1、第一章,线性空间和线性映射,本章知识要点,线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换； 线性空间的分解：子空间、值域(像空间)与核空间(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和； 线性变换及其矩阵表示：定义、运算、值域与核空间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变子空间、Jordan标准形; 欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、标准正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、正规矩阵与可对角化、谱分解。 Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。,集合,集合 元素、子集、集合相等、运算（交、并、补） 例：数域是一个集合含
2、有加法+和乘法* 含有元素0，满足对任何元素a，有 a+0=a； 含有1，满足对任何元素a，有 a*1=a； 任何元素 a 存在负元素 b，满足a+b=0； 非零元素a存在逆元素b，满足a*b=1； 对加法和乘法封闭 常用数域有：有理数域、实数域、复数域,映射,映射：集合S到集合S的一个映射是指一个法则(规则) f : S S，对S中任何元素a，都有S中的元素a与之对应，记为：f(a)=a 或 aa。一般称a为a的像，a为a的原像。 变换：若S=S，则称映射为变换。 映射的相等：设有两个映射 f : S S和 g: S S，若对任何元素 aS 都有 f(a)=g(a) 则称 f 与 g 相等。
3、 映射的乘积(复合)：若 f : S1 S2 和 g: S 2 S3，则映射的乘积 g f 定义为： g f(a)=g(f(a)。在不至混淆的情况下，简记 g f 为 gf,映射的例子,例子1：设集合S是数域F上所有阶方阵的集合，则f(A)=det(A)为S到F的映射。 例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算： (f(t)=f(t)为S到S的变换。 例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换： 为S到S上的一个变换。,线性空间的定义,定义：设 V 是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算，用 + 来表示，另一种是数乘运算, 用 来表
4、示, 并且这两种运算满足下列八条运算律： （1）加法交换律：+= + （2）加法结合律： (+)+ = +(+) （3）零元素：在 V 中存在一个元素0，使得对于任意的V 都有+ 0 = （4）对于V中的任意元素都存在一个元素 使得：+= 0,线性空间的定义（续）,（5）数1：对V，有：1= （6）对k,lF,V 有： (kl) = k (l ) （7）对k,lF,V 有： (k+l) = k +l （8）对kF, V 有： k (+)= k +k 称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。 可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。,线性空间的例子,例1：全体实函数集合 RR构成实
5、数域 R 上的线性空间。 例2：复数域 C上的全体 mn 阶 矩阵构成的集合Cmn 为 C 上的线性空间。 例3：实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项式集合 Rxn 构成实数域 R 上的线性空间。 例4：全体正的实数 R+ 在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：对任意 kR, a,bR+,例5：R表示实数域 R 上的全体无限序列组成的的集合。即,线性空间的例子（续）,则 R 为实数域 R上的一个线性空间。,在R中定义加法与数乘：,例 6 在 中满足Cauchy条件的无限序列组成的 子集合也构成 R上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于 都有,线性空间的例子（续）,例7
6、在 中满足Hilbert条件的无限序列组成的 子集合构成 R 上的线性空间。Hilbert条件是：级数 收敛,线性空间的基本概念及其性质,基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩。 基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向
7、量组秩相同。,例1 实数域 R上的线性空间 RR 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。 例2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。 例3 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组也是线性无关的。,例4 实数域 上的线性空间空间 中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。,线性空间的基底与维数,定义：设 V 为数域 F上的一个线性空间。如果在 V 中存在 n 个线性无关的向量 ，使得 V 中的任意一个向量 都可以由 线性表出:则称 为 V 的一个基底； 为向量 在基底 下的坐标。此时我们称 V 为一个 n 维线性空间
8、，记为 dimV=n。,例1 实数域 R 上的线性空间 R3 中向量组与向量组,基底的例子,都是线性空间 R3 的基底，R3是3维线性空间。,例2 实数域 R上的线性空间 中的向量组与向量组 都是 的基。 是4维线性空间。,基底的例子（续）,例 3 实数域 R上的不超过n次多项式的全体Pn中的向量组 与向量组 都是 Pn 的基底，Pn的维数为 n+1。 注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。,基底的例子（续）,例4 在4维线性空间 中，向量组与向量组是其两组
9、基，求向量 在这两组基下的 坐标。,解：设向量A在第一组基下的坐标为 于是可得 解得同样可解出在第二组基下的坐标为,设 （旧的）与 新的） 是 n 维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为,基变换与坐标变换,将上式矩阵化可以得到下面的关系式：,称 n 阶方阵,是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵(可逆)，那么上式可以写成,任取 ，设 在两组基下的坐标分别为 与 ，那么我们有,该式被称为坐标变换公式。,于是有：,与向量组,例1 在4维线性空间 中，向量组,为其两组基，求从基 到基 的过渡矩 阵，并求向量 在这两组基下的坐标。 解：容易计算出下面的矩阵表达式,向量A在第一组基下的坐标为,利用坐标变
10、换公式可以求得A在第二组基下的坐标为,定义 设 V 为数域 F上的一个 n 维线性空间，W为V的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的 都有那么我们称 为 的一个子空间。 例1 对于任意一个有限维线性空间 ，它必有 两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间,以及线性空间 本身.,线性空间的子空间,例2 设 ，那么线性方程组 的 全部解为 维线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。例3 设 为 维线性空间 中的 一组向量，那么非空子集合,构成线性空间 的一个子空间，称此子
11、空间为有限生成子空间，称 为该子空间的生成元。的维数即为向量组 的秩， 的最大无关组为基底。例4 实数域 R上的线性空间 中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成 的子空间，,子空间的交与和,两个子空间的交: 两个子空间的和: 子空间交与和的性质 若V1和V2都是V的子空间，则V1V2和V1+V2也是V的子空间. V1V2 = V2V1，V1+V2=V2+V1 (V1V2)V3=V1(V2V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3) dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+ dim(V1V2) 两个子空间的直和: 若V=V1+V2，且
12、V1V2=，则称V为V1与V2的直和。,线性变换,定义：设V是数域F上的线性空间，T : V V 为V上的映射，则称T为线性空间V上的一个变换或算子。若变换满足：对任意的k,lF和,V，有,则称T为线性变换或线性算子。 线性变换的基本性质： （1）T(0) = 0； （2）T(-x) = -T(x)； （3）线性相关的向量组的象任然是线性相关的。,线性变换的例子,例1：R2空间上的如下变换为线性变换（该变换还是正交变换）。 例2：设Pn为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算： (f(t)=f(t)为Pn到Pn的线性变换。 例3：V为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换： 为V上的线性变
13、换。,线性变换的值域和核,V上的线性变换T的值域和核定义如下： R(T)= Tx |xV N(T)= x | Tx=0, xV 定理：线性空间V的线性变换T的值域和核都是V的线性子空间，分别称为T的像空间和核空间。 定义：线性变换T的像空间维数dimR(T)称为T的秩，核空间维数dim(N(T)称为T的亏。 可以证明，若V维数为n，T的秩为r，则T的亏为n-r。,例：实数域 R上的不超过n次多项式的全体Pn中为线性空间，求导运算的象空间为Pn-1 ，核空间为R。,线性变换的运算,零变换T0：T0x=0 变换的加法：定义 (T1+T2)x=T1x+T2x 负变换：定义 (-T)x=-(Tx) 数
14、乘：定义 (kT)x=k(Tx) 定理：V上所有变换构成的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。 单位变换Te：Tex=x 变换的乘法：定义 (T1T2)x=T1(T2x) 逆变换：若T为一一对应，则可定义逆变换T-1。 定理：V上所有线性变换构成的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环(环比数域条件弱)。,线性变换的矩阵表示,以下讨论均假设线性空间为F上的有限维空间，并以上标表示维数，如Vn、Wm等。 设映射T为Vn上的线性变换， 为空间的基底，则可以用该基底线性表示，即,写成矩阵形式,对Vn中的任意元素x，设x和Tx的基底表示如下,于是有：,得到：,对Vn上的线性变换T，
15、在基底 下可以用矩阵来表示：,定理：设Vn上的变换T在基底 下对应的矩阵为A，则 R(T)=rank(A) N(T)=n-rank(A) （由AX=0立即得到）单位变换对应单位矩阵 零变换对应零矩阵 逆变换对应逆矩阵,设Vn上的线性变换T在两组基底 和 下对应的矩阵分别为A和B，两个基底之间的过度矩阵为P，即：,于是,即得,结论：相似矩阵表示相同的线性变换,矩阵的运算,零矩阵（对应零变换） 矩阵加法（对应线性变换的加法） 负矩阵（对应负线性变换） 数乘（对应线性变换的数乘） 定理：所有nm阶矩阵的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。 单位阵（对应单位变换） 矩阵的乘法（对应变换的乘法）
16、 逆矩阵（对应逆变换） 定理：所有n阶方阵的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环(环比数域条件弱)。,定义 设T是数域F上的线性空间V的一个线性变换，如果对于数域F中的某个元素0，存在一个非零向量，使得那么称0为T的一个特征值，而称为 T 属于特征值0的一个特征向量。取定V的一组基底 ，设T在这组基下的矩阵是A，向量在这组基下的坐标是 ，那么我们有,线性变换的特征值与特征向量,即得,求解特征值与特征向量,选定线性空间的一个基底，求线性变换T在此基底下对应的矩阵A； 求解矩阵A的特征多项式 的所有根； 求出矩阵A的每一个特征值对应的特征向量； 以A的特征向量为坐标求出对应的特征向量
17、。,例1 设V是数域F上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换，T在V的一个基 下的矩阵是求T的全部特征值与特征向量。 解：求T的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征向量。,所以A的特征值是 3 (二重)与 -6。对于特征值 3，解齐次线性方程组得到一个基础解系：,从而T的属于 3 的极大线性无关特征向量组是于是T属于 3的全部特征向量是这里 k1k20 。对于特征值 -6，解齐次线性方程组得到一个基础解系：,从而 T 的属于 -6 的极大线性无关特征向量组是于是 T 的属于 -6 的全部特征向量这里 k 为数域 F 中任意非零数。,特征值与特征向量的相关性质,特征子空间：线性变换T属于特征值
18、0的特征向量生成的子空间，记为 ，其中的非零向量为特征向量。 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 Tr(AB)=Tr(BA)（方阵的对角线之和称为矩阵的迹）。 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。 相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。 矩阵A是其特征多项式的零点，即设 ， 则,矩阵的相似标准形,n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量；实对称矩阵的特征值都为实数，且与对角矩阵相似； 任何复矩阵与一Jordan矩阵相似；,矩阵可对角化的判定,推论：矩阵A可以对角化的充分必要条件是A的特征值的代数重数等于几何重数。 注：特征值的代数重数是指该特征值作为特征多项式的根的重数。
19、几何重数是指特征子空间的维数。即对每个特征值k,对应的特征子空间为的解空间，其维数称为几何维数。,例1 判断矩阵是否可以对角化？ 解： 先求出A的特征值,于是A的特征值为1=1，2 =2（代数重数=2）。由于1=1是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑2 =2,于是 即特征子空间的维数为1，从而不可以相似对角化。,定义： 已知 和关于变量 x 的多项式那么我们称 为 A 的矩阵多项式。设 A 为一个 n 阶矩阵，J 为其Jordan标准形，则于是有,矩阵的多项式表示与矩阵的最小多项式,我们称上面的表达式为矩阵多项式f(J)的Jordan表示。其中,例 已知多项式 与矩阵,
20、求 f(A)。 解：首先求出矩阵 A 的Jordan标准形 J 及其相似变换矩阵P,那么有,定义：已知 和关于变量 x 的多项式如果 f(x) 满足 ，那么称该多项式为矩阵 A 的一个零化多项式。,定理：已知 ， 为其特征多项式, 则有 我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。,定义：已知 ，在 A 的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的零化多项式称为 A 的最小多项式，通常记为最小多项式的性质：已知 ，那么 （1）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。,如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑Jordan
21、标准形矩阵的最小多项式。 例1 ：已知一个Jordan块,求其最小多项式。 解：注意到其特征多项式为 , 则由上面的定理可知其最小多项式 一定具有如下形状，其中 。但是当 时,因此有,.例2 ：已知对角块矩阵 ,而分别为子块 的最小多项式，则 的最小多项式为即为 的最小公倍数。,例3 ：求下列矩阵的最小多项式,解： （1）首先求出其Jordan标准形为所以其最小多项式为 。 （2）此矩阵的Jordan标准形为,从而其最小多项式为 。 （3）该矩阵的Jordan标准形为,故其最小多项式为 。 （4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，所以其最小多项式,Euclid空间（欧氏空间）,线性空间内积
22、的定义：设V是实数域R上的n维线性空间，对于V中的任意两个向量、, 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与与的内积，记为(,)，并且要求内积满足下列运算条件：,我们称带有这样内积的线性空间为Euclid空间(欧氏空间)。,当且仅当=0时内积为零,例1 在Rn中，对于规定容易验证 ( , )是Rn上的一个内积，从而 Rn成为一个欧氏空间。如果规定,容易验证( , )2也是Rn上的一个内积，这样 Rn又成为另外一个欧氏空间。,例2 在mn维线性空间Rmn中，规定容易验证这是Rmn上的一个内积，这样 Rmn对于这个内积成为一个欧氏空间。例3 在实连续函数构成的线性空间 Ca, b中，规定,容
23、易验证(f, g)是 Ca, b 上的一个内积，这样 Ca, b对于这个内积成为一个欧氏空间。,Euclid空间的性质,有限维线性欧氏空间,设实数域上有限维线性空间V的基底为 ，设向量x与y在此基底下的表达式如下,则x与y的内积可以表示如下,取,即A为实对称矩阵，而且(x,x)0表明A为正定的。,性质：（1） 当且仅当 时（2）（3） （4）,欧氏空间的度量,定义：设V为线性欧氏空间，向量的长度或范数定义为,例1： 在线性空间Rmn 中，证明证明：由于Tr(ABT)为线性空间中的内积，由三角不等式得证。例2： 设Ca,b表示闭区间a,b上的所有连续实函数组成的线性空间，证明对于任意的f(x),
24、 g(x)Ca,b，我们有证明：由于 为线性空间Ca,b上的内积，由内积基本性质可得上式。,定义：设V为欧氏空间，两个非零向量 的夹角定义为于是有定理：,定义：在欧氏空间V中，如果 ，则称 与 正交。 定义： 长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量 ，向量 总是单位向量，称此过程为单位化。,定义 设 为一组不含有零向量的向量组，如果 内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。 命题 正交向量组一定是线性无关向量组。 定义 如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。 定义：在 n 维内积空间中，由 n 个正交向量组成的基底称为正交基底；由 n
25、 个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。 注意：标准正交基底不唯一。,标准正交基底,定理：向量组 为正交向量组的充分必要条件是向量组 为标准正交向量组的充分必要条件是,定理：由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。,设 为 n 维内积空间 V 中的 r 个线性无关的向量，利用这 r 个向量构造一个标准正交向量组的步骤如下： 第一步：,容易验证 是一个正交向量组.,Schmidt正交化方法,第二步 单位化显然 是一个标准的正交向量组。例1 运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。 解：先正交化,再单位化,那么 即为所求的标准正交向量组。,以上正
26、交化方法的结果与向量的次序有关。除此之外，还可以通过矩阵运算直接正交化。为此令：,则矩阵B=AAT为正定实对称矩阵，因此存在正交矩阵P，使得,其解空间的一个标准正交基底。 解： 先求出其一个基础解系下面对 进行正交化与单位化：,例2 求下面齐次线性方程组,即为其解空间的一个标准正交基底。,定义： 设V是一个n维欧氏空间,是V的一个线性变换，如果对任意的 V都有,正交变换与正交矩阵,则称是V的一个正交变换。,定理： 线性变换是正交变换的充分必要条件是：任意的 都有,证明：必要性，设是正交变换， ，则有,于是有 充分性：取 立即可得为正交变换。,定义：设A为一个 n 阶实矩阵，如果其满足 AAT=
27、ATA=I 则称A正交矩阵，一般记为AEnn。例：,设 ，那么,正交矩阵的性质,定理： 设 ARnn ，A是一个正交矩阵的充分必要条件为A的 n 个列（或行）向量组是标准正交向量组。,定理：设V是一个n维欧氏空间，是V的一个线性变换，那么下列陈述等价： （1）是正交变换； （3） 将V的标准正交基底变成标准正交基底； （4）线性变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵。,定义： 设V是一个n维欧氏空间,是V的一个线性变换，如果对任意的 都有,对称变换与对称矩阵,则称是V的一个对称变换。,定理： 线性变换是实对称变换的充分必要条件是：在标准正交基下对应的矩阵是实对称矩阵。,证明：设在标准正交基下对
28、应的矩阵为A，向量和的坐标为列向量X1和X2， 则 的坐标分别为 AX1和AX2，于是有,酉空间,酉空间的定义：设V是复数域C上的n维线性空间，对于V中的任意两个向量、, 按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数为与的内积，记为(,)，并且要求内积满足下列运算条件：,我们称带有这样内积的线性空间为酉空间。,当且仅当=0时内积为零,酉空间内积的性质,酉空间的类似理论,酉空间和欧氏空间都属于内积空间，因此有相似的性质和结论 标准正交基 酉变换（对应欧氏空间的正交变换） Hermite变换与Hermite矩阵（即共轭对称矩阵，对应欧氏空间的对称变换与实对称矩阵）,定义：设 ，若存在 ，使得则称A酉相
29、似(或正交相似)于B。,Schur引理与正规矩阵,定理(Schur引理)：任何一个n阶复矩阵（实矩阵）A酉相似（正交相似）于一个上(下)三角矩阵。 证明：用数学归纳法。A的阶数为1时定理显然成立。现设A的阶数为k-1时定理成立，考虑A的阶数为k时的情况。取k阶矩阵A的一个特征值1，对应的单位特征向量为1，构造以1为第一列的k阶酉矩阵,因此,其中A1是k-1阶矩阵，根据归纳假设，存在k-1阶酉矩阵W满足,(上三角矩阵),因为 构成Ck的一个标准正交基，故,那么,令U=U1U2，则UHAU为上三角矩阵，定理得证。,令,定义: 设ACnn，如果满足那么称矩阵A为一个正规矩阵。例: 为实正规矩阵。定理
30、: 设ACnn， A是一个正规矩阵当且仅当A酉相似于对角矩阵。,证明: 首先假设矩阵A是正规矩阵，对于A存在酉矩阵U，使得,由AAH=AHA可得：b12=b13=bn-1,n=0，即A与对角矩阵相似，必要性得证。充分性显然。,附：Hilbert空间,定义：完备的内积空间称为Hilbert空间。其中完备性是指任何柯西序列都有极限。因此n维欧式空间是Hilbert空间的特例。 平方可积空间：定义在区间a,b上的连续函数，可以定义内积 (f,g)称满足 的函数 f (t)为元素的线性空间为平方可积空间。记为L2(a,b)。平方可积空间是Hilbert空间。,平方可积空间例,L2(0,2)空间可以看做
31、为周期函数构成的空间，其标准正交基为sin(nt),cos(nt)，任何一个函数在该基底下的坐标为其对应的傅里叶系数。 L2(-,)空间为能量有限空间，其基底可以选择小波基2j/2(2jt-k)作为基底。注意如果考虑复数值函数，则傅里叶变换为该空间上的一个线性变换，且是一一对应的，即傅里叶变换是一个同构。,平方可和空间,对离散信号定义内积称满足的序列为元素的线性空间为平方可和空间，记为l2(Z)。平方可和空间也是Hilbert空间，离散时间傅里叶变换。为l2(Z)到L2(0,2)的线性映射。,L2空间,概率论中，称为基本事件、A(F)为事件， F是事件的全体，P(A)称为事件的概率，这样可定义
32、概率空间(，F ，P)。 用Lp=Lp(，F ，P) (p1)表示具有有限p阶矩的随机变量= ()的空间，称为Banach空间，其中E|p=。 其中，起重要作用的是具有有限二阶矩的随机变量的Hilbert空间L2=L2(，F ，P) ，简称为L2空间,L2空间（续）,L2空间中的任何两个随机变量x ()和y()的内积定义为 (x, y)=E(xHy) 。 |x|2=E(xHx)0.5称为随机向量x的范数。这样， 最小|e|22既可指最小均方误差，也可指最小二乘误差。 x(t)=E(x(t,)称为随机向量x(t, )的均值向量。Rx(t,t+)=E(x(t,)xH(t+,)为x的自相关矩阵，x平稳时，x(t)=x和Rx(t, t+)=Rx()。 x(t,)=x(t,)-x(t)为随机向量x的中心化向量。 Cx(t, t+)=Rx(t, t+)为x的自协方差矩阵。,L2空间（续）,L2空间中的任何两个随机变量x()和y()统计不相关，若Cxy=O；x()和y()正交，若Rxy=O。 随机向量的线性变换：若y()=Ax ()，则y(t)=Ax(t)和Ry= ARxAH 高斯白噪声的统计特性：x(t)=0，Rx(0)=2I L2空间的元素序列xn收敛于极限x意味着|xn-x|0，即E(xn-x)H(xn-x)0。在L2空间内xn依范数收敛于x称为均方收敛。,
