1、第六章 线性空间及线性变换,一、基本概念和重要结果,1.空间的直和,我们用W=V1+V2记子空间V1与V2的和,用W=V1V2记W是V1与V2的直和.,(1) W=V1V2当且仅当W=V1+V2,对任意的 有 ,其中 ,i=1,2,且表示法是唯一的.,(2) W=V1V2当且仅当W=V1+V2且零向量的表示法是唯一的.,(3) W=V1V2当且仅当W=V1+V2且V1V2=0.,(4) W=V1V2当且仅当W=V1+V2且W的维数=V1的维数+V2的维数.,(5) 若 是线性空间V的一组基,则其中 表示由 生成的子空间.,(6) 若W=V1+V2且V1与V2正交,则W=V1V2.,上面的结论可
2、推广到多个子空间的情况.,(7) 设线性变换/A的特征多项式为:则V可分解为A的不变子空间的直和 V=V1 V2Vs,其中: 是A属于 的根子空间.,2.子空间的性质,我们用dimV表示线性空间V的维数.,(1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1V2).,(2) 设V1,V2,Vm是线性空间V的真子空间,则必存在 ,使 ,(3) 设V1=L(u1,u2,um),v1,v2,vr是V1中的r个线性无关的向量,且rm,则可以从u1,u2,um中去掉r个向量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,vr合在一起仍生成子空间V1.,3.子空间的和
3、与交的基与维数的求法,(1) V1+V2的基与维数.,令矩阵 ,求A的秩,则V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为V1+V2的基.,(2) V1V2的基与维数.,令 ,解这个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,xik,yi1,yi2,yil)/,i=1,2,d,d=k+l-r,则 i=1,2,d是V1V2的一组基, V1V2的维数等于d=k+l-r.,4.线性变换的值域与核,线性变换/A的值域 ,/A的核/A-1(0)=y|yV,/Ay=0.,(2)dim/AV+dimA-1(0)=dimV.,(4)/AV和/A-1(0)都是线性变换/A的不变子空间.,(5)/A与/
4、B可换,则/B的核与值域也是/A的不变子空间.,(1)dim/AV=A的秩, ,其中是线性空间V的一组基.,(3) 设 是/AV的一组基且 , 1ir,则V=/A-1(0) .一般地V不等于/AV与/A-1(0)的直和.,5.不变子空间,(1) 线性空间V的子空间W是线性变换/A的不变子空间当且仅当对任意的 有 .,(3) 不变子空间的和与交是不变子空间.,(4) 任一空间是数乘变换的不变子空间.,(6) 设V1是线性变换/A的不变子空间,则对任一多项式f, V1是f(A)的不变子空间.,(8) V1是线性变换/A和/B的不变子空间,则它也是/A+/B及/A/B的不变子空间.,(2) 设 是线
5、性变换/A的特征根,则A属于 的特征子空间 是A的不变子空间.,(5) 设W是线性空间V的子空间且 ,则W是A的不变子空间当且仅当 ,i=1,2,r.,(7) 设/A和/B是线性变换且/A/B=/B/A, 是/A的特征子空间,则 也是/B的不变子空间.,二、基本方法,1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1V2只要证明以下两点: (1)V1V2=0; (2)dimV=dimV1+dimV2.,3.证明多个子空间的和是直和,一般采用零向量的表示方法是唯一的.,4.几种常见的线性空间:,2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成元组 ,然后证明 线性无关.,(1)数域P上的线性空
6、间Pn,dimPn=n, 是Pn的一组基,其中 =(0,1,0),i=1,2,n.,(2)数域P上的线性空间Pmn,dimPmn=mn, Eij,i=1,2,m;j=1,2,n是Pmn的一组基,其中Eij是第i行第j列的元素为1,其余元素为0的mn矩阵.,(3)数域P上的线性空间Pxn,dimPxn=n.1,x,x2,xn-1是Pxn的一组基.,5.求线性变换 的特征值与特征向量的方法:,(1)取定V的一组基 ,写出 在这组基下的矩阵A.(2)求出| E-A|在数域P中的全部根,它们就是 的全部特征值.(3)对每个特征值 ,解齐次线性方程组( E-A)X=0,求出一组基础解系,它们就是属于这个
7、特征值的几个线性无关的特征向量在基 下的坐标.,注意:在解方程| E-A|=0时,最好能分离出关于 的因式,否则可用求整系数的有理根的方法求它的根.(一般地,A的元素是整数).,(1)填空题,1.(大连理工大学,2004年) 设P是数域,P33表示P上所有33矩阵的集合,对于矩阵的加法及数乘运算, P33是P上的线性空间,令V=AP33|tr(A)=0,则V的维数= ,V的一组基为 .,解答:答案是“8”, “E11-E22,E11-E33,E12,E13,E23,E21,E31,E32”,解答:答案是“I,A,A2”.,2.(大连理工大学,2005年) 设V是由矩阵A的全体实系数多项式组成的
8、线性空间,其中则V的一组基是 .,三、例题,3.(东南大学,2003年) 设V是数域P上的全体次数小于4的多项式与零多项式组成的线性空间,且x3,x3+x,x2+1,x+1是V的一组基,则x2+2x+3在这组基下的坐标(写成行向量形式)为 .,解答:答案是“(0 0 1 2)”.,解答:答案是“m+1”.,4.(西安电子科技大学,2005年) 设V1,V2是V的子空间,dimV1=dimV2=m, dim(V1V2)=m-1,则dim(V1+V2)= .,5.(北京交通大学,2004年)复数域上全体5阶反对陈矩阵,对于矩阵的加法与数乘是实数域上的线性空间,它的维数等于 .,解答:答案是“10”
9、.,解答:答案是“ ”.,6.(北京交通大学,2004年) 已知是线性空间P4x的两组基,则由基 到 基 的过渡矩阵是 .,7.(厦门大学,2007年) 设V1,V2是维线性空间V的两个不同的子空间,dimV1=dimV2=n-1, 则dim(V1V2)= .,解答:答案是“n-2”.,8.(华东师范大学,2005年) 设W1,W2分别是数域K上8元齐次线性方程组AX=0与BX=0的解空间,如果r(A)=3,r(B)=2,W1+W2=K8,那么dim(W1W2)= .,解答:答案是“3”.,解答:答案是“P”.,解答:答案是“7”.,11.(重庆大学,2003年) 设 其中 为任意3维实向量,
10、则线性变换 在 下的矩阵为 .,解答:答案是“ ”.,13.(天津大学,2002年) 设A为n阶方阵,若A3I,且r(A-3I)+r(A+5I)=n.则数 必是A的特征值.,解答:答案是“-5”.,解答:答案是“-2”.,12.(西安电子科技大学,2005年) 设f(x)=1+x+x2+xn-1,g(x)=1-x,A= ,则f(A)g(A)= .,解答:答案是“ ”.,14.(天津大学,2004年) 设 的特征值 是 ,如果A有三个线性无关的特征向量,则a= .,解答:答案是“0”.,15.(大连理工大学,2004年) 已知 有三个线性无关的特征向量,则x= .,16.(大连理工大学,2005
11、年) 正交矩阵的实特征值为 .,解答:答案是“1或-1”.,17.(中南大学,2004年) 假设n阶方阵A满足A2-3A+2I=0,则A的特征值为 .,解答:答案是“1或2”.,解答:答案是“5,-3,6”.,18.(重庆大学,2004年) 3阶方阵A特征值为1,-1,2,则A2+4A-1的特征值为 .,19.(西安电子科技大学,2005年) 已知四阶矩阵A相似于B,A的特征值为2,3,4,5,E为四阶单位矩阵,则 |B-E|为 .,解答:答案是“24”.,20.(北京交通大学,2005年) 假设A是3阶矩阵,行列式|A+I3|=0,|A+2I3|=0,|A+3I3|=0,则行列式|A+4I3
12、|= .,解答:答案是“6”.,解答:答案是“33”.,21.(华东师范大学,2006年) 设 则tr(A5)= .,22.(西安电子科技大学,2005年) 在线性空间Pxn中,线性变换D(f(x)=f/(x),则D的特征值是 ,D的核是 .,解答:答案是“0,C0”.,23.(北京交通大学,2004年) 线性空间V的的零变换的核空间是 .,解答:答案是“V”.,24.(南京大学,2005年) A是三阶正交矩阵,迹为1/3,|A|=1,则A的特征多项式为 ,若当标准形为 ,解答:答案是“ ”.,25.(北京交通大学,2004年) k阶Jordan块 的最小多项式为 .,解答:答案是“ ”.,2
13、6.(北京交通大学,2004年) 假设矩阵A1的最小多项 式为f,矩阵A2的最小多项式为g,则矩阵 的最小多项式为 .,解答:答案是“ ”.,(2)综合题,考点1：线性空间的定义、维数与基,坐标变换,解: (1)显然只要验证对加法和数乘封闭即可.,例6.1.1 (西安交通大学,2004年)设ARnn(R表示实数域)记S(A)=Z|AZ=ZA,ZRnn (1)证明: S(A)为Rnn的子空间. (2)若取A为对角阵 ,求S(A)的基与维数.,考点点拨:主要对线性空间的定义、线性空间的维数和基的求出,以及线性空间中不同基之间的坐标变换的考查.,(2)对任何矩阵C,若:,那么比较等式两边易得C(i,
14、j)=0(ij),于是S(A)的维数为n维,它的一组基可取为E11,E22,Enn. ,例6.1.2 (北京航空航天大学,2005年)设向量组与 是两组n维向量,证明:若这两个向量组都线性无关,则 的维数等于齐次方程组 的解空间的维数.,对任意Z1,Z2S(A),任意kR,有A(Z1+Z2)=AZ1+AZ2=Z1A+Z2A=(Z1+Z2)A.知Z1+Z2S(A). (kZ1)A=kAZ1=A(kZ).知kZ1S(A).即知S(A)为一个子空间.,记矩阵 X=(x1,x2,xs,y1,y2,yt)T.,证明:设 , ,那么由题知dim(W1)=s,dim(W2)=t.,例6.1.3 (北京理工大
15、学,2004年)设A,B分别是数域K上的pn、 nm矩阵,令V=x|xKm,ABx=0,W=y|y=Bx,xV.证明: W是向量空间的子空间,且dimW=r(B)-r(AB).,证明: 要证明W是一个子空间,只要说明它对加法和数乘封闭即可.,若y1,y2W,kK,那么存在x1,x2V,使得y1=Bx1,y2=Bx2,显然V是方程组ABx=0的解空间,它是一个子空间,那么有x1+x2V, kx1V,这时y1+y2=Bx1+Bx2=B(x1+x2).于是有y1+y2W,而ky1=kBx1=B(kx1),知ky1W,知W必是向量空间的一个子空间.,把B看成是向量空间Km到向量空间Kn的线性映射,那么
16、有:W=B(V),于是有: dimImB|V+dimkerB|V=dimV (I),注意到ImB|V=W,那么有dimImB|V=dimW.而dimV=m-r(AB),kerB|V=kerBV.若Bx=0,显然有ABx=0,所以有kerB V,那么有B=BV.,注意到dimkerB即为Bx=0的解空间的维数,它等于m-r(B),于是有dimkerB|V=dimkerBV=dimkerB=m-r(B),代入等式(I)有: dimW+(m-r(B)=m-r(AB). 移项即得: dimW=r(B)-r(AB). ,例6.1.4 (中南大学,2003年)设P是一个数域,A是Pnn中一个矩阵,令F(A
17、)=f(A)|f(x)Px.证明: (1)F(A)是Pnn的一个线性子空间. (2)可以找到非负整数m,使I,A,A2,Am是F(A)的一组基. (3)F(A)的维数等于A的最小多项式的次数.,解: (1) 任取f(A),g(A)F(A),kP, 有f(A)+g(A)=(f+g)(A).显然由f(x), g(x)Px可得(f+g)(x)=f(x)+g(x)Px,于是有f(A)+g(A)F(A).而kf(A)=(kf)(A),那么由kf(x)Px 可知kf(A)F(A),即知F(A)是Pnn的一个线性子空间.,(2) 不妨设A的最小多项式为 ,并记 =m+1,那么由m(A)=0 且 的首项系数为
18、1可知Am+1可被I,A,A2,Am线性表出.,显然有任意f(A)F(A),都可使得f(A)被I,A,A2,Am线性表出.下证I,A,A2,Am线性无关,利用反证法.,若I,A,A2,Am线性相关,那么存在一组不全为零的数k0,k1,kmP,使得:k0I+k1A+k2A2+kmAm=0.,令h(x)=k0+k1x+k2x2+kmxm,显然有h(A)=0且,这将与 是A的最小多项式矛盾.于是I,A,A2,Am线性无关,那么I,A,A2,Am构成F(A)的一组基.,(3)显然由第(2)问知I,A,A2,Am构成F(A)的一组基,那么有dim(F(A)=m+1= ,例6.1.5 (北京大学,2002
19、年)用Mn(K)表示数域K上所有n阶矩阵组成的集合,对于矩阵的加法和数量乘法它成为K上的线性空间.数域K上n阶矩阵称为循环矩阵.用U表示K上所有n阶循环矩阵组成的集合.证明:U是Mn(K)的一个子空间,并求U的一个基和维数.,证明: 令矩阵:,注意到J2,J3,Jn-1的形式,并有Jn=In,那么有.,若A,BU,kK,并记 A=a1In+a2J+a3J2+anJn-1, B=b1In+b2J+b3J2+bnJn-1. 那么有:kA=(ka1)In+(ka2)J+(ka3)J2+(kan)Jn-1, A+B=(a1+b1)In+(a2+b2)J+(a3+b3)J2+(an+bn)Jn-1,即U
20、必是Mn(K)的一个子空间,且其中的所有矩阵都可以表示为In,J,J2,J3,Jn-1的线性组合,注意到In,J,J2,J3,Jn-1是线性无关的,那么有dim(U)=n,且U的一组基即为： In,J,J2,J3,Jn-1. ,例6.1.6 (北京交通大学,2004年)设V是数域P上次数小于n的多项式全体构成的线性空间,a1,a2,an是n个互不相同的数,f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-an),而 .证明: f1(x),f2(x),fn(x)是V的一组基.,证明: 显然有dim(V)=n,若要证明f1(x),f2(x),fn(x)是V的一组基,只要证明它们是线性无关的即可.作线性组合k
21、1f1(x)+k2f2(x)+knfn(x)=0.,将x=aj代入,注意到fi(aj)=0(ij),那么可得kjfj(aj)=0.,注意到a1,a2,an互不相同,显然有fj(aj)0,于是有kj=0,由j可以任取,可知k1=k2=kn=0.即f1(x),f2(x),fn(x)线性无关,成为V的一组基. ,考点2：线性子空间的和、交、并、直和及之间的关系,同构的概念,例6.2.1 (上海交通大学,2004年)设A是数域P上n阶 可逆矩阵.任意将A分为两个子块 .证明n维线性 空间Pn是齐次线性方程组A1X=0的解空间V1与A2X=0的解空间V2的直和.,考点点拨：对线性子空间的和、交、并、直和
22、及之间的关系,同构的概念的考查.,那么有A1A-1=(Ir,0),A2A-1=(0,In-r).,那么有:,有:,证明: 由于A是可逆矩阵,那么A的所有行向量线性无关,不妨设r(A1)=r,那么显然有r(A2)=n-r.注意到,知X1V1,X2V2.显然V为V1和V2的和.又有dimV1=n-r,dimV2=n-(n-r)=r,dim(V1+V2)dimV=n.于是由维数公式dim (V1+V2)+dim (V1V2)=dimV1+dimV2 可知dim(V1V2)0,必有dim(V1V2) =0,也即V1V2=0,显然V为V1和V2的直和. ,例6.2.2 (浙江大学,2006年)设W,W1
23、,W2是向量空间V的子空间W1 W2,W1W=W2W,W1+W=W2+W.证明:W1=W2.,证明: 对于i=1,2,都有 dim(Wi+W)=dimWi+dimW-dim(WiW). 由题目条件有dim(W1W)=dim(W2W), dim(W1+W)=dim(W2+W).,那么显然有dimW1=dimW2.又由W1 W2,可知W1=W2. ,例6.2.3 (武汉大学,2006年)设数域K上的n维矩阵A,B,C,D关于矩阵的乘法两两交换,且满足AC+BD=I,又设线性方程组ABX=0,BX=0与AX=0的解空间分别是W,I,M.证明:W是I与M的直和.,证明: 任取 ,那么有 ,注意到AC+
24、BD=In (I),将等式(I)两边同时作用 ,那么有 .,注意到A,B,C,D关于乘法两两交换,于是有:则有 .即有W=I+M.,若 ,那么有 ,于是将等式(I)两边同时作用 有 ,即有IM=0.那么有W=IM. ,例6.2.4 (北京理工大学,2005年)设A为数域F上的n阶矩阵,f(x),g(x)Fx,证明：如果d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式,那么齐次线性方程组d(A)X=0的解空间等于f(A)X=0的解空间与g(A)X=0的解空间的交集.,证明:由题知,存在u(x),v(x)Fx,使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x).且存在h(x),k(x),使得f(x)=h
25、(x)d(x),g(x)=k(x)d(x).,那么有u(A)f(A)+v(A)g(A)=d(A) (I)f(A)=h(A)d(A),g(A)=k(A)d(A) (II),证明: (1)必要性,不妨设d(A)X=0的解空间为W， f(A)X=0的解空间为U, g(A)X=0的解空间为V.,若d(A)X=0,那么由(II)知f(A)X=h(A)d(A)X=0,g(A)X=k(A)d(A)X=0, 于是有W UV.,若f(A)X=0且g(A)X=0,那么由(I)可知d(A)X=u(A)f(A)X+v(A)g(A)X=0于是有UV W，那么可得W=UV. ,例6.2.5 (重庆大学,2005年)设A,
26、B为n阶方阵,证明: r(AB)=r(B)的充要条件是ABx=0的解均为Bx=0的解.,记ABx=0的解空间为W1, Bx=0的解空间为W2,那么如果Bx=0,显然有ABx=0,即有W2 W1.,由dimW1=n-r(AB),dimW2=n-r(B),且r(AB)=r(B)可知dimW1=dimW2.那么有W1=W2,显然有ABx=0的解均为Bx=0的解.,(2)充分性,若ABx=0的解均为Bx=0的解,那么有W1 W2.,又显然有W2 W1,于是可得W1=W2,那么dimW1=dimW2.,由dimW1=n-r(AB),dimW2=n-r(B),即知r(AB)=r(B). ,例6.2.6 (
27、复旦大学,2002年)设n为一个自然数,V是由所有nn实矩阵构成的n2维实向量空间,U和W分别为由所有nn对称矩阵和反对陈矩阵构成的空间.证明: V=UW,即V是U和W的直和.,然后证明是直和.只要证明UW=0即可.,证明: 先证明V=U+W,显然U+W V,下证V U+W,任取AV,有容易验证 是对称矩阵, 是反对陈矩阵,因此有V U+W,可得V=U+W.,任取BUW,有BT=B,BT=-B,于是B=-B,即2B=0,从而B=0,因此UW=0.,综上所述, V=UW. ,例6.2.7 (上海大学,2005年)Fn是nn矩阵的全体,已知V1=x|Ax=0,xFn, V2=x|(A-I)x=0,
28、xFn,求证:Fn=V1V2的充分必要条件是A2=A.,证明: (1)充分性:,若A2=A,那么有A(A-I)=(A-I)A=0.,即有:Fn=V1+V2,那么有V1+V2=0,于是Fn=V1V2.,有:,显然有:,于是有:,若 V1V2,那么显然有A =0,(A-I) =0,两式相减即得 =0,证明: (2)必要性:,若Fn=V1V2,那么有n=dim(Fn)=dimV1+dimV2.记dimV1=r,那么有dimV2=n-r.于是A的特征值0的特征子空间的维数为r,属于特征值1的特征子空间的维数为n-r,那么存在可逆矩阵P,使得:,例6.2.8 (北京师范大学,2006年) V是n维线性空
29、间,V1,V2是V的子空间,且V1,V2的维数相等.证明:存在一个子空间W,使得V=V1W=V2W.,证明:不妨设dim(V1V2)=r,dimV1=dimV2=m,那么有dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1V2)=2m-r.,将它扩充为V的一组基为:,记空间V1V2的一组基为:,那么可将它扩充为V1的一组基为:,也可将它扩充为V2的一组基为:,那么显然有V1+V2的一组基为:,那么有dimW=m-r+(n+r-2m)=n-m.,注意到dimV1=m,那么有dimV=dimV1+dimW.,记:,由 的线性无关显然可得是线性无关的.,若 ,那么有:,那么移项有,且有kr+
30、1-lr+1=0,km-lm=0.,将lj=0(j=r+1,m)代入上式有ki=0(i=r+1,m).,于是有dimV=dim(V1+W)=dimV1+dimW.,显然有V=V1W.,同理有V=V2W. ,那么由 的线性无关有ki=0(i=1,2,r),lj=0(j=r+1,n+r-2m).,于是有 =0,即V1W=0.,例6.2.9 (北京邮电大学,2003年) 证明:同一个数域P的两个有限维的线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.,证明:设V和V/都是数域P上的有限维线性空间.,必要性的证明见下面的理论链接(6),下证充分性.,设dimV=dimV/=n,在V,V/中可取一组基:,令:
31、,从(I)看出,V中的每一个向量 在V/中都有唯一的向量与 对应.由于 是V/的一组基,因此V中不同的向量对应于V/中不同的向量;并且对V/中每个向量 ,都有V中的向量 对应于 .因此 是V到V/的双射 .,注(理论链接):关于线性空间的同构概念和性质如下:,设:,则:,因此 是一个V到V/的同构映射,从而VV/. ,(1)设V与V/都是域F上的线性空间,如果有V到V/的一个双射 ,使得对于任意 V,kF,有.,那么称 是V到V/的一个同构映射(简称为同构).如果V到V/有一个同构映射,则称V和V/是同构的,记为VV/.,(2) (0) 是V/的零元素0/.,(3)对任意的 ,有 .,(4)对
32、于V中的任一组向量 ,F中任意一组元素k1,k2,ks有:,(5)V中向量组 线性相关,当且仅当 是V/中线性相关向量组.,(6)如果 是V的一个基,则是V/的一个基.,证明如下:,考点3:线性映射、线性变换与矩阵,由(5)可知 是V/的一个线性无关的向量组.任取 ,由于 是V到V/的一个满射,因此存在 ,使得 .,设:,则:,因此 是V/的一个基.,考点点拨：对线性映射的定义,线性变换在不同基下的矩阵表示及联系的考查,其中包括了对线性变换的逆与直和及子空间一系列概念的综合考查.,例6.3.1 (上海交通大学,2004年) 设 为线性空间V的一个线性变换, .证明: (1) 的特征值只能是1或
33、0. (2)若用V1与V0分别表示对应于特征值1和0的特征子空间,则 , . (3),解: (1)不妨设 为 的某个特征值,对应于这个特征值的一个特征向量(是非零向量)为 ,那么由于 ,有 ,也即有 ,于是 ,那么 或 .于是 的特征值只能为1或0.,(2) 使得 ,那么,那么有 ,于是 .,另一方面,若 ,那么 ,显然有 ,即有 .,于是有 .,即有 ,显然有 ,即有 .,若 ,那么 ,即 ,于是 ,则 .,证明: (1)必要性,而若 V1V0,那么有 .,即有 ,那么有V1V0=0,可见有 . ,例6.3.2 (浙江大学,2003年)设A为n阶复矩阵,若存在正整数m使得Am=0,则称A为幂
34、零矩阵.求证: (1)A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为零. (2)设A不可逆,也不是幂零矩阵,那么存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP= ,其中B是幂零矩阵,C是可逆矩阵.,若A是幂零矩阵,那么若取A的特征值为 ,对应于 的特征向量为 ,有A = ,于是0=0 =An = ,即可得 =0,所以A的特征值全为0.,充分性:若A的特征值全为零,那么A的Jordan标准形J中对应的Jordan块都形如Jk(0),不妨设这些Jordan块中阶数最大的为m,那么显然有Jm=0,由A相似于其Jordan标准形,那么存在可逆矩阵P使得A=PJP-1,那么有Am=PJmP-1=0.,(2)由于A不可逆,那
35、么A必有特征值为零,那么A的特征值多项式 必可写成 的形式(其中k0,且 的首项系数为1.).,若 =1,那么 ,于是f(A)=An=0,知A必为幂零矩阵,导致矛盾.可见 ,于是将 分解为一次因式的乘积,可得A的所有的初等因子,将A的所有的对应于特征值零的Jordan块组成块对角矩阵B,显然B是个幂零矩阵,而将A的所有的对应于非零特征值的Jordan块组成对角矩阵C,由于上三角阵C,显然J为A的Jordan标准形那么存在可逆矩阵P,使得:,的主对角线上没有零元,显然C可逆,令,例6.3.3 (浙江大学,2004年)设V=Pnn是P上的线性空间.取定A,B,C,DPnn,对任意XPnn,令(X)
36、=AXB+CX+XD.求证: (1) 是V的线性变换.(2)当C=D=0, 可逆的充要条件是|AB|0.,(2)充分性,证明: (1)显然有 (X)V,知 是V上的线性变换,下面证明它必是线性的.,即 为V上的线性变换.,若|AB|0,那么有|A|0且|B|0,则矩阵A,B都可逆.若令Y=AXB,那么有X=A-1YB-1,于是可令 -1(X)=A-1XB-1,易验证 ,即有 可逆.,特别地,取Y=In代入(I)式并在两边取行列式有|AXB|=10,显然可得|AB|0. ,证明:必要性.,必要性:若 可逆,那么显然有 为V上的双射,且是满射,那么任取YV,存在XV使得AXB=Y (I),例6.3
37、.4 (华中科技大学,2006年) 设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换,W1,W2是V的子空间,并且V=W1W2,证明: 有逆变换的充分必要条件是:,若 有逆变换,那么 是个V上的双射,显然也是V上的同构变换,注意到同构变换不改变向量组的线性相关性那么显然有:,也即有:,充分性:若 且V=W1W2,下面证明 必可逆.,由V=W1W2,不妨设dimW1=r,取W1的一组基 和W2的一组基 合起来构成V的一组基.若一个空间中的一组向量线性相关,那么这组向量在 下的象也必线性相关,那么显然有 .若 或 ,将导致 的矛盾,于是必有 .,例6.3.5 (武汉大学,2003年)设V1和V2是向量空间
38、V的子空间,且V=V1V2(即V是V1与V2的直和),若定义映射：,注意到 张成了空间 ,由 知 必线性无关,那么就构成了 的一个基.同理构成了 的一个基,由V=W1W2 知这两组基合起来就构成了V的一组基,于是取V上的变换 如下: 将V上的基 依次映射到基,显然易验证 .,即有 是 的逆变换. ,证明: (1)f1,f2是V的线性变换. (2)f12=f1,f22=f2. (3)f1f2=f2f1=0(零变换),f1+f2=idV(V的恒等变换).,知f1,f2都是V的线性变换.,证明: (1)对 V和常数k有:,即知f12=f1,f22=f2.,即有:f1f2=f2f1=0,f1+f2=i
39、dV. ,(2) ,有：,(3) ,有：,且有：,下面证这个线性变换是唯一的.,可见有S=T,即得唯一性. ,例6.3.6 (重庆大学,2003年)设e1,e2,en是n维线性空间Vn的一组基,对任意n个向量 ,证明:存在唯一的线性变换T使得 .,证明:显然 ,由于e1,e2,en是它的一组基,那么 可写为 =l1e1+l2e2+lnen (I),作Vn上的线性变换T为 ,那么显然有T( )=l1T(e1)+l2T(e2)+lnT(en),若还有一个线性变换S满足 ,那么对于(I)中任取的 有S( )=l1S(e1)+l2S(e2)+lnS(en),例6.3.7 (重庆大学,2004年)已知全
40、体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V: (a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2);k(a,b)=(ka,kb+k(k-1)/2a2) (1)求V的一组基. (2)定义变换/A(a,b)=(a,a+b),证明:/A是一个线性变换,并求/A在V的一组基下的矩阵表示.,解: (1)显然dimV=2,那么只要找到V中的两个线性无关的向量即可组成V的一组基,考查V中的两个向量:e1=(1,0),e2=(0,1).,下面证明它们是线性无关的,令它们的线性组合为零,有:k1(1,0)+k2(0,1)=(0,0).,于是有: (k1,k1(k1-1)/2+k2)=(0,0).,即有e1,e2线性无关,并组成V的一组基.,(2)任取(a,b),(c,d)V,kR,有 /A(a,b)+(c,d)=/A(a+c,b+d+ac)=(a+c,a+b+c+d+ac),/A(a,b)+/A(c,d)=(a,a+b)+(c,c+d)=(a+c,a+b+c+d+ac),即知/A(a,b)+(c,d)= /A(a,b)+/A(c,d).,那么有:,易推得:,而,显然有:/A(k(a,b)=k/A(a,b).,即知/A是个线性变换.,由(1)知e1,e2是V的一组基,下面求线性变换/A在这组基下的矩阵表示.,
