1、总学时： 32 学分：2 先修课程: 线性代数，现代控制理论 教学目的:矩阵理论是系统与控制科学的数学基础之一，本课程主要介绍系统与控制学科中用到的矩阵理论，包括线性空间与线性变换、-矩阵与Jordan 标准型、矩阵分解、 矩阵范数、矩阵函数、线性矩阵不等式等，为从事系统和控制科学的各专业领域的教学和科研奠定良好的基础。 考核方式：大作业（40%）与闭卷考试（60%） 教师：刘冀伟（1-3）、丁大伟（4-6）,系统与控制中的矩阵理论,系统与控制中的矩阵理论,黄琳. 系统与控制理论中的线性代数.科学出版社，1984 须田信英等.自动控制中的矩阵理论. 科学出版社，1979. 张绍飞等.矩阵论教程
2、.机械工业出版社，2010 杨明、刘先忠 . 矩阵论 华中科技大学出版社，2005 何希勤 、张大庆.控制理论与控制工程中的矩阵分析基础.科学出版社，2010. 俞立. 鲁棒控制: 线性矩阵不等式处理方法.清华大学出版社，2002. Stephen Boyd. Linear matrix inequalities in system and control Theory. SIAM studies in applied mathematics，1994.,北京科技大学,线性空间与线性变换,2011年8月4日,本章的主要内容,线性空间 1.1 线性空间的定义与性质 1.2 线性空间的基与坐标 1
3、.3 线性子空间 1.4 线性空间的同构 线性变换 1.5 线性映射与线性变换 1.6 线性变换的值域与核 1.7 不变子空间 1.8 特征值与特征向量 内积空间 1.9内积空间简介,1.1线性空间的定义与性质,数轴平面几何空间和 n 维向量空间线性空间 推广思想： 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。,0,1.1线性空间的定义与性质,定义 1.1.1设 V是一个非空集合，它的元素用 x,y,z 等表示,并称之为向量.K 是一个数域,它的元素用 k,l,m等表示. 如果 V满足下列条件; 在V中定义一个加法运算,即当x,yV 时,有唯一的和x+y V ,且加
4、法运算满足下列性质 结合律 (x+y)+z= x+(y+z); 交换律x+y=y+x; 存在零元素 0, 使得x+0=x; 存在负元素,即对任一向量 xV,存在yV使得x+y=0,在 V中定义数乘(数与向量的乘法)运算,即当 xV, kK时,有唯一的kxV,且数乘运算满足下列性质 数因子分配律k(x+y)=kx+ky; 分配律(k+l)x=kx+lx; 结合律k(lx)=(kl)x; 1x=x. 则称V为数域 K上的线性空间.,例： 数域R上的mn矩阵，按矩阵加法和矩阵与数的数量乘法构成数域R上的一个线性空间，用Rmn表示。 全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性
5、空间。 线性空间的简单性质 零元素是唯一的； 负元素是唯一的； 0x=0;k0=0;(-1)x=-x； 如果kx=0,那么k=0或x=0。,1.1线性空间的定义与性质,1.2线性空间的基与坐标,定义1.2.1设V是数域K上的一个线性空间， 是V中的一组向量， 是数域K中的数，那么向量 称为向量 的一个线性组合，有时也称向量 可以由 线性表出。,定义1.2.2设V是数域K上的一个线性空间， 和 是V上的两个向量组，如果（1）中的任一向量都可由向量组（2）标出，则称向量组（1）可由向量组（2）线性表出。如果向量组（1）和（2）可以互相线性表出，则称向量组（1）和（2）是等价的。,一、维数与坐标,1
6、.2线性空间的基与坐标,定义1.2.3 线性空间V中的一组向量 称为线性相关的，如果在数域K中存在r个不全为零的数， 使得 。如果向量组 不线性相关，就称为线性无关。,定义1. 2.4 如果线性空间V中有n个线性无关的向量，但没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为是n维的表示为：dimV=n。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。,1.2线性空间的基与坐标,定义1.2.5 n维线性空间V中，n个线性无关向量称为V的一组基。如果V中的任一向量，则可以由一组基线性表出，即 其中 是被唯一确定的，这组数就称为在基 下的坐标，记为 。,定理1.2.1若线性空间V中有n个线
7、性无关向量 且V中任意向量都可以用它线性表出，那么V是n维的，而且 就是V的一组基。,证明：因为 线性无关的向量,所以dimVn 要证明V是n维的，只要证明任意n+1个向量必定线性相关。,1.2线性空间的基与坐标,对任意给定的n+1个向量 其均可由向量组 线性表出，若其线性无关则有n+1n，矛盾！命题得证。,二、坐标变换 设 和 都是n维线性空间V的基， 并且：, V，在两组基 下的坐标分别为：,在不同基下坐标间的关系？,1.2线性空间的基与坐标,两个基间的过渡矩阵A：,A是可逆矩阵；detE=detE*detA,1.2线性空间的基与坐标,1.3线性子空间,一、定义与性质 定义1.3.1 数域
8、K上线性空间V的一个非空子集W称为V的线性子空间，如果W对于V的两种运算也构成数域K上的线性空间。 分类：平凡子空间V和；非平凡子空间。 定理1.3.1 如果线性空间V的非空子集W对于V的两种运算是封闭的，那么W是V的一个子空间。 例：线性空间Rn中的齐次线性方程组Ax=0的全部解向量组成一个子空间，这个子空间称作齐次方程组的解空间，解空间的基就是方程组的基础解系，其维数为n-r，其中r=rankA，n为x的维数。,1.3线性子空间,定义1.3.2 设 是数域K上线性空间V中的一组向量，则这组向量所有可能的线性组合所组成的集合记为 。 定理1.3.2 是线性空间V的一个子空间，称为由向量组生成
9、的子空间。 定理1.3.3 两个不同向量组生成相同线性子空间的充要条件是两个向量组是等价的。并且子空间的维数是向量组的秩。 证明： 生成相同线性子空间两向量组是等价的 设 两个向量组，如果,1.3线性子空间,所以两组向量等价,两组向量等价,反之亦然，命题成立,1.3线性子空间,定理1.3.4 设W是数域K上n维线性空间V的一个m维子空 ， 是W的一组基，那么这组向量必定可以 扩展为整个空间V的基。,证明： 对维数差n-m作归纳n-m=0，命题成立； 设n-m=k，命题成立；证明n-m=k+1时命题成立；设 线性无关，但不是V的一组基，则存在 与向量组,1.3线性子空间,定理1.3.5 V1、V
10、2是线性空间V的两个线性子空间，则它们的交集V1V2也是V的线性子空间。,使得,的维数为m+1，因为n-(m+1)=k,由归纳假设知对,是线性空间V的一组基。,存在,线性无关，所以,也线性无关，由定理1.3.3,二、子空间的交与和,定义1.3.3 设V1、V2是线性空间V的两个线性子空间，它 们的和V1+V2=1+2| 1 V1，2V2,定理1.3.6 V1、V2是线性空间V的两个线性子空间，则它们的和V1+V2也是V的线性子空间。,1.3线性子空间,定理1.3.7 V1、V2是线性空间V的两个线性子空间，则dimV1+dimV2-dim(V1V2)=dim(V1+V2),1.3线性子空间,三
11、、子空间的直和,定义1.3.4设V1、V2是线性空间V的两个线性子空间，它 们的和V1+V2=1+2| 1V1，2V2中的1 和2 是唯一的，这个和称为直和，记为V1 V2。,定理1.3.8 V1+V2是直和的充要条件是：等式1+2 =0成立，只有1=0，并且2=0。其中：1 V1，2V2,证明： V1+V2是直和，所以零向量的分解式唯一,成立充分性： V1+V2 ，并且有两个分解= 1+ 2=1+2其中1，1V1，2，2V2(1-1)+(2-2) =0，所以1=1，2=2所以分解式是唯一的。,1.3线性子空间,定理1.3.9 V1+V2是直和的充要条件是： V1 V2=0，或 Dim(V1+
12、V2)=dimV1+dimV2。,定理1.3.10设U是线性空间V的一个子空间，那么一定 存在一个V的子空间W，使得： V=U W,推广：V1，V2， ，Vk是线性空间V的子空间，那么如下条件是等价的。 W= V1+V2+ +Vk是直和； 零向量表示唯一； Vi (V1+V2+ +Vi +Vi+1+ +Vk )=0 dimW=dim V1+dimV2+ +dimVk,1.4线性空间的同构,映射：从一个集合A到另一个集合B的对应，:AB aA,bB,s.t.b= (a),b称为a在下的像，a是b的源像或逆像 Im()=b:b= (a), aA,Im()=B称为是满射的 单射：若a a，则(a)
13、(a ) 1-1映射(双射)-单射+满射 f: AB, g: AB；f=g f(a)=g(a),aA, 映射的和与积设f: AB, g: BC, h: BC定义映射gf : AC gf(a)=g(f(a),g+h: BC (g+h)(a)=g(a)+h(a) f:AB是双射，定义g:BA g(b)=a if f(a)=bgf=1A ;fg=1B . 称g是f的逆映射。,1.4线性空间的同构,定义1.4.1 数域K上的两个线性空间V和V称为同构的， 如果由V到V有一个1-1映上的映射，具有以下的性 质: (+)=()+() (k)=k() 其中： 、 V，k K。称为同构映射。,同构映射的性质：
14、 (0)=0，(-)=- () (k11+ +knn)=k1(1)+kn(n) 1, ,n线性相关等价(1)(n)线性相关子空间的像还是子空间，像的维数不变同构的逆映射，两个同构的积还是同构的,定理1.4.1 数域K上的两个有限维的线性空间同构的充要 条件是它们有相同的维数。,1.5 线性映射与线性变换,定义1.5.1设V，W是数域K上的线性空间， :VW，如果满足如下条件 对任意的,V, (+)= ()+ ()对任意的V,kK, (k)=k()则称是V到W的线性映射，如果W=V，称是V上的线性变换。,线性映射的性质： (0)=0， (-)=- () (k11+ +knn)=k1 (1)+kn
15、 (n) 1, ,n线性相关等价 (1) (n)线性相关。,一、线性变换的定义,1.5 线性映射与线性变换,定理1.5.1：线性变换的和，积和数乘还是线性变换。 定理1.5.2：线性变换的加法满足交换律和结合律，存在零变换和负变换。积满足结合律。线性变换的数乘满足结合律、分配率和数域中的单位元。 定理1.5.3：数域K上的线性空间V的线性变换全体构成的集合对于以上加法和数乘构成数域K上的线性空间。,二、线性变换的运算,设、是线性空间V的线性变换 和： (+)(a)= (a)+ (a),a V 积： (a)= (a) ,a V 数乘：(k )(a)=k(a) aV, kK,1.5 线性映射与线性
16、变换,设V是P上的n维线性空间， 是V的一组基 V，则 ，是线性变换,定义1.5.2：设是线性空间V的线性变换，称是可逆的如果存在变换，使得=I，变换称为变换的逆变换，记为-1。 定理1.5.4：逆变换也是线性变换。,三、线性变换的矩阵,1.5 线性映射与线性变换,定理1.5.5：设V是P上的n维线性空间，1,2, ,n 是V的一组基，如果线性变换与在这组基上的作用相同，那么与相等。 证明： = 任意的V都有 = ,定理1.5.6：设 1,2, ,n 线性空间V的一组基， 1, 2, ,n 是V中的任意n个向量，则存在唯一的线性变换 ，使得： (i)=i，i=1,2，n。,1.5 线性映射与线
17、性变换,证明：设 1,2, ,n线性空间V的一组基,任意V则有 =x11+x22+xnn 构造V上变换 ：VV，()= x1 1+x2 2+xn n 则有： (i)=i，i=1,2，n。任意的，V (+)= ()+ () k P (k)=k (),定义1.5.3：设1,2, ,n线性空间V的一组基， 是V中的线性变换，基向量的像可以被基线性表出：,1.5 线性映射与线性变换,称矩阵A为变换在基1,2, ,n下的矩阵,定理1.5.7：设1,2, ,n线性空间V的一组基，在这组基下每个线性变换对应的矩阵具有如下性质： 线性变换的和对应矩阵的和； 线性变换的乘积对应矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对
18、应矩阵的数量乘积； 可逆变换对应可逆矩阵，且逆变换对应逆矩阵。,1.5 线性映射与线性变换,1.6 线性变换的像与核,定义：设,定义1.6.1：设是线性空间V上的线性变换， 的全体像组成的集合称为的像，记为Im ；所有被变为零向量的向量集合称为的核，记为Ker 。,定理1.6.1 ：设是线性空间V上的线性变换，则Im和 Ker都是V的子空间。 Im的维数称为的秩，Ker 的维数称为的零度。,定理1.6.2：设是线性空间V上的线性变换，1,2, ,n是V的一组基，在这组基下的矩阵为A，则Im=span(1, 2, , n)的秩=rankA,1.6 线性变换的像与核,证明：xV，则有x=x11+x
19、22+ +xnnx=(x11+x22+ +xnn)= x11+x22+ +xnn即：Im span(1, 2, , n)基像组的线性组合是的像，所以span(1, 2, , n) Im Im = span(1, 2, , n) 的秩=Im的秩，矩阵A是由基像组的坐标组成，而基像组的秩与其坐标组成的矩阵秩相同所以：的秩=rankA,1.6 线性变换的像与核,Im=span(1, 2, , n) = span(r+1, , n) 的秩+的零度=n,例：若线性定常连续系统(A,b,c)不完全能控，其维数为n，则状态空间 X=XcXnc，Mc=b|Ab|An-1b 则 Xc=ImMc称为能控子空间；X
20、nc=KerMc称为不能控子空间。,证明：设的零度为r，取Ker 的一组基1,2, ,r,并将其扩展成V的一组基1,2, ,r, r+1, ,n,定理1.6.3：设是n维线性空间V上的线性变换，则 的秩+的零度=n,1.7 不变子空间,定义1.7.1：设是数域K上线性空间V上的线性变换， W是V的子空间，如果W中的向量在 的像仍在W中， 称W是的不变子空间。,例：线性空间V上的线性变换的核与像都是V的不变 子空间。,定理1.7.1：设是数域K上线性空间V上的线性变换，W是V的不变子空间，如果W的基为1,2, ,r，将其扩展成V的一组基1,2, ,r, r+1, ,n，则在这组基下的矩阵有如下形
21、式。,r,r,1.7 不变子空间,证明：1,2, ,r是W的基，所以有 i=ai1 1+ai2 2+ +air r，i=1,2，r命题得证,定理1.7.2：线性空间V= V1 V2，V1，V2都是的不变子空间，如果V1的基为1,2, ,r， V2的基是r+1, r+2, ,n则在这组基下的矩阵有如下形式。,r,r,1.8特征值与特征向量,定义1.8.1：设为线性空间V上的线性变换，如果存在非零向量V， K,使得=，则称数为的特征值，向量为线性变换的对应于特征值的特征向量。,定理1.8.1： 设V上线性变换在基 下的矩阵为A，则A的特征值就是变换的特征值；若是A的对应于特征值的特征向量，则 就是
22、的特征向量。（变换-矩阵的特征值特征向量）,一、定义与基本性质,1.8特征值与特征向量,定义1.8.2：A是数域P上的nXn矩阵，定义det(I-A)为A的特征多项式。,矩阵A的特征根就是特征多项式det(I-A)的根； 相应的特征向量为线性方程组(I-A)=0的非零解。例：上三角矩阵的特征根求解,问题：线性变换在不同基下的矩阵不同，不同矩阵的特征值与特征向量也不同，哪么线性变换的特征值？,求特征值和特征向量的方法,1.8特征值与特征向量,定理1.8.2：相似矩阵具有相同的特征多项式。,定理1.8.3：任何一个复方阵必相似于一个上三角矩阵。,证明：对方阵的阶数使用数学归纳法 n=1，显然成立；
23、假设n=k-1时结论成立； 证明n=k时结论成立 A看成线性空间V上的线性变换的矩阵 设是的一个特征值，则有非零向量1使得 1=1，用1扩展出V的一组基1,2, ,n 则线性变换在这组基下的矩阵具有如下形式,1.8特征值与特征向量,定理1.8.4：矩阵A是n阶方阵，f(x)是一个多项式，若1,2,n是A的特征值，则f(1), f(2), f(n)是f(A)的特征值。,定理1.8.5：矩阵A是n阶方阵，f(x)是一个多项式，若f(A)=0，则f(1)= f(2)= f(n)=0。,定理1.8.6：矩阵A是n阶可逆方阵，若1,2,n是A的特征值，则1-1, 2-1, n-1是A-1的特征值。,1.
24、8特征值与特征向量,二、对角化,定理1.8.7： 设是n维线性空间V上的线性变换，的矩阵可以在某一组基下表示为对角阵的充要条件是有n个线性无关的特征向量。,定理1.8.7： 设A是n阶方阵，则A相似于对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。,定理1.8.8：若1, 2, ,m为数域K上n维线性空间V上线性变换的不同特征值，则V 1+V 2+ +V m= V 1V 2 V m,证明：对m使用数学归纳法m=1，显然成立；假设m=k-1时结论成立；证明m=k时结论成立,1.8特征值与特征向量,V1+V2+ +Vk=V 1V 2 V k成立 即需要证明V k (V1+V2+ +Vk-1)=0 设
25、v V k (V1+V2+ +Vk-1) 则v=v1+v2+ +vk-1，vi V i ,i=1,2, ,k-1 v= v1+ v2+ + vk-1 kv=1v1+2 v2+ +k-1 vk-1 0=(k-1)v1+(k-2)v2+ +(k-k-1)vk-1 V1+V2+ +Vk-1是直和，所以(k-i)vi=0 但(k-i)0，vi=0，v=0,1.8特征值与特征向量,推论：如果n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必相似于对角阵,推论：线性变换的属于不同特征值的特征向量必线性无关。,定理1.8.9：设是n维线性空间V中的线性变换，是的特征多项式的m重根，V0是属于的特征子空间，则dimV0m.
26、,1.8特征值与特征向量,定理1.8.10：矩阵A可对角化的充要条件是A有完全特征向量系。,定义1.8.4：设是有限维线性空间V上的线性变换，是的一个特征值， V 是属于 的特征子空间，则称dimV 为的度数或几何重数，线性变换的特征多项式根的重数称为的重数或代数重数，若的任一特征值的度数等于重数，则称有完全特征向量系。,定理1.8.11：设1, 2, ,m为数域K上n维线性空间V上线性变换的不同特征值，则在某组基下的矩阵可以对角化的充要条件是V= V 1V 2 V m,1.8特征值与特征向量, 求对角阵, 求,1.8特征值与特征向量,1.8特征值与特征向量,三、极小多项式Kayley-Ham
27、ilton定理,定理1.8.13 ：（Caylay-Hamilton定理）A是数域P上的nXn矩阵，f()=det(I-A)为A的特征多项式。则有：f(A)=An-(trA)An-1+ +(-1)ndetA*I=0,定义1.8.5：若n阶矩阵A适合非零首一多项式m(x)，且m(x)是A所适合多项式中次数最小者，则称m(x)是A的极小多项式,定理1.8.12： m(x)是n阶矩阵A的极小多项式，则 m(x)是唯一的； 相似矩阵具有相同的极小多项式,1.8特征值与特征向量,例：应用凯莱哈密顿定理求,1.8特征值与特征向量,如何确定,=,1.8特征值与特征向量,2)当A的特征根有重根（n重特征根）,
28、1.8特征值与特征向量,解：求特征值,：计算,1.8特征值与特征向量,1.8特征值与特征向量,四、特征值的估计,定理1.8.14：（戈氏圆盘）设A是n阶复矩阵，A=aijnXn，则A的特征值在复平面上的下列圆盘中。,证明：取A的一个特征值，其相应的特征向量为，则有,1.8特征值与特征向量,定理1.8.15：n阶复矩阵A=aijnXn，的n个戈氏圆盘分成若干个联通区域，其中一个联通区域含有k个戈氏圆盘，则有且只有k个特征值落在这个联通区域。,1.9 内积空间,一、欧氏空间,定义1.9.1：设V是R上的线性空间，x，yV有一种规则使之对应一个实数(x,y)，称该实数为x和y的内积，满足以下条件：
29、对称性：(x,y)=(y,x) 可加性：(x+y,z)=(x,z)+(y,z) 齐次性： (kx,y)=k(x,y) 非负性： (x,x)0,(x,x)=0x=0 此时称V为实内积空间，有限维的实内积空间称为欧氏空间。,定义1.9.2：设V是欧氏空间，xV，非负实数称为x的长度（模或范数），记为 。,1.9 内积空间,定理1.9.1：设V是欧氏空间，则 k R，x V, x,y V, (平行四边形公式) x,y V, (柯西-薛瓦兹不等式) x,y V, (三角不等式),二、正交性,两点间的距离，两个非零向量的夹角,定义1.9.3：设V是欧氏空间，x，yV，如果(x,y)=0， 称x与y正交（
30、垂直），记为 xy 。,定理1.9.2：设x1,x2, ,xm是两两正交的非零向量组， x1,x2, ,xm则必线性无关。,基正交基标准正交基标准正交基的存在性,1.9 内积空间,定义1.9.3：设V是欧氏空间，TL(V,V)，如果T保持V中的内积不变，则称T是V上的一个正交变换。,定理1.9.3：设V是欧氏空间，TL(V,V)，则如下命题等价： T是正交变换； 任意x V， ； 若e1,e2, ,en是V的标准正交基，则Te1,Te2, ,Ten也是V的标准正交基； T在标准正交基下的矩阵A满足A-1=AT。,三、正交变换与正交矩阵,定理1.9.4：欧氏空间V上的任意线性函数f(x)，均存在V，使得f(x)=(x,)。,1.9 内积空间,四、酉空间,与欧氏空间基本对应 RC (x,y)=(y,x) (x,y)=(y,x) AT AH 正交矩阵酉矩阵,本章小结,本章结束,
