1、 6 2线性变换的矩阵 一 线性变换与基 二 线性变换与矩阵 一 线性变换与基 的线性变换 则对任意存在唯一的一组数 设是线性空间V的一组基 为V 使 从而 由此知 由完全确定 一组基在下的像即可 所以要求V中任一向量在下的像 只需求出V的 设为数域P上线性空间V的一组基 为V的线性变换 基向量的像可以被基线性表出 设 用矩阵表示即为 二 线性变换与矩阵 1 线性变换的矩阵 其中 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵 A的第i列是在基下的坐标 矩阵A称为线性变换在基下的矩阵 注 它是唯一的 故在取定一组基下的矩阵是唯一的 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆
2、为数量矩阵 例1 设线性空间的线性变换为 求在标准基下的矩阵 解 2 线性变换运算与矩阵运算 定理6 2设为数域P上线性空间V的一组 的唯一一个矩阵对应 且具有以下性质 基 在这组基下 V的每一个线性变换都与中 线性变换的和对应于矩阵的和 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积 可逆线性变换与可逆矩阵对应 且逆变换对应 于逆矩阵 证 设为两个线性变换 它们在基 下的矩阵分别为A B 即 在基下的矩阵为A B 在基下的矩阵为AB 在基下的矩阵为 由于单位变换 恒等变换 对应于单位矩阵E 相对应 因此 可逆线性变换与可逆矩阵A对应 且 所以 与AB BA E 逆变换对应于逆矩阵
