线性代数-第五章线性空间与线性变换

1、5.3 向量的内积和正交矩阵,5.3.1 向量内积5.3.2 正交矩阵,5.3.1 向量内积,例1P146,向量内积的基本性质,习题5.3 1P153答案P190,20080719. 设与的内积（，）=2，=2，则内积（2+，-）=_.,单位向量定义,标准单位向量与单位向量,非零向量的单位化,例2,例3(三点注意),正交定义,例4、例5P148,正交向量组与标准正交向量组,例6、例7P148,定理5.3.1 正交向量组一定是线性无关组,任意线性无关向量组的正交化施密特(Schmidt)正交化方法（一步一步进行）,向量组S与向量组T等价.P149150,例8P150,20070426利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单。

2、第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值与特征向量,引言,纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB) Ax = l x ?,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量,例：则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量.,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非。

3、第五章特征值与特征向量第一节特征值与特征向量第二节相似矩阵与矩阵对角化条件第三节实对称矩阵的对角化 实际上 不用把f A 直接计算出来 再求f B的三个特征值的乘积 B的行列式 5 2相似矩阵与矩阵对角化条件 矩阵经初等变换后秩不变 矩阵与。

4、线 性 代 数,第六章 线性空间与线性变换,一、基变换公式与过渡矩阵,那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？,问题：在 维线性空间 中，任意 个线性 无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的,称此公式为基变换公式,由于,矩阵 称为由基 到基 的过 渡矩阵,过渡矩阵 是可逆的,若两个基满足关系式,二、坐标变换公式,则有坐标变换公式,或,证明,基变换公式,三、小结,坐标变换公式,或,思考题,思考题解答,。

5、线 性 代 数,第六章 线性空间与线性变换,线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的,映射,一、线性变换的概念,变换的概念是函数概念的推广,2从线性空间 到 的线性变换,说明,从线性空间 到其自身的线性变换,下面主要讨论线性空间 中的线性变换,证明,设,则有,例 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数 域上的一个线性空间 ，在这个空间中变换是一个线性变换.,故命题得证.,证明,则有,设,例 线性空间 中的恒等变换（或称单位变换）：是线性变换,所以恒等变换 是线性变换,证明,设,则有,所以零变换是线性变换,例 线性。

6、线 性 代 数,第六章 线性空间与线性变换, 线性空间的定义,那么， 就称为（实数域 上的）向量空间（ 或线性空间）， 中的元素不论其本来的性质如 何，统称为（实）向量,简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算， 就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就 称为向量空间, 线性空间的性质, 子空间,定义 设 是一个线性空间， 是 的一个非空子 集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 为 的子空间,定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是： 对于 中的线性运算封闭,定义, 线性空间的维数、基。

7、线 性 代 数,第六章 线性空间与线性变换,一、线性变换的矩阵表示式,二、线性变换在给定基下的矩阵,定义 设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为,其中,那末， 就称为线性变换 在基 下的 矩阵,结论,此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵,同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？,三、线性变换在不同基下的矩阵,上面的例子表明,于是,证明,因为 线性无关，,所以,证毕.,定理表明： 与 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 就是相似变换矩阵,例,解,解 由条件。

8、线 性 代 数,第六章 线性空间与线性变换,一、线性空间的基与维数,已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的,问题：线性空间的一个重要特征在线性空 间 中，最多能有多少线性无关的向量？,当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的,定义,二、元素在给定基下的坐标,注意,线性空间 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的,例 所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性 空间对于 中的矩阵,三。

9、2019/6/16,线性代数课件,线 性 代 数,2019/6/16,线性代数课件,第六章 线性空间与线性变换,2019/6/16,线性代数课件,线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的,映射,一、线性变换的概念,2019/6/16,线性代数课件,变换的概念是函数概念的推广,2019/6/16,线性代数课件,2从线性空间 到 的线性变换,2019/6/16,线性代数课件,说明,2019/6/16,线性代数课件,从线性空间 到其自身的线性变换,下面主要讨论线性空间 中的线性变换,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课件,2019/6/16,线性代数课。

10、第4章 向量空间与线性变换,庆叙紧庄喜搔狂玩消涩某表误韶机硬为惯勒钻视孙内平送汇额闻巍惩蛊宇线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,第4章 向量空间与线性变换,Rn的基与向量关于基的坐标 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,妓患搔降朱笼贸化祭禹时兵斤云靡呛鼠魔脊僳掸吐筷又跳钓忙董烂蛛恩褪线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,Rn的基与向量关于基的坐标 我们知道 1) Rn中的n个单位向量i=(0,0,1,0,0)(i=1, , n)是线性无关的； 2。

11、第五章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.,一. 数域,(1) 0, 1K ;,定义5.1 设K是一个数集, 如果,(2) a, bK, 都有a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, 那么称K是一个数域.,可见, 有理数集Q, 实数集R, 复数集C都是数域.,数集,也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于有理数域.,对几何空间中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘。