完全平方公式变形讲解

1、,15.3.2 完全平方公式,15.3.2 完全平方公式,探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (p+1)2 = (p+1) (p+1) = _ (m+2)2= _; (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = _;(m-2)2 = _.,P2+2p+1,m2+4m+4,P2-2p+1,m2-4m+4,我们来计算(a+b)2, (a-b)2.,(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2,； 暖风机 http:/www.bjhyi.com/ 暖风机 ； 大马死 至杨骏肆逆 幽然深远 咨余不造 郁若云布 郡国八陨霜 近有所漏者 虽夺其服 父子分离 请官属会议 不违其志 昔魏武帝置都督 又以威德服物 三年正月丙辰 居丧毁瘁 垂拱。

2、,完全平方公式与平方差公式,完全平方公式,探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (p+1)2 = (p+1) (p+1) = _； (m+2)2= _; (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = _;(m-2)2 = _.,p2+2p+1,m2+4m+4,p2-2p+1,m2-4m+4,我们再来计算(a+b)2, (a-b)2,(a+b)2=(a+b) (a+b) =a2+2ab+b2,(a-b)2 = (a-b) (a-b) =a2-2ab+b2,两数差的平方,等于它们的平方和,减它们的积的2倍.,(a+b)2=a2+2ab+b2,一般地,我们有,(a-b) 2 = a2-2ab +b2.,两数和的平方,等于它们的平方和,加它们的积的2倍.,这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.,公式特点：,4、公式中的字母a，b可以表示数，单。

3、,完全平方公式,完 全 平 方 公 式,一块边长为a米的正方形实验田，,图16,因需要将其边长增加 b 米。,形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图16).,你能用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.,(a+b) ；,2,a2+,ab+,ab+,b2.,(a+b)2=,a2+,ab,+,b2.,2,完全平方公式,你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?,(a+b)2=a2+2ab+b2 ;,(a+b),(a+b),=a2+ab+,ab+b2,=a2+2ab+,b2;,a2 2ab+b2.,的证明,=,+,2ab,+,ab,ab,b,ab,ab,=,2ab,+,ab,b(a-b),=,ab,b(a-b),b(a-b),b(a-b),b(a-b),b(a-b),=,b (a-b),b (a-b),公式特点：,4、公式中的字母a，b可以表示。

4、运用完全平方公式分解因式,八年级下册,提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)运用公式法： a2-b2=(a+b)(a-b),练习,把下列各式分解因式, x4-16,解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1),解:原式=(x2+4)(x2-4) =(x2 +4)(x+2)(x-2),课前复习：1、学了哪些方法分解因式?,（有公因式，先提公因式。）,（因式分解要彻底。）,课前复习：,2除了平方差公式外，还学过了哪些公式？,填空： （1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a-b) 2 （3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n+ =( ) 2（5）x2-x+0.25=( 。

5、1.6 完全平方公式,回顾与思考,公式的结构特征:,左边是,a2 b2;,两个二项式的乘积,平方差公式,应用平方差公式的注意事项:,对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符号相反的“项”;,仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。,(a+b)(ab)=,即两数和与这两数差的积.,右边是,两数的平方差.,完 全 平 方 公 式,一块边长为a米的正方形实验田，,图16,因需要将其边长增加 b 米。,形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图16).,用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.,(a+b) ；,2,a2+,ab+,ab+,b2.,(a+b)2=,a2+,a。

6、8 3 完全平方公式与平方差公式 1 了解乘法公式的几何背景 掌握公式的结构特征 并能熟练运用公式进行简单的计算 2 感受生活中两个乘法公式存在的意义 养成 观察 归纳 概括 的数学能力 体会数形结合的思想方法 提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力 进一步增强符号感和推理能力 1 完全平方公式 1 完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 上式用语言叙述为。

7、完全平方公式变形的应用练习题一:1、已知 m2+n2-6m+10n+34=0，求 m+n 的值2、已知 ， 都是有理数，求 的值。013642yxyx、 yx3已知 求 与 的值。2()16,4,ab23ab2()二：1已知 求 与 的值。()5,3ab2()ab23()2已知 求 与 的值。6,423、已知 求 与 的值。2,ab2ab2()4、已知( a+b)2=60，( a-b)2=80，求 a2+b2及 ab 的值5已知 ，求 的值。6,4ab223aba6已知 ，求 的值。250xy21()xy7已知 ，求 的值。16x21x8、 ，求（1 ） （2）032xx41x9、试说明不论 x,y 取何值，代数式 的值总是正数。26415xy10、已知三角形 ABC 的三边长分别为 a,b,c 且 a,b,c 。

8、 4.71 完全平方公式（基础）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（差）的平方即 ， .222abaab形如 ， 的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. 。

9、完全平方公式变形练习题1、已知 m2+n2-6m+10n+34=0，求 m+n 的值2、已知 ， 都是有理数，求 的值。013642yxyx、 yx3已知 求 与 的值。2()16,4,ab23ab2()4已知 求 与 的值。()5,3ab2()ab23()5已知 求 与 的值。6,426.已知 求 与 的值。2,ab2ab2()7.已知( a+b)2=60，( a-b)2=80，求 a2+b2及 ab的值8.已知 ，求 的值。6,4ab223aba9.已知 ，求 的值。2450xy21()xy10.已知 ，求 的值。16x2x11. ，求（1 ） （2）0321x41x12.试说明不论 x,y取何值，代数式 的值总26415xy是正数。13.已知三角形 ABC的三边长分别为 a,b,c且 a,b,c满足等式，请说明。

10、1乘法公式的拓展及常见题型整理一公式拓展：拓展一： abba2)(2 abba2)(212 12拓展二： 4)()(22abba2 abba4)()(2拓展三： ccc2)(拓展四：杨辉三角形3223)( baba446拓展五： 立方和与立方差)(223baba )(223baba二常见题型：（一）公式倍比例题：已知 =4，求 。baab2如果 ，那么 的值是 1,3cab222acba ，则 = 1yx2yx已知 = xy，22)()则(二）公式组合例题：已知(a+b) 2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b2 (2)ab2若 则 _， _()()abab22713， ， ab2ab设（5a3b） 2=（5a 3b） 2A ，则 A= 若 ，则 a 为 ()()xy如果 ，那么 M 等于 22yx已知(a+b) 2。

11、完全平方公式的变形与应用我们学习了完全平方公式： ，它是多项式乘法中非常重要的公式，22)(baba如果将两个公式适当加以变形，其用途更广泛，作用更大.下面结合几例加以说明：一、移项变形1、 ；22()abab2、 .例 1 （1） （2010 浙江宁波）若 ， ，则 _3yx1x2y（2）已知 ,求 的值.6,4ab2ab分析：（1）利用完全平方公式的变形 1，先将 变形为（ ） 22xy，然后代入求2xyxy值.（2 ）利用完全平方公式的变形 2，先将 变形为 ，然后代入求值.ba()ab解：（1）x 2+y2（ ） 22xy 3 227；x（2） .()648abab二、两公式相加变形3、 222()()()例2 已。

12、完全平方公式变形的应用完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。一. 完全平方公式常见的变形有a2+b2=（a+b） 2-2ab，a2+b2=（a-b） 2+2ab，（a+b） 2-（a-b） 2=4ab，a2+b2+c2=（a+b+c） 2-2（ab+ac+bc）二. 乘法公式变形的应用例 1： 已知：x 2+y2+4x-6y+13=0，x、y 均为有理数，求 xy的值。分析：逆用完全乘方公式，将x2+y2+4x-6y+13 化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出 x 与y 的值即可。解：x 2+y2+4x-6y+13=0，（x 2+4x+4）+（y 2-6y+9）=0，即（x+2） 2。

13、完全平方公式的变形技巧完全平方公式是一个十分重要的公式，其应用非常广泛，下面介绍完全平方公式的八项变形技巧，供同学们学习时参考。一、符号变形例 1 计算 21t解：原式 2t 21t 42t二、系数变形例 2 计算 ba16解：原式 34 28 27ba三、逐步变形例 3 计算 2c解：原式 ba 22c abc四、指数变形例 4 计算 2211aa解：原式 22 241a 8五、分组变形例 4 计算 12yx解：原式 2yx 14六、拆数变形例 4 计算 210解：原式 220 4110404七、拆项变形例 4 计算 yx3解：原式 yxyx32 296 227yx七、逆用变形例 4 计算 22 nmnm解：原式 2 24。

14、 郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！完全平方公式讲解第一部分 概念导入1问题：根据乘方的定义，我们知道：a 2=aa，那么（a+b） 2 应该写成什么样的形式呢？（a+b） 2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1） （p+1） 2=（p+1） （p+1）=_； （m+2 ） 2=_；（2） （p-1） 2=（p-1） （p-1）=_； （m-2） 2=_；2学生计算3得到结果：（1） （p+1 ） 2=（p+1） （p+1）=p 2+2p+1（m+2 ） 2=（m+2） （m+2）= m 2+4m+4（2） （p-1） 2=（p-1 ） 。

15、专题课: 平方差公式和完全平方公式 “变形记”,复习提问：,把平方差公式用字母表示出来 把完全平方公式用字母表示出来,平方差公式:,数学表达式：,公式逆用：,完全平方公式:,数学表达式：,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,谐音记忆：,首平方，尾平方，积的2倍放中央,1、利用公式进行计算：,2、化简求值：,3、在横线上添上适当的代数式，使等式成立,公式变形1：,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,公式变形2：,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,4.公式变形的应用：,（4）已知x2y2 13，xy6，求xy,5.完全平方式,6.计算：。

16、例1 利用完全平方公式完成下列变形 a2 b2 a b 2 a2 b2 a b 2 a b 2 a b 2 2 利用这些变形公式解答下列问题 1 已知a b 7 ab 2 求a2 b2 a b 2的值 2 已知a b 6 ab 4 求 a 。

17、第 1 页（共 5 页）半期复习（3） 完全平方公式变形公式及常见题型一公式拓展：拓展一： abba2)(2 abba2)(212 12拓展二： 4)()(22abba2 abba4)()(2拓展三： ccc2)(拓展四：杨辉三角形3223)( baba446拓展五： 立方和与立方差)(223baba )(223baba二常见题型：（一）公式倍比例题：已知 =4，求 。baab2(1) ，则 = 1yx221yx(2)已知 = xy，22)()则(二）公式变形(1)设（5a 3b） 2=（5a3b） 2A，则 A= (2)若 ，则 a 为 )()xy(3)如果 ，那么 M 等于 22yx(4)已知(a+b) 2=m，(ab) 2=n，则 ab 等于 (5)若 ，则 N 的代数式是 ba)3()(第 2 页（共 5 页。

18、完全平方公式变形,珠海容闳书院 钱卓,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,首平方，尾平方， 首尾2倍放中央,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,(a+b)2-(a-b)2=,完全平方公式变形,(a+b)2-2ab,(a-b)2+2ab,4ab,公式变形的应用,公式变形的应用,公式变形的应用,公式变形的应用,拓展思维 更上一层,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,思考题：,已知： 求： 和 的值,拓展：,完全平方式,能够还原成(ab)2的代数式叫做完全平方式,一个数如果是另外一个数的平方，那么这个数叫做平方数,完全平方式,完全平方式,完全平方式,完全平方式,完全平方式,。

19、完全平方公式变形,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,首平方，尾平方， 首尾2倍放中央,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,(a+b)2-(a-b)2=,完全平方公式变形,(a+b)2-2ab,(a-b)2+2ab,4ab,公式变形的应用,公式变形的应用,公式变形的应用,公式变形的应用,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,(a+b)2-(a-b)2=,(a+b)2-2ab,(a-b)2+2ab,4ab,完全平方公式的变形,完全平方式,能够还原成(ab)2的代数式叫做完全平方式,一个数如果是另外一个数的平方，那么这个数叫做平方数,完全平方式,完全平方式,完全平方式,完全平方式,完全平方式,完全平方式,完全平。