1、线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇- 1 -第五讲 线性空间与线性变换一、基本概念1. 数域 数的集合，且K1) ；0,12) 关于 运算封闭 .,例如：数域 ,QRC* 任意数域都包含有理数域（有理数域是最小的数域）. 数域有无穷多.2. 数域 上的线性空间 非空集合 + 数域 + 集合 在数域 上关于“+”与“数乘”运算封闭 + KKVKVK八条规律线性空间也称为向量空间，其中的元素也称为向量.* 维实向量线性空间nnR例如，例 5.1-例 5.73. 子空间 1) ；KUKV2) 且 是数域 上的线性空间 .生成子空间 1) ；K12,sK2) . （P84 例 5.10）1
2、212,ssULkkkK 4. 基 维数 坐标基 线性空间中的“极大线性无关组” P84维数 “极大线性无关组” 的秩 P84例如，例 5.11-例 5.14坐标 线性空间中的向量由基线性表示的系数 P85例如，例 5.15-例 5.165. 基变换和坐标变换基变换 基之间的线性变换 P87过渡矩阵 构成基变换的矩阵（过渡矩阵是可逆矩阵） P88坐标变换 向量在不同的基下的坐标之间的线性变换 P886. 线性变换线性变换 线性空间 到 的满足线性运算的映射 P89KV例如，例 5.17-例 5.20线性变换的矩阵 基表示基的像的线性变换矩阵 P90线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇
3、- 2 -例如，例 5.21-例 5.227. 欧氏空间内积 设 是实数域 上的一个线性空间，在 上定义一个二元函数，记作 ，如果它满足：VRV,1) ，有 1) （对称性） ；,k,2) , （线性性） ；k3) ,当且仅当 时， （正定性） ，,0,0则称这个二元函数 是 上的内积. P93V欧氏空间 定义了内积的实线性空间（实数域上的线性空间） P93* 维实向量线性空间 是欧氏空间nnR例如，例 5.24-例 5.26向量的长 P94,单位向量 （规范性） P941向量的夹角 ， P94,arcos0,向量的正交 （正交性） P94,2例如，标准单位向量组中的向量是相互正交的向量例 1
4、（P94 例 5.27）8. 规范正交基规范向量组 向量长度皆为 1 的向量组正交向量组 向量皆非零且互相正交的向量组（正交向量组线性无关） P94规范正交向量组 满足规范性和正交性的向量组，即若 满足： ，12,s ,0,ijijP941,i正交基/规范正交基 由正交 向量组成的基/ 由规范正交向量组成的 基 P95正交矩阵 P97TAE二、基本结论1. 线性空间的基本性质 P831)线性空间的零向量是唯一的；2)每一个向量的负向量是唯一的；3) ；0,kK4)若 , 则 .0或 线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇- 3 -2. 子空间的判定定理 1（P84 定理 5.1）例如，
5、例 5.8-例 5.9推论（P85） 如果线性空间 ，则 .UVrV3. 基的性质定理 2（P85 定理 5.2） （产生基的方法）推论（P85） 含有非零向量的线性空间一定存在基.推论（P95） 非空的欧氏空间一定存在规范正交基.4. 坐标变换与基变换的关系定理 3（P88 定理 5.3）例 1（P88）5. 线性变换的性质线性变换的性质（P88）定理 4（P91 定理 5.4）(向量与向量的像在同一基下的坐标的关系)定理 5（P92 定理 5.5）(两组基的线性变换矩阵之间的关系)例 2（P92 例 5.23）6. 正交矩阵的性质(1) ；1A(2) 是正交矩阵的充要条件是 的行向量组和列
6、向量组是规范正交向量组 . P97A例 3（P97 例 5.30）三、向量组的规范正交化定理 1（P95 定理 5.7）例 1（P95 例 5.28）例 2（P96 例 5.29）四、习题解答1. P98 3.提示: 即求 的极大线性无关组极其秩 .1234,2. P98 5.提示: （1） 是 维线性空间 . 是 的一组基.Vn23,ne 1V（3） 是 维线性空间. 是 的一组基.11,0,0,0,1TTT 3V（5） 是 1 维线性空间, 是 的一组基. 5（6） 是 2 维线性空间, 是 的一组基.V,1TT 6V线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇- 4 -3. P98 6
7、.提示:（1） 1234,111110400223230 74, 所以 是线性空间 的一组基.1234,R1234,4K（2）设 , 则 .1234,x1123,1234554,32783-6所以 在基 下的坐标为 .1234,1,T4. P98 7.提示: 令 , 有 , 故21123 nnkxakkxa 120nkk线性无关, 可以成为线性空间 的一组基.21,x Rx因为 , 所以2 1(1)2!nnfxfffxfa在基 下的坐标为211nx ,a, 即(1),!(!Tnfafaf .21 21,2,Tnna 5. P98 8.提示: （1）过渡矩阵 ;112323,C（2） .1123
8、 1123, ,T Txy6. P99 10.提示: 计算基的像 , 表示11212,AEAE11212,AEAE, 则 即是所求.12, C7. P99 11.提示: 同上题8. P99 12.线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇- 5 -提示:（1）同上题;（2）用 表示 , 并计算像 . 余下同（1）.123,123123,A9. P99 13.提示:（1） . 余下同 12.（2）;321230,1（2） , 余下同上;123123,0kk（3） , 余下同上.123123,0110. P100 14.提示: 3221 4 124 10 011 023rr r :故由 生成的
9、子空间 的一组基为 .1234,V0,123正交化 ,10716324:单位化 .1760624，故空间 的一组规范正交基为 .V1702664，11. P100 16. 17.提示:（1） 、 （2） 是正交矩阵C1TTCE线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇- 6 -（3） TTABAE（4）TOOEB12. P100 3.提示: P64 11.13. P100 4.提示: 表示法唯一 线性无关; 任意向量都可由 线性表示12,n 12,n是一组基.12,n14. P100 5.提示:（1） ;221231,1,0xx（2） .223,1xx14. P100 6.提示: 同 12
10、.（2）.15. P101 7.提示: （1）关于 y 轴对称;（2）投影到 x 轴;（3）关于直线 y=x 对称;（4）逆时针旋转 900.16. P101 8.提示: .,xABCDAy（1） ;10xxyy（2） ;20（3） .2 1xyxyy17. P102 10.提示: 方程组 的解即为所求.123,0Tx18. P102 11.线性代数与空间解析几何辅导讲义 编写者: 张薇- 7 -提示:（2）设 , 有1U11 01RUnURn19. P102 12.提示: 是正交矩阵A12 1TTAE另一方面,由 *1T, 1 ijijAa当当20. P102 13.提示: 由 12.(1)及 及0ABTTTTBBA0TA五、知识扩展1. 设 是秩为 2 的 矩阵, 是齐次方程组B54123,3,1,4,5,18,9TTT的解向量, 求 的解空间的一组规范正交基.xx提示: 基础解系含有两个解向量, 即 的解空间的基中含有两个解向量. 又RBx线性无关, 故 是 的解空间的一组基. 将 正交化规范化, 即得 的解空间的1212B12Bx一组规范正交基.
