1、4.2 线性变换的矩阵,一、线性变换在基下的矩阵,二、相似矩阵,一、 线性变换在基下的矩阵,的线性变换. 则对任意 存在唯一的一组数,设 是线性空间V的一组基， 为V,使,从而，,由已知，即得,证：对,证：,定义,易知 为V的一个变换，下证它是线性的.,任取 设,则,于是,为V的线性变换.,又,设 为数域P上线性空间V的一组基，,为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设,定义4.2.1,用矩阵表示即为,其中, 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；,零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；,矩阵A称为线性变换 在基 下的矩阵.,数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；,解：,线性变
2、换运算与矩阵运算, 线性变换的和对应于矩阵的和；, 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；, 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；,证：设 为两个线性变换，它们在基,下的矩阵分别为A、B，即, 在基 下的矩阵为AB., 在基 下的矩阵为AB., 在基 下的矩阵为, 由于单位变换(恒等变换) 对应于单位矩阵E.,相对应.,所以，,与 ABBAE,定理4.2.3 设线性变换 在基 下的矩阵为A,在基 下的坐标为,在基 下的坐标为,则有,证：由已知有,又,由于 线性无关，所以,下的矩阵分别为A、B，且从基() 到基()的过渡,矩阵矩阵是X，则,(),(),定理4.2.4 设线性空间V的线性变换 在两组
3、基,证：由已知，有,于是，,由此即得,相似矩阵,定义4.2.4,设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆,矩阵 使得,则称矩阵A相似于B，记为,（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：, 反身性：, 对称性：,2基本性质, 传递性：,定理4.2.6 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；,同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.,反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作,证：,设 且A是线性变换 在基 下的矩阵.,例. 设 为线性空间V一组基， 线性变换 在,这组基下的矩阵为,为V的另一组基，且,求 在 下的矩阵B.,解：（1）由定理4， 在基 下的矩阵,例 . 在线性空间 中，线性变换 定义如下：,（1）求 在标准基 下的矩阵.,（2）求 在 下的矩阵.,解：（1）由已知，有,设 在标准基 下的矩阵为A，即,因而，,（2）设 在 下的矩阵为B，则A与B相似，且,
