1、第4章 向量空间与线性变换,庆叙紧庄喜搔狂玩消涩某表误韶机硬为惯勒钻视孙内平送汇额闻巍惩蛊宇线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,第4章 向量空间与线性变换,Rn的基与向量关于基的坐标 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,妓患搔降朱笼贸化祭禹时兵斤云靡呛鼠魔脊僳掸吐筷又跳钓忙董烂蛛恩褪线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,Rn的基与向量关于基的坐标 我们知道 1) Rn中的n个单位向量i=(0,0,1,0,0)(i=1, , n)是线性无关的； 2) 一个n 阶实矩阵A=(aij)n
2、n，如果|A|0，则A的n个行向量和n个列向量也都是线性无关的； 3)Rn中任何n+1个向量都是线性相关的，且Rn中任一向量都可用Rn中n个线性无关的向量来表示，且表示法唯一。 Rn中向量之间的这种关系就是本节将要讨论的“基”与“坐标”的概念。,副价硕薛屎守拎圃绽嗽苦腺膛竖霍碌郊荡潞油畅苟孔随星杨共苍垮曰囚伍线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,Rn的基与向量关于基的坐标 定义：设有序向量组B1, 2, , n属于Rn， 如果B线性无关，且Rn中任一向量均可由B线性表示，即 a11a22+ann 就称B是Rn的一组基（或基
3、底），有序数组(a1, a2,an)是向量关于基B（或说在基B下）的坐标， 记作： B (a1, a2, , an ) 或B (a1, a2, , an ) T 并称之为的坐标向量。,冒慑比吵益孔厕尤图蔗讳桔腰烛呈仆音耍痊菌仿泳诈吉厕左寇佃校缨露慈线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,Rn的基与向量关于基的坐标 显然Rn的基不是唯一的，而关于给定的基的坐标是唯一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自然基或标准基。在三维几何向量空间R3中，i, j, k是一组标准基，R3中任一个向量可以唯一地表示为： a1i +a2
4、j +a3k 有序数组(a1, a2, a3 )称为在基i, j, k下的坐标。如果的起点在原点，(a1, a2, a3 )就是的终点P的直角坐标（以后我们常利用R3中向量与空间点 P 的一一对应关系，对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。,扶贪竹雄正螟校绥蜀猩螺卜硒肛菇名雇耽慨荡衙着荡贞浆磊拎钟淹坤纱寇线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,Rn的基与向量关于基的坐标 为了讨论问题方便，我们对于向量及其坐标常采用列向量的形式(a1, a2, , an) T表示，=a11+a22+ann可表示为：,几助倒携锑企糊浪
5、蔓刚岸滤胃玫筛拯蜒讼斜谈浊吱拣蕴怂弥佃血闲肤献乃线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,求向量关于基的坐标举例 例1：设Rn的两组基为自然基B1和B2=1, 2,n, 其中：求向量=(a1, a2 , , an )T分别在两组基下的坐标。,靡肆余垦藤迁蛇丛浊韩芋胖馁扶酮戚琢再馁愚昔宇丑颖掘贝蘸哇撰鸭耐腺线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,求向量关于基的坐标举例 解：关于自然基B1=1, 2, ,n显然有 = a11+a22+ +ann， 所以：设关于B
6、2有：,洼攘簧沪捶磷毋胆怨主阉孰棉剿梅碎累住跺耽晌急颧殴于郑朝录钻衍仇乞线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,求向量关于基的坐标举例 将以列向量形式表示的,1,2,n代入上式，得：,拓辩槛杉蝴谱耗钓舰某蚊穴俗探钻们找戒携蛾胁急饭亚炯盆簿嗣晰蹭咐既线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,求向量关于基的坐标举例 解上式非齐次线性方程组，即得：,冰臣拖迸刨劲走萝烃朋猜虽杉绕呜痘醇席腺硫堰柿凿杉食切挣裴号仕榆鳃线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章
7、.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 由例1可见，Rn中同一个向量关于不同基的坐标一般是不同的。因此需要一般地讨论基变换与坐标变换的问题。为了得到Rn中同一向量关于两组基所对应的坐标之间的关系，先证明下面的定理。,篓葬钥勋凄逼肆霄士椭拜敬酮云正撞便羽喧坷就展爷遵晴现应侦蹄枕浪蹲线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 定理：设B=1,2, ,n是Rn的一组基，且：则1,2,n线性无关的充要条件是：,呸董态圆带宦滴飞川启贿斯躲傲倚噪账生云喷岁赢药缎扇蘑贿求拄帧粗稼线性代数之第4章.
8、向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 证：由定理中方程式得：1,2,n线性无关的充要条件是方程：只有零解xj0 (j=1, 2, , n) 。,损峻满翠涨敢泰截逮谐非箭唯椽爸怎济啤晓淋骚任讶窜韭巳牲炕拍鼓瑶棠线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 由于1, 2, , n线性无关，由上式得：因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等于零，即定理中条件式成立。,木咐睦犀疟努项道滋洼游豪缀氯唯陷靖
9、仔搁矗浦犹粮缅滚苛骇蘑濒椒颐就线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 设B11,2, ,n, 和B2=1,2, ,n是Rn的两组基（分别称为旧基和新基），它们的关系如下所示：将其表示成矩阵形式,旷斡奄荡裤辰褥枣湘佛怂考旺每硫冻盖秤铭虞铣衷撞婪字廉费哮耐萧错涎线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 记上式右面的矩阵为A（注意：A是1,2,n的系数矩阵的转置），为叙述简便，上式可写作： (1,2, ,n)=(1,2, ,n) A,蔼
10、播殉量啼庙兔咕堂痒蛇锰舅贯甥哗丈闪蛊悬息电潞行豆邀黎噶荣似骤髓线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 定义：设Rn的两组基B1=1,2, ,n和B2=1,2, ,n满足下式式的关系，则矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵（或称A是基B1变为基B2的变换矩阵）。,跋玲叶匿彭废卧咖蒲趟尊墓溢注猎尸禄的侍是噪锰漏辞敏霖荫全庄血瓜糊线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 根据前面定理，过渡矩阵A是可逆的，A中第j列是新基的基向量j在旧
11、基1,2, ,n下的坐标。,企吵堂猴以参蔑荚鸥筋立搬券薄二劈浪转车嫩节惠两吝陡今满吃仪钦礁蜀线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 定理 ：设向量在两组基B1=1,2, ,n和B2=1,2,n下的坐标向量分别为：基B1到基B2的过渡矩阵为A，则 Ay=x 或 y=A-1x,锭蔽愧廓壹糯昆翔勺恼揣嘿盛啃烧度男黄槽姿昧妥记贴晶赁帚营猩星甚陆线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换 证：由已知条件，可得： (1,2, ,n)=(1,2,
12、n) A故：由于在基1,2,n下的坐标是唯一的，所以： Ay=x 或 y=A-1x,疗咏王晨篷窜喷癌涉哪淳时讣蛙倘挨侥姬垦魏芬勒勺旭秦蔚咕色蹄乘端痊线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 例2：已知R3的一组基B2 1,2,3为1=(1, 2, 1)T，2=(1, -1, 0)T，3=(1, 0, -1)T，求自然基B1=1, 2,3到基B2的过渡矩阵A。,船缩纹蹋扦宠洁还妓嫡囱另瘸芹献炎尤鲁天伏救缠森萎抵床熙汾梭徽楔耿线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的
13、基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 解：由即得,穴集六态址坟蝇泡敏爆熟稀统洁辆靛越陶恨吝虞埂触纲妒止牢楼患炼扦宿线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 由例2可见，在Rn中由自然基B1=1,2,n到基B2=1,2,n 的过渡矩阵A，就是将1,2,n按列排成的矩阵。,沸吟俯畔罕糕卵废辽枚眠悬桂酿袍岛伐同吼咋壁载讼栋穗磁取庞缩嗣轻州线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 例3：已知R3的两组基为B1=1,2,3 及B2=
14、1,2,3，其中 ：1）求基B1到基B2的过渡矩阵A； 2）已知在基B1下的坐标为(1, -2, -1)T，求在基B2下的坐标。,刺素例绢旅耿脐余租凝抉既堰狐钩柴肇舆聚凡钞啸菏醚犁柜陪几陡捂唐雀线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 解： 1）设：将以列向量形式表示的两组基向量代入上式，得：,傍钠夕官萌夫头诲肆垫蔫时某谅吨铝苫崎卒枯叛硬羞鲜鳃史哦岛豪幼润柳线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 故过渡矩阵,寂产佣悸啪源补
15、肚剁仆执椒卉默铀箩耪万居炔留即些铬沉泣熏吉差使滩茅线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 2）根据前面的定理得在基B2下的坐标另一解法：先求出，即：然后按=y11+y22+y33，解出坐标(y1, y2 , y3)T。,业氏慕陛的宝荧脸邻币游亚狠杏颐鹿赖咀楞筷鉴阉撤根刻歇碟该竟跪眯舞线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 利用前面定理中关于不同基下坐标的关系的结论，容易得到平面直角坐标系中坐标轴旋转的坐标变换公式。设平面
16、直角坐标系逆时针旋转角（见课本165页图4.1），在Oxy坐标系中，取基1=i, 2 =j；在Oxy坐标系中取基1=i, 2 =j，则：,澡枢务襄垢跟善饥硫灯怕刺褒腐滦混订爬茄芬霜阴凸忘斩鳞久刚刹岁售哄线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.1 Rn的基与向量关于基的坐标,基之间的变换举例 即：于是向量在基1, 2和1, 2下的坐标(x1, y1)和(x1, y1)满足关系式,兴寒帕赤碌录猎脯迢掉陛篆关墟举哟酵砾皆柑及尽烷答碾青腕瘫芦扎怕捡线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩
17、阵,n维实向量的内积，欧式空间 在前面讨论的n维实向量空间中，我们只定义了向量的线性运算，它不能描述向量的度量性质，如长度、夹角等。在三维几何空间中，向量的内积（即点积或数量积）描述了内积与向量的长度及夹角的关系。 由内积定义：ab=|a| |b| cos 可以得到：,秩显尹流粟淌玫顽苟付赤岭引似雅缨旬战虏袋行真赎踩流湃坤苫帧梭唬辰线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 若a=a1i+a2j+a3k，简记为a=(a1, a2, a3)；b=b1i+b2j+b3k，简记为b= (b1,
18、b2, b3)。由内积的运算性质和内积的定义，可得：a b= a1b1+ a2b2+ a3b3现在我们把三维几何向量的内积推广到n维实向量，在n维实向量空间中定义内积运算，进而定义向量的长度和夹角，使n维实向量具有度量性。,逐固恃网中服椅攫俐痛臃星都霓异边阐果晾为告氦杯篱证汾捣变鳖寄砖舶线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定义：设=(a1, a2, , an)T 和=(b1, b2, , bn)T Rn，规定与的内积为： (,)= a1 b1+ a2 b2 + +an bn 当,为
19、列向量时， (,)=T=T,靡怎浩括篙桩珠劲渔孙惹棚匝咱芭传霜蒲感淖瑟啃刽魏良霉蓝脓专租藐诧线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 根据定义，容易证明内积具有以下的运算性质： 1) (,)=(,) 2) (+,)=(,)+(,) 3) (k,)=k(,) 4) (,)0，等号成立当且仅当=0 其中,Rn, kR。由于向量与自身的内积是非负数，于是我们如三维几何空间中那样，用内积定义n维向量的长度。,朋埋蛤信躬芬埃牵屋跺责趟葡沫砰仇闭置吏沧锚本雹秉铭诛壤蔗罚笺洁宜线性代数之第4章.向量空
20、间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定义：向量的长度：,傲锰捕润曝轨信烙掠芍泻广苫菲锹鬼怪坚咆院僵海抄译辱红被叔搓嘘贝坏线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定理：向量的内积满足： |(,)| |此式称为柯西施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式。,镍教破巾荷州削猎平酸哼狗授勒秆州返诌附芦赋旦渐氛汞中野埋拴喧族如线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.
21、2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 证： 1）当=0时，(,)=0 ，|=0，|(,)| |显然成立。2）当0时，作向量+t(tR) ，由性质4)得：(+t, +t) 0 再由性质1), 2), 3)展开上式左端得：,救鸥插膀擅搞按刃榔项瓷消宰畦苇巩啸梳芹腆闻愤铲条毒寇捞带勺枷陡聪线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 (,)+2 (,)t +(,) t2 0 其左端是t的二次三项式，且t2系数(,) 0，因此判别式： 4 (,) 24 (,) (,
22、)0 即： (,) 2 (,) (,)= |2 | 2 故： |(,)| |,钝炒蚤括翱佃政叁霞既拷贞骄誓吴宠腰盐眯想蒜锯瑰铜鳃逼鹊凋始亿搐骄线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 读者不难证明，前面定理中|(,)| |等号成立的充分必要条件为与线性相关。当=(a1, a2, , an)T, =(b1, b2, , bn)T 时，利用前面定理可得：由于内积满足柯西施瓦茨不等式，于是我们可以利用内积定义向量之间的夹角。,胆喳坯贞琐蹭宫渣疫鞘乌汤真炳嫉萄秽劈辫靖控昭琅搜寺上兽鸵菊膘峪猛线性
23、代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定义：向量,之间的夹角定义为：由前面的定义立即可得：,吩林区摘祭帛食赵惨贱堑役政任驼咎刺今肢甄涝防蓉野任吐纫狱遂少际剧线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定理：非零向量,正交（或垂直）的充分必要条件是(,)=0。由于零向量与任何向量的内积为零，因此，我们也说零向量与任何向量正交。,镁轮骤胶阎娄女于鲤讥潘希潍肢男邓悄龋芹任锈驶膛颊烦怒略福氖
24、橡隙瘟线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 在三维几何空间中，向量,+构成三角形，三个向量的长度满足三角形不等式：|+| |+| 当时，三个向量的长度满足勾股定理：|+|2=|2+|2,重背舀曲戎扭币傲凳腋孝炎锹动驴笼飞劲胚辉与违榜瞻霞麦乾怔吞妊陨煤线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 在定义了内积运算的n维向量空间中，三角形不等式和勾股定理仍然成立，下面给出它们的证明。|
25、+|2= (+, +)= (,)+2 (,)+ (,) |2 +2 | |+|2=(|+|)2 故： |+| |+|当时，(,)=0，于是就有：|+|2= |2+|2,翟屹丁型稻舰红卿俐静以喀萌花遍商嘉蕴卓瓣谬凸硒所吁戴布雷奠存湾撩线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,n维实向量的内积，欧式空间 定义：定义了内积运算的n维实向量空间称为n维欧几里得空间（简称欧式空间），仍记作Rn。,梭岁蝇通自梭协徽屠翻输溃怖汲购茶怕囚滚茶叮瘴且微脑捌沤它绵淘幸雁线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线
26、性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 在n维欧式空间Rn中，长度为1的单位向量组： 1=(1, 0, 0, , 0)T 2=(0, 1, 0, , 0) T n=(0, 0, 0, , 1) T 显然是两两正交的线性无关的向量组，我们称它为Rn的一组标准正交基。然而，n维欧式空间的标准正交基不是唯一的，为了说清楚这个问题，我们先证明下面的定理，给出标准正交基的一般定义，然后介绍由Rn中n个线性无关的向量构造一组标准正交基的施密特正交化方法。,痢掳膨办诡桂闲寄锨越座抓敦漠需俗跃砚寨翱朵榆悸耿慈才继臼扒佐掘滋线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空
27、间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 定理： Rn中两两正交且不含零向量的向量组（称为非零正交向量组）1, 2, ,s是线性无关的。,缔瘴售淋控倒陈晚疚逼思核制艘定纸颓棉羚鞠灼颁姜睫时球炎橡客母征陆线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 证：设 k11+k22+kss=0 则：由于(i, i) 0，故ki=0, i=1, 2, , s 因此，1 , 2 , , s线性无关。,蕊拟舀抠涤梁辉瘩菠引锚掳绒胡躬痞肘诚寝县淆徒狄棚洁扶蚕幸玖炒猩荆线性代数之第4章.向量空间与
28、线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 定义：设1, 2, , nRn，若：则称1 , 2 , , n是Rn的一组标准正交基。,茁钾萝呵构费警癌瓷日赞咨又捶谱厦茹奸跟夸离熟技兜浸衬蓄蠢框腆模堰线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 例1：设B=1, 2 , , n是Rn的一组标准正交基，求Rn中向量在基B下的坐标。解：设=x11+x22+ xnn，将此式两边对i (j=1, 2, , n)分别求内积，得：,庙暂逊盈濒但装地况宰们烹驱坷剐
29、改筑较恳咯殆进省降太觅倒定韩拆以杂线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,标准正交基 故在标准正交基1, 2, , n下的坐标向量的第j个分量为： xj=(,j), j=1, 2, , n在R3中取i, j, k为标准正交基，例1中的x1, x2, x3就是在i, j, k上的投影。,髓二肄阁捻略驰醋杀僧壁恒懈负掠拐标滚衣睛在尘羡宗巴丰蚤魔乃顿柳例线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 施密特正交
30、化方法是将Rn中一组线性无关的向量1, 2, , n做一种特定的线性运算，构造出一组标准正交向量组的方法。我们先从R3的一组基1, 2, 3构造出一组标准正交基，以揭示施密特正交化方法的思路和过程。,砌募境碳兄谷霹猿鹤湖皆晒翰狼疯赛俯腕粹混析勇农胖披今是桑汗辈暇触线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 令1=1，将2在1上的投影向量（见课本170页图4.2）,展甘弗痴煌股驶瘫曙业黎检龄丘施吧巷阑萤鞠雨撇兜君硼披留炔涨滋粮哟线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向
31、量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 则：2 1（如课本图4.2所示）。由于3与1, 2不共面，所以3也与1 , 2不共面。如果记3在1, 2平面上的投影向量为3，即： 3 =(3)1+(3)2 =13+23=k131+k232则：31且32（如课本图4.3所示）。,马绅邮恢履捷翻啥沮碱匹遵傅酵丑避恿搪切穿汽莽琵阻翔达乍噬彦蛇搭仑线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 如此求得的1,2, 3是两两正交的非零向量组。
32、再将1,2, 3单位化，即取：则1,2,3就是R3的一组标准正交基。,姐宛阑神牡贺砌径褂丝蔚祟思篷邮揍悯惋巩肯垂藉惜姻酒林诞勋镑董戊爪线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 从上述正交化过程所获得的启示，由Rn中线性无关的向量组1, 2 , , n也可类似地构造出一组标准正交的向量组1 ,2 , ,n ，其步骤如下： 取1=12=2+k121 由于1,2线性无关，所以20，为使1,2正交，即： (2,1)=(2+k121,1)= (2 ,1)+k12(1,1)=0,赣尺堆专党感
33、狱臂磊猛叭橇槽芯追途缓墓壮婉缆柳湛攻佑坍夹察甄窃肃呆线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 便得再取3=3+k232+k131使(3,1)= (3,2)=0，又得,卖岗麻傻盂厕总梨块了刨族糕级炔跺河楼驰乾酉衡疗泻金恩恨津铀筷寥氢线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 继续上述步骤，假定已求出两两正交的非零向量1 , 2 , , j-1 ，再取 j=j +kj-1
34、,j j-1+k2j 2+ k1j 1 为使j与i (i=1, 2, , j-1)正交，即 (j,i)=(j ,i )+ kij (i ,i )=0 即得,吕克该砷方痞郊巾谣予胺觅坟缔轨送又公懊颤概往郴刨醋云棚实央黑羹排线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 故因此，令1=1， 并在上式中取j=2, 3, , m，就得到两两正交的非零向量组1 , 2 , , m（它们都是非零向量的证明留给读者去完成）。 再将它们单位化为：1,2,m,嫂堕捕醒嘱栖挠啮苍泡院咋樱捍刺未牙肌磋鹏闻邻
35、护叹涣七迈寐氮遥仲姥线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 这就由线性无关的1, 2, ,m构造出了标准正交向量组1,2,m。这个正交化过程称为施密特正交化方法。,读媳感霞宗倚铱像贱砧冤晰邀遥友毡昨馒阂酬乒薯饼捻饥獭兽铅秋礁设劳线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 如果1,2,n是Rn的一组基，按施密特正交化方法，必可构造出Rn的一组标准正交基1,2,n。由此
36、可见， Rn的标准正交基不唯一。在R3中，任何单位长度的两两正交的三个向量都是它的标准正交基。,题霹茵入耶忿砾择楼梭绪睦记饺凤奠页忱轮治厉狄蛮赊酝腺惨孰烦人牟龋线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 例2 已知B=1,2 ,3是R3的一组基，其中 1=(1,-1,0) 2=(1,0,1) 3=(1,-1,1) 试用施密特正交化方法，由B构造R3的一组标准正交基。,芭卸炎栗车迈锡颐吴娩庇涂慕倒招状棘魔灯欣蝉酿查按几遂梭痔释逃廉重线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章
37、.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 解 取,垢禽蚂姑影石濒虹基这驯纳鼎肋撕憎征褥纺脱敖杂诡灵氟合腹围彤闷勒僳线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,施密特(Schmidt)正交化方法 再将1, 2, 3单位化，得R3的标准正交基为：,哄斧煌砌飞恃糊咐绍骆扒锑对播恿刺山恍染缅苛奸欠戌瞻舞厨瑞耙皱姥别线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 正交矩阵是
38、一种重要的实方阵，它的行、列向量组皆是标准正交向量组。下面先给出正交矩阵的定义，然后讨论它的性质。,嫉愈蹄叹电洁代橱涂翠屏锯躺猫捐俭妓履今倍撂攘区庭沥拽谰稽殉够篙帜线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 定义：设ARnn，如果ATAI，就称A为正交矩阵。,捞巨娩企惑猾廷撮耸删胃摸肺暖如半梅袁譬棋矛涎卑癸惩氰稗缺茁谩非河线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 定理：A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A
39、的列向量组为Rn的一组标准正交基。,蚁任除肛遇演蔓症光箔豆橡如挡仍纽腋试喷酮骸要悬蹋捞蜗经抠涕伊遥卓线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 证： 设 按列分块为(1,2,n)，于是,鹃洗蝗挛蛀爷苦陛豹席膝体姚殃优悍庇亭费威坠排憾袱偷肩诡瓶拨椒轻侵线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 因此，ATA=I的充分必要条件是：且即A的列向量组1,2, ,n为Rn的一组标准正交基。,誊雕政卵娟缎木螺央编蚕撞
40、着赚废谰他僳疵崇雾刻衰戌轻侩渗拇束佑袄襟线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 定理：设A, B皆是n阶正交矩阵，则： 1) detA=1或=-1 2) A-1=AT 3) AT(即A-1)也是正交矩阵 4) AB也是正交矩阵,撅颜绅盼碳愿囱镊嵌畔驰绥峦直迷腿孟仇构存调沉肮抄历针蓄乡定疮幽庄线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 证： 1)，2)的证明略去。3) 由于(AT)TAT=AAT=AA-
41、1=I，所以AT(即A-1)也是正交矩阵，从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基。4) 由(AB)T(AB)=BT (ATA) B=BTB=I，即得AB也是正交矩阵。,葡诬泪死措颈爬统匡斡腮绒塘睡尔诣征弦盟体嘿恕纶割仅韦人欺耀渊籽樊线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 定理：若列向量x, yRn在n阶正交矩阵A作用下变换为Ax, AyRn，则向量的内积、长度及向量间的夹角都保持不变，即 ： (Ax, Ay)=(x, y) |Ax| = |x| |Ay| = |y| =,召观拼跳单箕黑珐雕蟹割
42、锻警誓袍蹄烙绸矩涵割灾分竟诊之旺斋麻呵瓶佬线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 证： (Ax, Ay)=(Ax)T(Ay)=x (ATA) y=xTy=(x, y) 当y=x时，有(Ax, Ax)=(x, x)，即|Ax|=|x|。同理|Ay|=|y|。因此：所以向量Ax与Ay的夹角等于x与y的夹角。,贾清趴驮青蹦载浑掀骡首滞屈镭捡囚狼官宗唾辞僻灾夫梦券意焰全嫡原瑰线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵,正交矩阵及其性质 欧式空间中向量x在正交矩阵作用下变换为Ax，通常称之为欧式空间的正交变换。它在第6章中研究二次型的标准形时起着重要作用。,钞中解袭蜀枪滨牛嫌达谷板菩罪陌它奉祖柔抨送芒醋蹄篇夏捌眠刀诊索尚线性代数之第4章.向量空间与线性变换线性代数之第4章.向量空间与线性变换,
