)kk则 的取值范围是_.k3、已知 是数域 P 中的一个固定的数，而a1(,),niWxn 是 的一个子空间，则 _，而维( )_.nPW4、设 是数域 P 上的 维列向量空间， 记2,nAP且12,0,AXX则 1、 2都是 的子空间，且 1 2_， _.WnPW12W5、设 是线性空间 V 的一组基， ，则由基 到基3, 123xx123,的过渡矩阵 T_，而 在基 下的坐标是_.123, ,二、判断题1、 设 ，则 是 的子空间.nVP,0nWAPV2、已知 为 上的线性空间，则维( ）2.(,),abicdaR V3、设 ， 是 的解空间， 1是 的解空间

36、， 2是,nAB0XB0AX的解空间，则 .()0X12V4、设线性空间 的子空间 中每个向量可由 中的线性无关的向量组W线性表出，则维( ) .12,s s5、设 是线性空间 的子空间，如果 但 则必有V,V,W且.三、计算题1、 在线性空间 中， 2P2121,0037AB1） 求 的维数与一组基.1212(,)(,)L2） 求 的维数与一组基.2、在线性空间 中，求由基 到基 的过渡矩阵，并求4P1234,1234,在基 下的坐标，其中(1,3)1234, 40,(0),(,0),(,)123(,8),71621.四、证明题1、 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令V12(),(),

37、(WfxVfxf证明： 1、 2皆为 的子空间，且 12.W2、设 是 Pn的一个非零子空间，若对于 的每一个向量 来说，或者12(,)na，或者每一个 都不等于零，证明：维( )1.10naa i答案：一、填空题1 00,1,10a2 3k30， n4 ,P5 32110,(,)x二、判断题1 2 3 4 5 三、计算题1 21252(,)(,)34LABL121212,)A2 12343798106;(,)21X 小测验(六)姓名 学号 .一、填空题1、已知 是 的一个子空间，则维0,AVabcabcR3（V） ， V 的一组基是 .2、在 P4 中，若 线1234(,0),(1,),(1

38、,),(0,1)kk性无关，则 k 的取值范围是 .3、已知 a 是数域 P 中的一个固定的数，而1(,),niWxn 是 Pn+1 的一个子空间，则 a ，而维(W) .4、设 Pn 是数域 P 上的 n 维列向量空间， 记2,nAP且12,0,nAXX则 W1、W 2 都是 Pn 的子空间，且 W1W 2 ， .12W5、设 是线性空间 V 的一组基， ，则由基3, 123xx到基 的过渡矩阵 T ，而 在基 下的坐标是 .123,21, 1,二、判断题2、设 ，则 是 V 的子空间 .nVP,0nAP2、已知 为 R 上的线性空间，则维 (V）2.(,),abicda3、设 ，V 是 的

39、解空间，V 1 是 AX0 的解空间，V 2,nAB0XB是(A B)X 0 的解空间，则 .124、设线性空间 V 的子空间 W 中每个向量可由 W 中的线性无关的向量组线性表出，则维(W)s.12,s5、设 W 是线性空间 V 的子空间，如果 但 则必有,V,且.三、计算题2、在线性空间 P22 中， 12121,0037AB3）求 的维数与一组基.1212(,)(,)L4）求 的维数与一组基.2、在线性空间 P4 中，求由基 到基 的过渡矩阵，并1234,1234,求 在基 下的坐标，其中(1,3)1234,2 40(0)(,0),(,)1 3(,8),7,1621.四、证明题2、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12(),(),(WfxVfxf证明：W 1、W 2 皆为 V 的子空间，且 12.W2、设 W 是 Pn 的一个非零子空间，若对于 W 的每一个向量 来12(,)na说，或者 ，或者每一个 都不等于零，证明：维(W)1.120aa i答案：一、填空题100,1,10a2 3k30，n4 ,P5 32110,(,)x二、判断题1 2 3 4 5 三、计算题1 12122(,)(,)34LABL121212,)A2 12343798106;(,)21X