1、第4章 向量空间与线性变换,第4章 向量空间与线性变换,Rn的基与向量关于基的坐标 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,Rn的基与向量关于基的坐标 我们知道 1) Rn中的n个单位向量i=(0,0,1,0,0)(i=1, , n)是线性无关的； 2) 一个n 阶实矩阵A=(aij)nn，如果|A|0，则A的n个行向量和n个列向量也都是线性无关的； 3)Rn中任何n+1个向量都是线性相关的，且Rn中任一向量都可用Rn中n个线性无关的向量来表示，且表示法唯一。 Rn中向量之间的这种关系就是本节将要讨论的“基”与“坐标”的概念。,4.1 Rn的基与向量关于基的
2、坐标,Rn的基与向量关于基的坐标 定义：设有序向量组B1, 2, , n属于Rn， 如果B线性无关，且Rn中任一向量均可由B线性表示，即 a11a22+ann 就称B是Rn的一组基（或基底），有序数组(a1, a2,an)是向量关于基B（或说在基B下）的坐标， 记作： B (a1, a2, , an ) 或B (a1, a2, , an ) T 并称之为的坐标向量。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,Rn的基与向量关于基的坐标 显然Rn的基不是唯一的，而关于给定的基的坐标是唯一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自然基或标准基。在三维几何向量空间R3中，i, j, k是一组标准基，R
3、3中任一个向量可以唯一地表示为： a1i +a2j +a3k 有序数组(a1, a2, a3 )称为在基i, j, k下的坐标。如果的起点在原点，(a1, a2, a3 )就是的终点P的直角坐标（以后我们常利用R3中向量与空间点 P 的一一对应关系，对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,Rn的基与向量关于基的坐标 为了讨论问题方便，我们对于向量及其坐标常采用列向量的形式(a1, a2, , an) T表示，=a11+a22+ann可表示为：,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,求向量关于基的坐标举例 例1：设Rn的两组基为自然基B1和B2=1,
4、2,n, 其中：求向量=(a1, a2 , , an )T分别在两组基下的坐标。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,求向量关于基的坐标举例 解：关于自然基B1=1, 2, ,n显然有 = a11+a22+ +ann， 所以：设关于B2有：,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,求向量关于基的坐标举例 将以列向量形式表示的,1,2,n代入上式，得：,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,求向量关于基的坐标举例 解上式非齐次线性方程组，即得：,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 由例1可见，Rn中同一个向量关于不同基的坐标一般是不同的。因此需要一般地讨论基变换与坐标变换的问题。为了得到
5、Rn中同一向量关于两组基所对应的坐标之间的关系，先证明下面的定理。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 定理：设B=1,2, ,n是Rn的一组基，且：则1,2,n线性无关的充要条件是：,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 证：由定理中方程式得：1,2,n线性无关的充要条件是方程：只有零解xj0 (j=1, 2, , n) 。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 由于1, 2, , n线性无关，由上式得：因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等于零，即定理中条件式成立。,4.1 Rn的基与向量关于基
6、的坐标,基之间的变换 设B11,2, ,n, 和B2=1,2, ,n是Rn的两组基（分别称为旧基和新基），它们的关系如下所示：将其表示成矩阵形式,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 记上式右面的矩阵为A（注意：A是1,2,n的系数矩阵的转置），为叙述简便，上式可写作： (1,2, ,n)=(1,2, ,n) A,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 定义：设Rn的两组基B1=1,2, ,n和B2=1,2, ,n满足下式式的关系，则矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵（或称A是基B1变为基B2的变换矩阵）。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 根据前面定
7、理，过渡矩阵A是可逆的，A中第j列是新基的基向量j在旧基1,2, ,n下的坐标。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 定理 ：设向量在两组基B1=1,2, ,n和B2=1,2,n下的坐标向量分别为：基B1到基B2的过渡矩阵为A，则 Ay=x 或 y=A-1x,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 证：由已知条件，可得： (1,2, ,n)=(1,2,n) A故：由于在基1,2,n下的坐标是唯一的，所以： Ay=x 或 y=A-1x,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 例2：已知R3的一组基B2 1,2,3为1=(1, 2, 1)T，2=(1, -1,
8、 0)T，3=(1, 0, -1)T，求自然基B1=1, 2,3到基B2的过渡矩阵A。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 解：由即得,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 由例2可见，在Rn中由自然基B1=1,2,n到基B2=1,2,n 的过渡矩阵A，就是将1,2,n按列排成的矩阵。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 例3：已知R3的两组基为B1=1,2,3 及B2=1,2,3，其中 ：1）求基B1到基B2的过渡矩阵A； 2）已知在基B1下的坐标为(1, -2, -1)T，求在基B2下的坐标。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的
9、变换举例 解： 1）设：将以列向量形式表示的两组基向量代入上式，得：,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 故过渡矩阵,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 2）根据前面的定理得在基B2下的坐标另一解法：先求出，即：然后按=y11+y22+y33，解出坐标(y1, y2 , y3)T。,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 利用前面定理中关于不同基下坐标的关系的结论，容易得到平面直角坐标系中坐标轴旋转的坐标变换公式。设平面直角坐标系逆时针旋转角（见课本165页图4.1），在Oxy坐标系中，取基1=i, 2 =j；在Oxy坐标系中取基1=i, 2
10、=j，则：,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 即：于是向量在基1, 2和1, 2下的坐标(x1, y1)和(x1, y1)满足关系式,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 在前面讨论的n维实向量空间中，我们只定义了向量的线性运算，它不能描述向量的度量性质，如长度、夹角等。在三维几何空间中，向量的内积（即点积或数量积）描述了内积与向量的长度及夹角的关系。 由内积定义：ab=|a| |b| cos 可以得到：,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 若a=a1i+a2j+a3k，简记为a=(a1, a2,
11、 a3)；b=b1i+b2j+b3k，简记为b= (b1, b2, b3)。由内积的运算性质和内积的定义，可得：a b= a1b1+ a2b2+ a3b3现在我们把三维几何向量的内积推广到n维实向量，在n维实向量空间中定义内积运算，进而定义向量的长度和夹角，使n维实向量具有度量性。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定义：设=(a1, a2, , an)T 和=(b1, b2, , bn)T Rn，规定与的内积为： (,)= a1 b1+ a2 b2 + +an bn 当,为列向量时， (,)=T=T,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n
12、维实向量的内积，欧式空间 根据定义，容易证明内积具有以下的运算性质： 1) (,)=(,) 2) (+,)=(,)+(,) 3) (k,)=k(,) 4) (,)0，等号成立当且仅当=0 其中,Rn, kR。由于向量与自身的内积是非负数，于是我们如三维几何空间中那样，用内积定义n维向量的长度。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定义：向量的长度：,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定理：向量的内积满足： |(,)| |此式称为柯西施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交
13、基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 证： 1）当=0时，(,)=0 ，|=0，|(,)| |显然成立。2）当0时，作向量+t(tR) ，由性质4)得：(+t, +t) 0 再由性质1), 2), 3)展开上式左端得：,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 (,)+2 (,)t +(,) t2 0 其左端是t的二次三项式，且t2系数(,) 0，因此判别式： 4 (,) 24 (,) (,)0 即： (,) 2 (,) (,)= |2 | 2 故： |(,)| |,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 读者不难证明，
14、前面定理中|(,)| |等号成立的充分必要条件为与线性相关。当=(a1, a2, , an)T, =(b1, b2, , bn)T 时，利用前面定理可得：由于内积满足柯西施瓦茨不等式，于是我们可以利用内积定义向量之间的夹角。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定义：向量,之间的夹角定义为：由前面的定义立即可得：,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定理：非零向量,正交（或垂直）的充分必要条件是(,)=0。由于零向量与任何向量的内积为零，因此，我们也说零向量与任何向量正交。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正
15、交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 在三维几何空间中，向量,+构成三角形，三个向量的长度满足三角形不等式：|+| |+| 当时，三个向量的长度满足勾股定理：|+|2=|2+|2,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 在定义了内积运算的n维向量空间中，三角形不等式和勾股定理仍然成立，下面给出它们的证明。|+|2= (+, +)= (,)+2 (,)+ (,) |2 +2 | |+|2=(|+|)2 故： |+| |+|当时，(,)=0，于是就有：|+|2= |2+|2,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定义：定义了内
16、积运算的n维实向量空间称为n维欧几里得空间（简称欧式空间），仍记作Rn。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 在n维欧式空间Rn中，长度为1的单位向量组： 1=(1, 0, 0, , 0)T 2=(0, 1, 0, , 0) T n=(0, 0, 0, , 1) T 显然是两两正交的线性无关的向量组，我们称它为Rn的一组标准正交基。然而，n维欧式空间的标准正交基不是唯一的，为了说清楚这个问题，我们先证明下面的定理，给出标准正交基的一般定义，然后介绍由Rn中n个线性无关的向量构造一组标准正交基的施密特正交化方法。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基
17、 定理： Rn中两两正交且不含零向量的向量组（称为非零正交向量组）1, 2, ,s是线性无关的。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 证：设 k11+k22+kss=0 则：由于(i, i) 0，故ki=0, i=1, 2, , s 因此，1 , 2 , , s线性无关。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 定义：设1, 2, , nRn，若：则称1 , 2 , , n是Rn的一组标准正交基。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 例1：设B=1, 2 , , n是Rn的一组标准正交基，求Rn中向量在基B下的坐标。解：设=x
18、11+x22+ xnn，将此式两边对i (j=1, 2, , n)分别求内积，得：,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 故在标准正交基1, 2, , n下的坐标向量的第j个分量为： xj=(,j), j=1, 2, , n在R3中取i, j, k为标准正交基，例1中的x1, x2, x3就是在i, j, k上的投影。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 施密特正交化方法是将Rn中一组线性无关的向量1, 2, , n做一种特定的线性运算，构造出一组标准正交向量组的方法。我们先从R3的一组基1, 2, 3构造出一组标准正交基，
19、以揭示施密特正交化方法的思路和过程。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 令1=1，将2在1上的投影向量（见课本170页图4.2）,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 则：2 1（如课本图4.2所示）。由于3与1, 2不共面，所以3也与1 , 2不共面。如果记3在1, 2平面上的投影向量为3，即： 3 =(3)1+(3)2 =13+23=k131+k232则：31且32（如课本图4.3所示）。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 如此求得的1,2, 3
20、是两两正交的非零向量组。再将1,2, 3单位化，即取：则1,2,3就是R3的一组标准正交基。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 从上述正交化过程所获得的启示，由Rn中线性无关的向量组1, 2 , , n也可类似地构造出一组标准正交的向量组1 ,2 , ,n ，其步骤如下： 取1=12=2+k121 由于1,2线性无关，所以20，为使1,2正交，即： (2,1)=(2+k121,1)= (2 ,1)+k12(1,1)=0,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 便得再取3=3+k232+k131使(3,
21、1)= (3,2)=0，又得,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 继续上述步骤，假定已求出两两正交的非零向量1 , 2 , , j-1 ，再取 j=j +kj-1,j j-1+k2j 2+ k1j 1 为使j与i (i=1, 2, , j-1)正交，即 (j,i)=(j ,i )+ kij (i ,i )=0 即得,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 故因此，令1=1， 并在上式中取j=2, 3, , m，就得到两两正交的非零向量组1 , 2 , , m（它们都是非零向量的证明留给读者去完成）。 再
22、将它们单位化为：1,2,m,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 这就由线性无关的1, 2, ,m构造出了标准正交向量组1,2,m。这个正交化过程称为施密特正交化方法。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 如果1,2,n是Rn的一组基，按施密特正交化方法，必可构造出Rn的一组标准正交基1,2,n。由此可见， Rn的标准正交基不唯一。在R3中，任何单位长度的两两正交的三个向量都是它的标准正交基。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 例2 已知B=1,2 ,
23、3是R3的一组基，其中 1=(1,-1,0) 2=(1,0,1) 3=(1,-1,1) 试用施密特正交化方法，由B构造R3的一组标准正交基。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 解 取,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 再将1, 2, 3单位化，得R3的标准正交基为：,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 正交矩阵是一种重要的实方阵，它的行、列向量组皆是标准正交向量组。下面先给出正交矩阵的定义，然后讨论它的性质。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵
24、及其性质 定义：设ARnn，如果ATAI，就称A为正交矩阵。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 定理：A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组为Rn的一组标准正交基。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 证： 设 按列分块为(1,2,n)，于是,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 因此，ATA=I的充分必要条件是：且即A的列向量组1,2, ,n为Rn的一组标准正交基。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 定理：设A, B皆是n阶正交矩阵，则： 1) detA=1或=-1
25、 2) A-1=AT 3) AT(即A-1)也是正交矩阵 4) AB也是正交矩阵,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 证： 1)，2)的证明略去。3) 由于(AT)TAT=AAT=AA-1=I，所以AT(即A-1)也是正交矩阵，从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基。4) 由(AB)T(AB)=BT (ATA) B=BTB=I，即得AB也是正交矩阵。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 定理：若列向量x, yRn在n阶正交矩阵A作用下变换为Ax, AyRn，则向量的内积、长度及向量间的夹角都保持不变，即 ： (Ax, Ay)=(x, y) |Ax| = |x| |Ay| = |y| =,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 证： (Ax, Ay)=(Ax)T(Ay)=x (ATA) y=xTy=(x, y) 当y=x时，有(Ax, Ax)=(x, x)，即|Ax|=|x|。同理|Ay|=|y|。因此：所以向量Ax与Ay的夹角等于x与y的夹角。,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 欧式空间中向量x在正交矩阵作用下变换为Ax，通常称之为欧式空间的正交变换。它在第6章中研究二次型的标准形时起着重要作用。,
