1、第 7 章 一般向量空间与线性变换 第 5 讲17.5 线性映射和向量空间的同构本节内容需分两次课上完1. 线性映射的定义和基本性质如何建立两个集合之间的联系呢？映射。当然向量空间之间也可以通过映射相互联系，但映射只是给出元素之间的对应，在向量空间中，向量之间还有线性关系，我们自然希望映射和线性关系之间能“和谐”相处。由此有了线性映射的概念。定义 1 设 是域 上的两个向量空间, 如果存在映射 使得,VWK:VW(1) 保持加法运算 : 即对任意 , 有,V()();(2) 保持纯量乘积 : 即对任意 和 , 有kK.k则称 是从 到 的线性映射.注 1 定义的第(1)条中， 中的“+ ”是向
2、量空间 中的加法，而 中的()V()“+”是向量空间 中的加法. 同理, 定义中的第 (2)条， 中的纯量乘积是域 与向量空W()kK间 的纯量乘积，而 中的纯量乘积是域 与向量空间的纯量乘积.V()kK注 2 保持加法和纯量乘积合称为保持线性运算, 可以统一起来, 用(3)来取代: (3) 对任意 和 ，有,V12,1212()()().kk线性映射有下面基本性质. 以下均设 是域 上向量空间 到 的线性映射.:VWVW性质 1 (0);证明：因为 故(0)(0),(.性质 2 ();证明： (1)()().性质 3 1212( ().n nkkkk 的情形即为上面注 2，一般的 可以采用归
3、纳法得到（略）.2n性质 4 按映射合成法则, 线性映射合成还是线性映射, 而且满足结合律.证明：设 都是线性映射, 则 使得:VWU :VU121212()()()()()kkk作为映射合成有结合律, 所以作为线性映射合成仍然有结合律. 例 1 设 , 分别是数域 上的 2 维和 3 维向量空间. 令2F3F:(,),)Vabab则 是从 到 的线性映射.VW证明：因为 中每一个向量 在对应法则 下唯一地对应到 中的一个向量(,)W第 7 章 一般向量空间与线性变换 第 5 讲2，所以 是映射.(2,)ab对于 ， ，有(,cdVkK),(,)2(,2(),(,(,)acbdacbdacd(
4、,)(,), 2kabkkkkab所以 是线性映射. 课堂练习：课后习题 1.观察上面的例子. 中有标准基 标准基在线性映射 下的象为：V12(,0)(,1). . 考察 中的任意向量 在 下的象为：12(),)(1,0)12ab,2)(,)(,)()abab 因此 是由 和 唯一确定. 1()2)从上可看出，性质 5 如果 是有限维的，则 完全由它作用于基上的像所决定. 即若 ，设VdimVn为 的一个基，则 完全由 确定. 12,nS 12(),()n证明：对于 中任意向量 ， 可唯一地表示为 ，于是，1k11()()()nnkk 反过来，如果指定基向量的像，是否一定存在一个线性映射，恰好
5、将基向量对应到这些像上？回答是肯定的.性质 6 设 和 是域 上的两个向量空间， ， 为 的一个基，VWKdimVn12,nS V任意给定的 （ 可以重复） ，则一定存在唯一的线性映射 ，使得12,n i :W， .()ii证明：由于 为 的一个基，故对任意 ，都存在唯一一组12,nS V使得 ，于是令12,nkK 1ik11:nniiWkk则可验证， 是线性映射（是映射，且保持线性性质） ，且使得:VW， .()ii,2n由于线性映射完全由它作用在基上的像所决定，从而唯一性是自然的. 注 3：实际上，性质 5 和性质 6 对于 是无限维的情形也是成立的，课本将性质 5 和性质V6 合写为定理
6、 1. （自行看看，实在不理解可暂放一边，这里是改造过的定理 1）第 7 章 一般向量空间与线性变换 第 5 讲3定理 1 设 和 是域 上的两个向量空 间. 如果 是 的基， 是 的任意一个非空子集，则对 到VWKSVTWS的任意一个映射 都能唯一地扩充成为 到 的线性映射，即存在 到 的线性映射 使T:gSTW:VW得 . 反之, 若 是 到 的线性映射， 是 的基，则 由它作用在 上的象完(),:V全确定，即只需知道 作用在 上的象就能知道 作用在每个向量上的象.那么线性映射是否能保持线性相关性呢？性质 7 设 是域 上向量空间 到 的线性映射, 中向量组 线性相:WKV12,n关，则它
7、们的象 （在 中）也线性相关 . 反之不然.12(),()n举反例说明反之不然. 比如高维空间到低维空间的投射. 当然，一定条件下，反之也成立. 这个条件就是 为单射，而且是充分必要条件.:V2. 线性映射的核与象一个线性映射 , 如果又是单射, 称之为单线性映射. 如果又是满射, 称之为满线:W性映射. 特别地 , 如果线性映射 是单射又是满射, 称之为同构(映射), 并称两个向量空:V间是同构的，记为 ，需要强调线性映射 时, 可记 或 .V:VW设 是线性映射, 记:, 称之为 的核；Ker|()0, 称之为 的象, 有时也记 .ImIm()注意， ， .rVIW关于线性映射的核与象，有
8、如下两个结论：命题 1 设 是线性映射，则 是 的子空间. 如果 是 的一个基，则:IWSV. 特别地, 如果 是 的基, 则I()|()S12,n V.12Im()() 此外， 为满射 .W证明：因为 , 所以 . 又0()II, , ()()Imk所以 是 的子空间. 任意 , 存在有限个 以及 使得ImV12,nS 12,nkK, 所以 . 1nik1()()()|niikS命题 2 设 是线性映射, 则 是 的子空间. 且以下等价：:VWKerV1 . 2 为单射.Ker03 将 的任意线性无关向量组对应到线性无关向量组.4 将 的基对应为 W 中的线性无关集. (这一点是对无限维空间
9、说的，因为有限维的情形包含在 3中)第 7 章 一般向量空间与线性变换 第 5 讲4证明： 是 的子空间这一结论易证（直接按定义证明）.KerV1 2：( ) 设 ，则 ，于是 ，即 ，亦()()0Ker00即 . ( ) 设 ，即 ，由 为单射可得， ，故 .r) er1 3：( ) 设 是 的任意线性无关向量组，则 为12,n V12(),()nW 中的向量组. 设 ，则 ，由于2()()()0nkk 0kk，有 ，而 线性无关，故 ，因此，Ker0120n 12,n 12n线性无关. ( ) 设 ，则 ，若 ，则 是 中线性12(),()n Ker()V无关向量组（只有单个向量） ，则
10、是 W 中的线性无关组，这与 矛盾，故 ，()00因此， .er01 4：( ) 设 是 的一个基. 任取有限个向量 ，其中SV12(),()nS，类似上面做法，可得 线性无关，因此， 是 W 中的12,n 12(),n线性无关集. ( ) 设 ，由于 是 的一个基，故存在 ，以及KerSV12,m使得 ，于是有12,mkK 12mkk 120()()()()mk但是 是 W 中的线性无关集， 为 中有限个向量，必线性无关，()S,n S从而 ，于是， ，因此， . 12nkk 120mk Ker0定理 1 设 是线性映射， ，则 .:VdiVdieriIn证明：由于核空间 ，故设 是 的基，
11、于是 可扩充为 的Ker1, K1,m V一个基 （若 ，则设 为 的一个基）. 于是，由命题 1，11,mnm r01,n V1 1I(),(),(0),()mmn nm 下证 线性无关：设 ，则1),()nm 1(0()nkk nm即 ，于是， ，即1Kernk 11 mll 1)()(0mnkkll 而 是 的基，是线性无关的，故 . 因此，11,mnm V110nlkl 线性无关. 故 是 的基，即 . 所以，)() 1),()nm IdiI. diKeriI注 4：这是一个有趣的结论， 是 的子空间， 是 的子空间，但是它们的维数KerVIW之和等于 的维数. 这就是课后习题第 8
12、题，也是课本的定理 3，课本用了另一种证明方法.V今后常称 为线性映射 的零度， 为线性映射 的秩.dimer di第 7 章 一般向量空间与线性变换 第 5 讲5由定理 1 可直接得到以下推论。推论 1 设 和 是域 上两个 有限维向量空间, 是线性映射，则以下等价：VWKn:VW1 是同构映射 . 2 是单线性映射 . 3 是满线性映射.3. 有限维向量空间同构定理定理 2 设 和 是域 上两个有限维向量空间, 则 当且仅当 .VKVdimiVW证明：( ) 设 是同构映射. 如果 是 的基, 由 为单射和命题 2 得，:W12,nS 是 中的线性无关集，而由 为满射和命题 1 得，12(
13、,),()nS ，所以 是 的基. 因此，Im,W 12(),()n. ( ) 设 是 的基, 是 的基, 由性质 6，存在唯一的线diiV12n V W性映射 ，使得 ， . 将 的基 对应为 的基，由命:()ii2 V12,n题 1， 为单射；而 ，由命题 2， 为满1212,(),()Imn n 射. 所以， 为同构映射. :注 5：设 和 是域 上两个无限维向量空间, 虽然 , 但 和 未必同VWKdiiVW构. ( 证明要用到集合论更多的知识, 略.) 另外, 有限维向量空间与无限维向量空间不可能同构.推论 2 域 上任意 维向量空间 .nnVK那么，此推论中 和 之间的同构映射可以
14、怎么找出呢？设 是 的一个基，对于任意 ， 可以唯一地表示为 的线性组12,n V12,n合，即存在唯一的 ，使得 ，称 是 在基1,)(nk 12nkk )(k下的坐标或 关于基 的坐标，并记为 .12,n 12,n 1,nX这样，在取定了 的基 后，令 :nVK则可验证，此 就是从 到 的同构映射.VnK需要注意的是，坐标与基的关系是不可分割的，同一个向量在不同基下的坐标是不同的，基就如同坐标系.4. 线性映射与矩阵设 是域 上向量空间 到 的线性映射， , . 在向量空间:VWKVWdimVndiWm中取基 ，在向量空间 中取基 . 这样， 在基12,n 12, 12(),()n下的坐标
15、分别为 ，以这些坐标为列向量的矩阵为12,m 12()()(),nXXK，这样，若记12T()()()T,nmnAX 1212,()n 第 7 章 一般向量空间与线性变换 第 5 讲6则借助矩阵乘法的规则，有(1)121212(,)(),(,(),)n nmA 矩阵 称为线性映射 关于 的基 和 的基 的矩阵. 于是线性A:VW W映射和矩阵建立起了联系. (1)式的记法符合矩阵乘法的规则.上面这种记法实际上我们之前用过，也有结论：在 中， 的线性关12(),()n系与 的列向量组（即 在基 下的坐标）的线性关系（ 中）12(),()n 12,m K完全一致. P.147，例 1， P.148
16、，1,2,3，都运用了这一思想. 命题 3 设 是向量空间 的基, 是向量空间 的基. 线性映射2,n V12, W满足 , 其中 ，则:VW112()(,)mA mnK(1) 当且仅当 在基 下的坐标 为齐次线性方程组 的解，即Kern TX0AX;T0AX(2) 当且仅当线性方程组 有解，其中 是 在基 下的坐标.Im TXYY12,m证明：(1) 因为 , 所以12(,)n TT1212)()(,)nmAX 故 当且仅当 .()0TAX(2) 当且仅当存在 使得 . 设 ，则Im V()T12(,)nT12 12T(,)(),m nmY 故 . TY设矩阵 的列向量为 , 则 有解当且仅当 . 设 是A12,m TAXY12T,mY W齐次线性方程组 的解空间 , 则 当且仅当 . 因此利用推论 2 的同构映射, 0XKerW有下面的结论.命题 4 设 是向量空间 的基, 是向量空间 的基. 线性映射12,n V12,m满足 , 其中 ，设 是齐次线性方程组:VW12()(,)mA nK的解空间, 是矩阵 的列向量, 则0AX12,m 12KerI,mW从而 .dimKeriIn证明：将推论 2 中的同构映射限制在 上, 则 是同构映射. 由命er:Ker:WX题 3, 令 这是所要求的同构映射.T1:I,:mY 作业： p.156 9 ； p.159 1,2
