完全平方公式的推导

1、,请问你有几种方法求红色部分面积？,自主探究,长方形的面积=(a+b)(a-b),剩下的面积=a2-b2,a,b,b,平方差公式：,(a+b)(a-b)=a2-b2,两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。,用语言叙述平方差公式,精讲点拨,合作交流,平方差公式有何结构特征？,左边： 右边：,(a +b)(a -b)=a2 - b2,相同,互为相反数,1.左边两个多项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数 2.右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差,精讲点拨,直接运用新知，解决第一层次问题。,自主探究：,直接运用新知，解决第一层次问题。,自主探究：。

2、平方差公式的变化,完全平方公式的变化,平方差公式,我有以下8种变化：,位置变化,符号变化,系数变化,指数变化,换式变化,增项变化,连用公式变化,逆用公式变化,选 我 吧!,平方差公式,完全平方公式,位置变化,平方差公式,符号变化,平方差公式,系数变化,平方差公式,指数变化,平方差公式,换式变化,平方差公式,增项变化,平方差公式,连用公式变化,平方差公式,逆用公式变化,平方差公式,完全平方公式,我也有以下8种变化：,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,。

3、9.4 乘法公式,设计制作 陈以志,计算,1.,2.,古代中国、古埃及、古巴比伦、古印度都曾通过这个图形认识了一个数学公式，你也能从这个图形发现这个公式吗？,a,a,b,b,你能从这个图形发现什么公式？,a,a,b,b,（1） (a+b)2=a2+2ab+b2,这个两个公式都称为完全平方公式,（1）两数和的平方,等于这两个数的平方和加上它们的积的2倍.,你能用语言叙述吗？,（2） (a-b)2=a2-2abb2,（2）两数差的平方,等于这两个数的平方和减去它们的积的2倍.,（1） (a+b)2=a2+2ab+b2,你说说这两个公式的特点吗？,（2） (a- b)2=a2 -2ab+b2,前面这个数的平方,后面这个数。

4、复习提问：,用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.,1、多项式的乘法法则是什么？,am+an,bm+bn,+,=,(m+n),(a+b),算一算：,(a+b)2,(a-b)2,= a2 +2ab+b2,= a2 - 2ab+b2,= a2 +ab +ab +b2,= a2 - ab - ab +b2,=(a+b) (a+b),=(a-b) (a-b),完全平方公式的数学表达式：,完全平方公式的文字叙述：,两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。,(a+b),a,b,完全平方公式：,完全平方公式 的图形理解,(a-b),b,完全平方公式：,完全平方公式 的图形理解,公式特点：,4、公式中的字母a，b可以。

5、运用公式法完全平方公式,一、导入新课 二、新课 三、课堂练习 四、小结,注意啦！现在开始上课啦！,新 课,现在请同学先回答一个问题,1、什么叫完全平方式？试举例说明。,答：形如a2 2ab+b2的式子叫做完全平方式，例如多项式9x2 -12xy+4y2就是一个完全平方式。,多项式-x2-4y2+4xy是否符合完全平方式的结构特点？这样的多项式能否进行因式分解？,这节课我们就要解决这个问题,例1、把-x2-4y2+4xy分解因式,解：,-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+y2)=-x2-2*2x*y+(2y)2=-(x-2y)2,分析： 这个多项式不能直接用完全平方公式把它分解，如果把它的各项均提出一。

6、完全平方公式应用 典型题,八年级数学组,学习目标,1、正确认识完全平方公式逆运算公式的结构特征； 2、能灵活、熟练的运用此公式进行计算；掌握典型题的特征和计算方法。,复习巩固,两数和的平方公式：_ 两数差的平方公式：_,完全平方公式,形如 与 的二次三项式叫做完全平方式.,即：首平方，尾平方， 积的2倍在中央，符号确定回头望。,(首 - 尾) = 首 - 2首尾 +尾,典型题一,两数和的平方公式：_ 两数差的平方公式：_,（1）若 是一个关于x的完全平方 式，则m=_； (2)要使 成为一个完全平方式，则应加上 的式子是_；,（1）若 是一个关于x的完。

7、1.6 完全平方公式,回顾与思考,公式的结构特征:,左边是,a2 b2;,两个二项式的乘积,平方差公式,应用平方差公式的注意事项:,对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符号相反的“项”;,仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。,(a+b)(ab)=,即两数和与这两数差的积.,右边是,两数的平方差.,完 全 平 方 公 式,一块边长为a米的正方形实验田，,图16,因需要将其边长增加 b 米。,形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图16).,用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.,(a+b) ；,2,a2+,ab+,ab+,b2.,(a+b)2=,a2+,a。

8、整式乘除综合,整式的化简,顺序：先乘方、再除方，最后算加减；结果形式要保持最简，同类项必须合并；按照某个字母的降幂排列；能运用乘法公式的则运用公式。,2.已知实数a,b满足,完全平方公式应用1,相互转化,a2+b2=,ab=,(a-b)2=(a+b)2-4ab,(a+b)2=a2+b2+2ab,(a-b)2=a2+b2-2ab,(a+b)2-2ab,=(a-b)2+2ab,常用的变形公式:,完全平方公式应用2-代数式求值,2、若x-2y=15，xy=-25，求 x2+4y2-1的值。,已知:若(z-x)2-4(x-y)(y-z) =0求证: x-2y+z=0,添项拆项的技巧,多项式4x2+1加上一个单项式，使它能成为一个完全平方式，那么可以的单项式有_,完全平。

9、,15.2.2 完全平方公式（一）广州二中应元学校 姚瑶,完全平方公式的数学表达式：,完全平方公式的文字叙述：,两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。,你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?,思考:,(a+b),a,b,和的完全平方公式：,完全平方公式 的几何意义,(a-b),b,差的完全平方公式：,完全平方公式 的几何意义,公式特征：,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,1、积为二次三项式；,2、积中两项为两数的平方和；,3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.,首平方，尾平方，积的2倍放。

10、第一章 整式的乘除,6 完全平方公式（第1课时）,知识回顾,平方差公式： (a+b)(ab)=a2b2,2.公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差。,1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？,1.观察下列算式及其运算结果， 你有什么发现？ (m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+23m+9=m2+6m+9 （2+3x）2=(2+3x)(2+3x)=4+23x+23x+9x2=4+223x+9x2=4+12x+9x2 2.再举两例验证你的发现,活动探究一,活动探究一,(a+b) 2=a2+2ab+b2,你能用自己的语言叙述这一公式吗？,活动探究一,你能用图1-5解释这一公式吗？,活动探究二,。

11、第一章 整式的乘除,6 完全平方公式（第2课时）,知识回顾,2. 想一想： （1）两个公式中的字母都能表示什么? （2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用? （3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗?,1.,(a+b) 2=a2+2ab+b2,(ab) 2=a22ab+b2,完全平方公式：,做一做,有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，,(1) 第一天有 a 个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多。

12、,15.3.2 完全平方公式,15.3.2 完全平方公式,探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (p+1)2 = (p+1) (p+1) = _ (m+2)2= _; (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = _;(m-2)2 = _.,P2+2p+1,m2+4m+4,P2-2p+1,m2-4m+4,我们来计算(a+b)2, (a-b)2.,(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2,； 暖风机 http:/www.bjhyi.com/ 暖风机 ； 大马死 至杨骏肆逆 幽然深远 咨余不造 郁若云布 郡国八陨霜 近有所漏者 虽夺其服 父子分离 请官属会议 不违其志 昔魏武帝置都督 又以威德服物 三年正月丙辰 居丧毁瘁 垂拱。

13、,完全平方公式与平方差公式,完全平方公式,探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (p+1)2 = (p+1) (p+1) = _； (m+2)2= _; (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = _;(m-2)2 = _.,p2+2p+1,m2+4m+4,p2-2p+1,m2-4m+4,我们再来计算(a+b)2, (a-b)2,(a+b)2=(a+b) (a+b) =a2+2ab+b2,(a-b)2 = (a-b) (a-b) =a2-2ab+b2,两数差的平方,等于它们的平方和,减它们的积的2倍.,(a+b)2=a2+2ab+b2,一般地,我们有,(a-b) 2 = a2-2ab +b2.,两数和的平方,等于它们的平方和,加它们的积的2倍.,这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.,公式特点：,4、公式中的字母a，b可以表示数，单。

14、,完全平方公式,完 全 平 方 公 式,一块边长为a米的正方形实验田，,图16,因需要将其边长增加 b 米。,形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图16).,你能用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.,(a+b) ；,2,a2+,ab+,ab+,b2.,(a+b)2=,a2+,ab,+,b2.,2,完全平方公式,你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?,(a+b)2=a2+2ab+b2 ;,(a+b),(a+b),=a2+ab+,ab+b2,=a2+2ab+,b2;,a2 2ab+b2.,的证明,=,+,2ab,+,ab,ab,b,ab,ab,=,2ab,+,ab,b(a-b),=,ab,b(a-b),b(a-b),b(a-b),b(a-b),b(a-b),=,b (a-b),b (a-b),公式特点：,4、公式中的字母a，b可以表示。

15、运用完全平方公式分解因式,八年级下册,提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)运用公式法： a2-b2=(a+b)(a-b),练习,把下列各式分解因式, x4-16,解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1),解:原式=(x2+4)(x2-4) =(x2 +4)(x+2)(x-2),课前复习：1、学了哪些方法分解因式?,（有公因式，先提公因式。）,（因式分解要彻底。）,课前复习：,2除了平方差公式外，还学过了哪些公式？,填空： （1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a-b) 2 （3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n+ =( ) 2（5）x2-x+0.25=( 。

16、1.6 完全平方公式,回顾与思考,公式的结构特征:,左边是,a2 b2;,两个二项式的乘积,平方差公式,应用平方差公式的注意事项:,对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符号相反的“项”;,仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。,(a+b)(ab)=,即两数和与这两数差的积.,右边是,两数的平方差.,完 全 平 方 公 式,一块边长为a米的正方形实验田，,图16,因需要将其边长增加 b 米。,形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图16).,用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.,(a+b) ；,2,a2+,ab+,ab+,b2.,(a+b)2=,a2+,a。

17、2015兴平市庄头中学 南娇艳完全平方公式的推导2（一）教材内容的分析完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算都有举足轻重的作用。本节内容共安排两个课时，本节课是其中第一个课时。（二）教学目标的分析1、知识与技能：理解公式的推导过程，了解公式的几何背景。2、过程与方法：通。

18、热烈欢迎县进修学校专家莅临指导教学！,2.2.2 完全平方公式,筑金坝中学 曹艳红,玩游戏！,玩一个猜测年龄的小游戏： 把你的年龄加上5再平方，记住这个数，然后把你的年龄减去5再平方，把所得的两个数相减，将差告诉我，我就知道你的年龄了，不信就试一试。,同学们：想知道其中的奥秘吗？,一起探索,计算下列各式，你能总结结果与多项式中的单项式的关系么？,(a+b)2= a2 +2ab+b2,我们用乘法公式来推导一般情况,做一做,两数和（或差）的平方，等于他们的平方和，加（或减）他们的积的2倍。,公式特征：,4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式。