1、 郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！完全平方公式讲解第一部分 概念导入1问题：根据乘方的定义，我们知道：a 2=aa，那么（a+b） 2 应该写成什么样的形式呢？（a+b） 2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1） （p+1） 2=（p+1） （p+1）=_； （m+2 ） 2=_；（2） （p-1） 2=（p-1） （p-1）=_； （m-2） 2=_；2学生计算3得到结果：（1） （p+1 ） 2=（p+1） （p+1）=p 2+2p+1（m+2 ） 2=（m+2） （m+2）= m 2+4m+4（2
2、） （p-1） 2=（p-1 ） （p-1）= p 2-2p+1（m-2） 2=（m-2 ） （m-2=m 2-4m+44分析推广：结果中有两个数的平方和，而 2p=2p1，4m=2m2，恰好是两个数乘积的二倍。 （1）（2）之间只差一个符号。推广：计算（a+b） 2=_ _ （a-b） 2=_ _ 【2】得到公式，分析公式（1） 结论：(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积 2 倍的和注意：公式右边 2ab 的符号取决于
3、左边二项式中两项的符号若这两项同号，则 2ab 取“” ，若这两项异号，则 2ab 的符号为“” （3）公式中字母可代表的含义公式中的 a 和 b 可代表一个字母，一个数字及单项式（4）几何解释图 15图 15 中最大正方形的面积可用两种形式表示：（ab） 2 a 22abb 2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（ab） 2a 22abb 2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性【学习方法指导】例 1计算（1） （3a2b） 2 （2） （mnn 2） 2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中 a，b 在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应
4、打括号，如：进行平方的时候同时应注意公式中 2ab 的符号郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！解：（1） （3a2b） 2（3a） 22（3a）（2b）（2b） 29a 212ab4b 2注意：（2）中 n2 的指数 2 与公式中 b2 的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方” 例 2计算（1） （mn） 2 （2） （5a2） （5a2）点拨：（1）可直接用完全平方公式由于m 与n 是同号，所以公式中的 2ab 取“” （2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，
5、可利用完全平方公式进行计算解：（1） （mn） 2（m） 22（m） （n）（n） 2m 22mnn 2（2） （5a2） （5a2）（5a2） （5a2）（5a2） 2（25a 220a4）25a 220a4小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算例 3计算（1） （x 2y） 2（ xy） （x y）（2） （mn） （m 2n 2） （mn）点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简 （2）可先利用平方差公式将 mn 与 mn 相乘，再将所得结果 m2n 2 与中间括号里的 m2n 2 相乘，可
6、利用完全平方公式解：（1） （x2y） 2（xy） （xy）（x 2 4xy4y 2）（x 2y 2）x 2 4xy4y 2 x2y 24xy5y 2（2） （mn） （m 2n 2） （mn）（mn） （mn） （m 2n 2）（m 2n 2） （m 2n 2）（m 2） 22m 2n2（n 2） 2m 42m 2n2n 4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！例 4计算：（x ） 2（x ） 2y点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开
7、，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a2b 2（ab） （ab） ，将此题转化为平方差公式进行计算解法一：（x ） 2（x ） 2y（x 2 xy ）（x 2xy ）44yx 2 xy x 2xyy2xy解法二：例 5计算：（a2b1） （a2b1）点拨：此题“三项式乘三项式” ，且这两个括号中的三项只有符号不同先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（ab） （ab）的形式，利用平方差公式进行简化运算关键：此题最重要一步就是由到的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！随堂练习一、选择题1下列运算中，正确的是（ ）A3a+2b=5ab B （a1
8、） 2=a22a+1 Ca 6a3=a2 D （a 4） 5=a9郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！2下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ）A （x+y） 2=x2+y2 B （xy） 2=x2y 2C （x+y） 2=x22xy+y 2 D （xy） 2=x22xy+y 23下列各式计算结果为 2xyx 2y 2 的是（ ）A （xy） 2 B （x y） 2 C（x+y） 2 D（xy） 24若等式（x4） 2=x28x+m 2 成立，则 m 的值是（ ）A16 B4 C4 D 4 或4二、填空题5 （x2y） 2
9、=_6若（3x+4y） 2=（3x4y） 2+B，则 B=_7若 a b=3，ab=2，则 a2+b2=_8 （_ y） 2= x2xy+_；（_） 2= a26ab+_1394916三、解答题9利用完全平方公式计算：（1）2008 2； （2）78 210先化简，再求值：（2x1） （x+2）（x2） 2（x+2 ） 2，其中 x= 1311.利用公式计算：196 212.某正方形边长 a cm，若把这个正方形的边长减小 3 cm，则面积减少了多少？13.已知 x+y=1，求 x2+xy+ y2 的值114.已知 a+ =5，分别求 a2+ ， （a ） 2 的值115.为了扩大绿化面积，若
10、将一个正方形花坛的边长增加 3 米， 则它的面积就增加 39 平方米，求这个正郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！方形花坛的边长16.小明在计算 时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本220987不需要用计算器，而且很快说出了答案你知道他是怎么做的吗？17已知：ab5，ab6，求 a2b 218.利用公式计算：99 2119.计算 （1） ； （2） ；)1(ab)32(x（3）102 ； （4）99 .22（5） ；（6） .)1)(ba2)(pnm20.一个正方形的边长增加 3cm,它的面积就增加 39 ,这个正方
11、形的边长是多少?2c21.当 的值2)()23)(1, bababa 与郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！22.求证：当 n 为整数时，两个连续奇数的平方差 是 8 的倍数22)1()(n23.观察下列等式：， ， ， ，10232527342请用含自然数 n 的等式表示这种规律为：_.24.已知 是一个完全平方式 ,求 M 的值.2294yMx25.2005 年 12 月 1 日是星期四，请问：再过 2005 天的后一天是星期几?2答案一、1B2C 点拨：（x+y） 2=x2+2xy+y2，所以 A 不正确；（xy 2=x2
12、2xy+y 2，所以 B 不正确；（x+y） 2=（x）2+2（x）y+y 2=x22xy+y 2，所以 C 正确；（xy） 2=（x+y） 2=x2+2xy+y2，所以 D 也不正确，故选 C3D4D 点拨：因为（x4） 2=28x+16 ，所以若（x4） 2=x28x+m 2 成立，则 m2=16，从而得 m=4，故选 D二、5x 2+4xy+4y2 点拨：（x2y） 2=（x+2y） 2=（x+2y） 2=x2+4xy+4y2648xy 点拨：B=（3x+4y ） 2（3x4y） 2=9x2+24xy+16y2（9x 224xy+16y 2）=9x2+24xy+16y29 2+24xy1
13、6y 2=48xy713 点拨：因为 ab=3 ，ab=2，所以 a2+b2=（ab） 2+2ab=32+22=9+4=138 x； y2； a4b；16b 2314三、9解：（1）2008 2=（2000+8 ） 2=20002+220008+82=4000000+32000+64=4032064；（2）78 2=（802） 2=8022802+2 2=6400320+4=6084郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！10解：（2x1） （x+2 ）（x2） 2（ x+2） 2=2x2+4xx2（x 24x+4）（x 2+4x+
14、4）=2x2+3x2x 2+4x4x 24x4=3x10当 x= 时，原式 =3（ ）10= 110=113311.思路：196 接近整数 200，故 1962004，则此题可化为（2004） 2，利用完全平方公式计算解：196 2 （2004） 2 200 2220044 24000016001638416说明：可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积边长边长” ，表示出两个正方形的面积，用“大小”即可得出所求计算的关键在完全平方式的展开解：原正方形面积：a 2现正方形面积：（a3） 2面积减少了 a2（a3） 2
15、a 2（a 26a9）a 2a 26a9（6a9） （cm 2）答：面积减少了（6a9） cm213.解：因为 x+y=1，所以（x+y ） 2=1，即 x2+2xy+y2=1所以 x2+xy+ y2= （x 2+2xy+y2） = 1= 11点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值14.因为 a+ =5，所以 a2+ =（a+ ） 22a =522=23 ，a所以（a ） 2=a2+ 2a =232=21 11点拨：注意公式的一些变形形式，例如：a 2+b2=（a+b） 22ab，a 2+b2=（ab） 2+2ab， （a+b） 2=（a b） 2+4ab， （a b）2=（
16、a+b） 24ab 等等15.解：设这个正方形花坛的边长为 x 米，依题意列方程得， （x+3） 2x 2=39， 即 x2+6x+9x 2=39， 6x=30，x=5答：这个正方形花坛的边长为 5 米 点拨：适当引进未知数， 根据题中的相等关系得到方程，解方程即可16解：知道，做法如下：=220987222098(1)(1)= 2 20980981098郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！= = 20981点拨：由 200920072=（200920081） 2， 200920092=（20092008+1） 2，运用完全平方
17、公式化简即可17.点拨：同时存在 ab，ab，a 2b 2 的公式为完全平方公式（ab） 2a 22abb 2，将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可注意：不要分别求出 a 和 b，运算繁琐若已知 ab（或 ab） ，ab，a 2b 2 中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者解：a 2b 2（ab） 22ab当 ab5，ab6 时原式（5） 22（6）25123718.点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案19.【点拨】 （1）符合平方差公式的特征，只要将 ab 看成是 a，1 看成是 b 来计算.（2）利用加法交换律将原式变形为 ,然后运用平方差公式计算.)23)
18、(x（3）可将 102 改写为 ,利用两数和的平方公式进行简便运算.220（4）可将 99 改写为 ，利用两数差的平方公式进行简便运算 .)1(解：（1） = ；)ab122ba（2） = = ；32(x)3)(x22249)(x（3）102 = = ；)10 10002（4）99 = = .22( 821【点拨】 （5,6）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将 看作是一项.)(ba先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.解：（5） = ；)1)( 121)(1)()( 2bababa（6） =2pnm
19、22 pnmnpn= .244【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的 2 倍，在计算时不要发生： 或 这样的错22)(ba22)(ba误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.20. 【点拨】如果设原正方形的边长为 xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公
20、益教学博客。积累是最伟大的力量！解：设原正方形的边长为 xcm,则 39)(2x即 ，解得 x=5.39622xx答:这个正方形的边长是 5 .cm21. 【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将 a、b 的值代入计算出结果.解： )4(49)2()(23( 222baaba = ；8449当 与1,=8（-1） =-4.224)()23)( bababa 81)(422.【点拨】运用完全平方公式将 化简，看所得的结果是否是 8 整数倍.2)1(n证明: =2)1()(n)1(42n= ，n842 又n 为整数,8n 也为整数且是 8 的倍数.23.【点拨】本题是属于阅读理解，探索
21、规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为: 为整数).nn与1(2)1(224.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式, 项的系数分别为 4 和 9,所以这个完全平方式应该是2yx,由完全平方公式就可以求出 M.2)3(yx解：根据 = 得: .2)( 2914yx12M 1M答: 的值是12.25.【点拨】因为每个星期都有 7 天，要求再过 2005 天的后一天是星期几，可以想办法先求出 2005 是 7 的多少倍数还余几2 2天.解：2005 =2 93)867()86()386(22 = .7)7显然 2005 年 12 月 1 日是星期四，再过 2005 天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.2
