1、第五章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.,一. 数域,(1) 0, 1K ;,定义5.1 设K是一个数集, 如果,(2) a, bK, 都有a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, 那么称K是一个数域.,可见, 有理数集Q, 实数集R, 复数集C都是数域.,数集,也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于有理数域.,对几何空间中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法
2、和乘数两种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间.,二. 线性空间的定义和例子,定义5.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足,(1) +=+(加法交换律);,(2) (+)+=+(+)(加法结合律);,(3) V中有零元素0, 使V有 +0= ;,(4) V, -V, 使 +(-)=0, 称-为的负元素;,(5) k(+)=k+k , , V, kK;,(6) (k+l)=k+l , V, k, lK;,(7) (kl)=k(l ) , V, k, lK;,(8) 1= , V, 1K;,则称V为数域K上的一个线性空间. 记
3、为VK , 或V.,线性空间也称为向量空间, 其元素都称为向量.,例如:,数域K上的所有n维向量组成的集合Kn, 对向量的加法和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间.,数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn, 对矩阵的加法和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间.,实系数齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U, 对解向量的加法和乘数两种运算, 构成实数域R上的一个线性空间.,数域K上的所有次数小于n的多项式的集合Kxn, 对多项式的加法和乘数两种运算, 构成K上的一个线性空间.,线性空间具有下列简单性质:,1. 零向量是唯一的.,01=01+02=02,2. 每个向量的负向量是唯一的.,
4、-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2),=(-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2,3. 0=0, k0=0, V, kK,0+=0+1=(0+1)=, 由1.得0=0 .,4. 若k=0, 则, k=0或=0.,=1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0,三. 子空间,定义5.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的子空间.,按定义可见, 集合0是V的子空间, 称之为零子空间, V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它的称为非平凡子空间., U, kK, 都有+U, kU,定理5.1 设U是线性空间V的一个
5、非空子集. 则U是V的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的. 即,例如,n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子空间.,设1, 2,r 是线性空间VK中的一组向量, 则,Kxn是Kx的子空间.,Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间.,L(1, 2,r)=k11+k22+krr|k1,k2,krK,是VK的子空间. 称为由1, 2,r生成的子空间.,2 基 维数 坐标,齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U构成解空间,我们知道U中所有向量都可以有Ax=0的基础解系表示. 这是线性空间的重要性质.,一. 基 维数 坐标,定义5.4 在线性空间V中, 如果有n个向量
6、1, 2,n线性无关, 而且V中任意向量都可由它们线性表示, 则称 1, 2,n为V的一组基, n称为V的维数, V称为n维线性空间.,仅含零向量的线性空间维数是零, 如果V中有任意多个线性无关的向量, 称其为无限维线性空间. 如Kx. 在线性代数中, 只讨论有限维线性空间.,可见, 如果将线性空间V看成一向量组, 所谓基就是V的一个极大线性无关组, 所谓维数就是V的秩.,Kxn是n维线性空间, 1, x, x2,xn-1 是它的一组基.,例如,齐次线性方程组Ax=0的基础解系就是方程组解空间U的基, 如果n元方程组的系数矩阵的秩为r, 则U是n-r维线性空间.,Rmn是mn维线性空间, 如R
7、23的一组基为:,向量组1, 2,r的一个极大线性无关组, 就是线性空间L(1, 2,r)的一组基, 其维数就是向量组的秩.,定理5.2 设V是n维线性空间, 如果V中向量组1, 2, m线性无关, 则在V中必有n-m个向量m+1, m+2,n, 使得1, 2, m, m+1, m+2,n是V的一组基.,定义5.5 设1, 2, n是线性空间VK的一组基, 如果VK可以表示为:,由定理可见, 含有非零向量的线性空间一定存在基. 基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示.,=x11+x22+xnn,则称(x1, x2,xn)T为向量在基1, 2, n下的坐标.,可见, 坐标是由向量及基的
8、选取唯一确定的.,例1 试求线性空间R3中向量=(1, 2, 3)T在基:,=x11+x22+x33,解 设所求坐标为(x1, x2, xn)T, 则,即,解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.,所以, 向量在基1, 2, 3下的坐标是(2, -1/2, -1/2)T.,1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 1, -1)T, 3=(1, -1, -1)T,下的坐标.,也可以写成:,一般地, 向量在基1, 2, n下的坐标为(x1, x2,xn)T,也可表示为:,二. 基变换与坐标变换,线性空间如果有基, 显然基不唯一. 那么一个向量在不同基下就有不同的坐标, 下面就来讨论它
9、们之间的关系.,设1, 2,n和1, 2, n是线性空间VK的两组基, 则, 这两个向量组等价. 如果,则合起来就有:,简记为,定义5.6 矩阵C称为由基1, 2,n到基1, 2, n的过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆的.,定理5.3 设1, 2, n和1, 2, n是线性空间VK的两组基. 如果向量在这两组基下的坐标分别为x=(x1, x2, xn)T, y=(y1, y2, yn)T, 则x=Cy. 其中C是过渡矩阵.,证明 由于,由于向量在一组基下的坐标是唯一的, 所以x=Cy.,如例1中, =(1, 2, 3)T在基1=(1, 0, 0)T, 2=(0, 1, 0)T, 3=(0,0,1)T
10、下的坐标显然为(1,2,3)T,且由基1, 2, 3 到基1, 2, 3的过渡矩阵为(1, 2, 3),所以, =(1, 2, 3)T在基1, 2, 3下的坐标为:,(1, 2, 3)-1(1, 2, 3)T=(2, -1/2, -1/2)T,作 业,习题A 第98页,1 、2、3、6 、7、8,练习题,习题B 第100页,1、 2、 4 、5,3 线 性 变 换,线性变换是线性空间上的重要运算, 本节介绍线性变换的概念, 并讨论线性变换与矩阵之间的关系.,一. 定义和例子,定义5.7 设是线性空间VK到VK的一个映射, 且满足, VK, kK都有,则称为VK的一个线性变换.,(+)= ()+
11、 (),(k)=k(),例如,ARnn, 定义(A)=AT, 则为Rnn的一个线性变换.,取0VK, VK, 定义()=0, 则为VK的一个线性变换, 称为零变换.,(2) ()= ();,线性变换具有下列简单性质:,(1) (0)=0;,取ARnn, Rn, 定义()=A, 则为Rn的一个线性变换.,VK, 定义()=, 则为VK的一个线性变换, 称为恒等变换或单位变换.,(3) (x11+x22+xmm),=x1(1)+x2(2)+xm(m),二. 线性变换的矩阵,设为线性空间VK的一个线性变换, 1, 2, n是VK的一组基, VK, 如果=x11+x22+xnn, 则,即, ()是由(
12、1), (2), (n)唯一确定的.,由于(1), (2), (n)VK, 故可由1, 2, n线性表示, 记,()=x1(1)+x2(2)+xn(n),(1)=a111+a212+an1n,(2)=a121+a222+an2n,(n)=a1n1+a2n2+annn,也就是,其中,(1, 2, n)=(1, 2, n)A,矩阵A的第j列为向量(j)在基1, 2,n下的坐标.,矩阵A称为线性变换在基1, 2,n下的矩阵.,例如,线性空间Kxn中, 求微商的变换在基1, x, x2, xn-1下的矩阵为:,零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵.,单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵.,线性空间Kxn中
13、, 求微商的变换在基1, x, x2/2, xn-1/(n-1)下的矩阵为:,AR22, 定义(A)=AT, 则在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为:,定理5.4 设线性变换在基1, 2,n下的矩阵是A, 向量在基1,2,n下的坐标为x=(x1, x2, xn)T,则()在这组基下的坐标是Ax.,证明 因为=x11+x22+xnn, 所以,=(1, 2, n)TAx,()=x1(1)+x2(2)+xn(n),=(1), (2), (n)x,所以, ()在基1,2,n下的坐标是Ax.,定理5.5 设是线性空间V的线性变换, 如果在两组基1, 2,n和1, 2,n下的矩阵分别为A和B
14、, 且由基1, 2,n到基1, 2, n的过渡矩阵为C, 则B=C-1AC.,证明 由于 (1, 2, n)=(1, 2, n)A,(1, 2, n)=(1, 2, n)C,于是,(1, 2, n)B=(1, 2, n)=(1, 2, n)C,= (1, 2, n)C=(1, 2, n)AC,=(1, 2, n)C-1AC,由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的, 故B=C-1AC.,例2 设线性空间R3的线性变换在基1, 2, 3下的矩阵为,解 由于(1, 2, 3)=(1, -31-22+23, 1+22+23),求在基1=1, 2=-31-22+23, 3=1+22+23下的矩阵.,所以，
15、由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为：,所以, 在基1, 2, 3下的矩阵为:,B=C-1AC,4 欧几里得空间,欧几里得空间就是在实线性空间上定义了数量积.,一. 定义和例子,定义5.8 设V是实数域R上的一个线性空间, 在V上定义一个二元实函数, , 满足: , , V, kR, 有,则称二元实函数, 是V上的内积, 此时的线性空间V称为Euclid(欧几里得)空间.,(1) 对称性: , =, ,(2) 线性性: +, =, +, ,k, =k, ,(3) 正定性: , 0, 且仅当=0时, , =0.,例如:,在Rn中, =(a1, a2,an)T, =(b1, b2,bn
16、)TRn, 定义 : , =a1b1+2a2b2+nanbn, 则Rn也成为Euclid空间,但它是与上面不同的Euclid空间.,在Rxn中, f(x) , g(x) Rxn, 定义内积为:,在Rn中, =(a1, a2,an)T, =(b1, b2,bn)TRn, 定义 : , =a1b1+a2b2+anbn, 则Rn成为Euclid空间.,则Rxn也成为Euclid空间.,利用内积的概念, 可以定义Euclid空间中向量的长度, 向量的夹角等概念.,向量的长度具体下列性质:,定义5.9 设V是Euclid空间, V, 非负实数, 1/2称为向量的长度(或范数, 或模), 记为|(或).,
17、还有下面的Cauchy-Schwarz不等式:,(1) 非负性: |0, 且仅当=0时, |=0 ;,(2) 齐次性: |k|=|k|;,(3) 三角不等式: |+|+|.,|, |.,若|=1, 称为单位向量. 若0, 则(1/|)是单位向量.,定义5.10 在Euclid空间中, 两个非零向量, 的夹角记为, 规定为:,定义5.12 在Euclid空间中, 一组两两正交的非零向量称为正交向量组, 由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.,可见, =/2当且仅当, =0.,定义5.11 如果, =0, 则称与正交.,可见, 1, 2, n为规范正交组i, j=ij .,定理5.6 正交
18、向量组必线性无关 .,在线性空间R3中, 取标准内积, =x1y1+x2y2+x3y3, 使R3成为一个 Euclid空间.,解之得一个解为, =(-2, 1, 1)T, 将单位化得:,解 先求与1, 2都正交的向量, 记=(x1, x2, x3)T, 则,1, = x1+x2+x3=0, 2, =x2-x3=0,例3 在Euclid空间R3中, 求一个单位向量, 使其与两个向量1=(1, 1, 1)T, 2=(0, 1, -1)T 都正交.,二. 规范正交基,定理5.7 在Euclid空间中, 如果向量组1, 2, m线性无关, 则有规范正交向量组1, 2, m与之等价 .,证明 先正交化,
19、 取,1 =1,再将1, 2, m单位化, 取,则1, 2, m就是所求规范正交向量组.,上述由线性无关向量组1, 2, m,得到正交向量组1, 2, m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程.,定义5.13 在n维Euclid空间V中, 含有n个向量的正交向量组称为V的正交基. 由单位向量构成的正交基称为规范正交基.,例4 在线性空间Rx3中, 定义内积,试求Rx3的一组规范正交基.,解 取Rx3的一组基, 1=1, 2=x, 3=x2, 将其正交化得:,1 =1=1,1, 2, m就是Rx3的一组规范正交基.,再将1, 2, 3单位化, 取,例5 求L(1, 2, 3, 4)的一组
20、规范正交基. 其中,解 由于,可见, 1, 2, 4是L(1, 2, 3, 4)的一组基, 正交化,1 =1,再单位化得L(1, 2, 3, 4)的一组规范正交基为:,定义5.14 若实方阵A满足AAT=E, 则称A是正交矩阵.,若记,则,由于,可见, AAT=E的充分必要条件是:,所以说, n阶实矩阵A是正交矩阵A的行(列)向量组是Euclid空间Rn的一组规范正交基.,注意: ijT=ai1aj1+ai2aj2+ainajn=i, j,例如, 下列矩阵都是正交矩阵:,在Euclid空间中, 两组规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵.,作 业,习题A 第98页,9、10、12、13 、15、16、17 、18,练习题,习题B 第100页,6、7、8 、9 、11、12 、13 、14、15 、16,
