洛必达法则

1、,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,第三章,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),本节研究:,洛必达法则,洛必达 目录 上页 下页 返回 结束,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 在 x , a 之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x, a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,存在 (或为 ),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1。

2、4.2 洛必达法则,一、未定式,例如 下列极限都是未定式,二、“ ”型未定式的极限,定理41(洛必达法则I),说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效,(LHospital，1661-1704，法国数学家),设函数f(x)与g(x)满足条件,令f(a)g(a)0 于是f(x)及g(x)在点a的某邻域内连续 在该邻域内应用柯西中值定理 有,简要证明,定理41(洛必达法则I) 如果函数f(x)及g(x)满足 (1)当xa时 f(x)0 g(x)0 (2)在点a的某去心邻域内可导 且g(x)0,解,原式,解,例2.,解,验型,解,例3.,例4.,例5.,解：原式 =,存在非零因子,化简,例7.,例8.,因ex1x (x0) 故有exsin x1xsin x (x0)因a。

3、洛必达法则简介：法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； lim0xafli0xag(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，limxaflg那么 = 。 lixaflixafl法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； lim0xfli0xg(2) ，f(x) 和 g(x)在 与 上可导，且 g(x)0； 0A,A,(3) ， 那么 = 。 limxflglixfglixfl法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； limxaflixag(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ， 那么 = 。lixaflglixafglixafl利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重。

4、,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,洛必达法则,第三章,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),本节研究:,洛必达法则,洛必达,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),( 在 x , a 之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x, a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,存在 (或为 ),推论1.,定理 1 中,换为下列过程之一:,推论 2. 若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,定理1,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,洛,洛,例2. 求,解: 原式,思。

5、第三章 微分中值定理与导数的应用第二讲 洛必达法则 泰勒公式目的 1使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；2理解泰勒中值定理的内涵；3 了解 等函数的麦克劳林公式；4学会泰勒中值定理的一些简单应用重点 1运用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；2使学生理解泰勒中值定理的内涵难点 使学生深刻理解泰勒中值定理的精髓一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解而由无穷大与无穷小的关系知，无。

6、第八节 洛必达法则,一、未定式定义,例如,例如,例如,例如,例如,例如,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,二、,证,定义辅助函数,则有,几点说明:,并且可以依次类推,直到求出所要求的极限为止.,例1,解,不是未定式,不能用法则,例2,解,不是未定式,不能用法则,例3,解,思考: 如何求,( n 为正整数) ?,定理2,例4,解,例5,解,不是未定式,不能用法则,例6,解,例6,解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例7,解,例8. 求,解:,原式,例9. 求,解: 。

7、最新 料推荐 第二部分：泰勒展开式 1. ex 1 x x2 x3 xn xn 1 e x , 其中 (0 1) ； 1! 2! 3! n! ( n 1)! 2. ln(1 x) x x2 x3 ( 1)n 1 xn Rn , 其中 Rn ( 1)n xn 1 ( 1 )n 1 ； 2! 3! n! ( n 1)! 1 x 3. sin x x 。

8、洛必达法则完全证明定理 1 ， 存在或为 ，则00lim()li()xxfg0()limxfg00()()lim=lixxffg证明见经典教材。定理 2 ， 存在或为 ，则li()li()xxf0()lixf 00()()lilixxff证明： ， ，由定理 110lim()li()txxtff10lim()li()txxtg。1 12000()()()() ()li=lililili1 t xx txtt tffff fg gg 定理 3 ， 存在或为 ，则00lim()li()xxf0()limxf00()()lim=lixxffg证明： ，由定理 100()()li=lixxfgf0000221()() ()()lim=lilimli)()xxxxf fgxggfff1） 设 存在且不为 0，则0()lixfg，0002()()()limlilimxxxffgf00()&。

9、第二部分：泰勒展开式 1. 其中 ；2311,!()!nx xxe e (01)2. 其中 ；231ln() ,!nR 11()()!nnnx3. ，其中 ；3521si ()!)!knxx 21()cos)!knx4. 其中 ；2421co1()!)!kknR 2()!knx第三部分：新课标高考命题趋势及方法许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法。

10、3.2 洛必达(LHospital)法则,洛必达(1661 1704),法国数学家,出生于贵族，当过军官，因视力不好退役了，他在15岁时就解决了帕斯卡提出的摆线难题 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降线 ” 问题 ,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书。他是莱布尼兹的忠实信徒，他著有无穷小分析, (1696),这是一本较系统的微积分书，并在 该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“ 洛必达法则 ”。,复习柯西中值定理,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导；,在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点 ， 使得,柯西中值定理提供了一种求函数极限的方法。

11、1.(2010 年全国新课标理)设函数 。2()1xfea（1） 若 ，求 的单调区间；0a（2） 若当 时 ，求 的取值范围x()0fa1,22 （2011 年全国新课标理）已知函数，曲线 ()yfx在点 ,()f处的切线方程为30xy。（）求 a、 b的值；（）如果当 x，且 1时， ln()1xkf，求 的取值范围。 （- ，04、2010 大纲全国 2 卷（理科）设函数 1xfe（）证明：当 时， ； -1xf（）设当 时， ，求 a 的取值范围0x5、2008 全国大纲 2 卷（理科）设函数 sin()cof（）求 的单调区间；x（）如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围0 ()fxa6.（2007年高考全国卷I第20题）设函数 .xfe。

12、1,考研数学三经典课件之 洛必达法则,复习,一、罗尔 (Rolle) 定理,二、拉格朗日中值定理,设函数 f(x) 满足条件:,(1)在闭区间 上连续；,(2)在开区间 内可导；,设函数 f(x) 满足条件:,(1)在闭区间 上连续；,(2)在开区间 内可导；,2,微分中值定理,柯西(1789 1857),三、柯西中值定理,3,设函数 f(x) 与 g(x) 满足：,若在拉格朗日定理的几何背景中曲线由参数方程表示,由参数方程的导数公式可推出下述柯西定理。,使得,则至少存在一点,(2)在开区间 (a,b) 内可导,上连续,(1)在闭区间a,b,定理,内,(3)在开区间 (a,b),C,A,B,三、柯西中值定理,4,中值定。

13、信息学院 罗捍东1可能存在也可能不存在，通常称这类的极限为未定式，简记为 。当 时，如果函数 f(x)和 g(x)的极限都为零或都趋于无穷大，则极限例如： ,ta nlim 0 x xx ,si nln si nlnlim 0 bxaxx )00( )()x a x或 ()lim()fxgx00 或其它型的未定式还有： 000 , , 1 , 0 , 第二节 洛必达法则信息学院 罗捍东2定理： 洛必达法则( ) ( )l im l im .( ) ( )x a x af x f xg x g x那 末00 型 未 定 式( 1 ) l i m ( ) l i m ( ) 0 ;x a x af x g x 设 :( 2 ) ( ) , ( ) ( ) 0 ; f x g x a g x在 点 的 某 去 心 邻 域 内 可 导 , 且()( 3 ) l i。

14、如,引 子,4.2 洛比达法则,4.2.1. 4.2.2. 4.2.3.,4.2.1,定理,例,解,例,解,例,解,证,则由条件(1),必有,可补充或改变定义,柯西定理,例,解,例,解,n次,再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,这种在一定条件下,通过分子分母分别求导,法则成立.,例,解,例,解,用洛必达法则注意的事项,只要是,则可一直用下去;,(3) 每用完一次法则, 要将式子整理化简;,(4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用.,(2) 在用法则之前, 式子是否能先化简;,例,解,极限不存在,洛必达法则失效.,用法则求极限有两方面的局限性,当导数比的极限。

15、洛必达法则专题,第二节 洛必达法则,一、未定式二、未定式三、其他未定式,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),在直观上不难理解：两个无穷小量的比等于他们变化速度的比,( 在 x , a 之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x, a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,存在 (或为 ),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,例2. 求,解:,原式,思考: 如何求,( n 为正整数) ?,例3已知 ，。

16、洛必达法则(LHpitals rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。0/0 型不定式极限若函数和满足下列条件：，； 在点的某去心邻域内两者都可导，且；（可为实数，也可为 ） ，则洛必达法则/型不定式极限若函数和满足下列条件：，； 在点的某去心邻域内两者都可导，且；（可为实数，也可为或） ，则洛必达法则其他类型不定式极限不定式极限还有，等类型。经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。(1)型可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。例：求解：原式=(2)型把两个无穷大变形为两个。

17、1,第二节 洛必达法则,复习,一、罗尔 (Rolle) 定理,二、拉格朗日中值定理,设函数 f(x) 满足条件:,(1)在闭区间 上连续；,(2)在开区间 内可导；,设函数 f(x) 满足条件:,(1)在闭区间 上连续；,(2)在开区间 内可导；,2,微分中值定理,柯西(1789 1857),三、柯西中值定理,3,设函数 f(x) 与 g(x) 满足：,若在拉格朗日定理的几何背景中曲线由参数方程表示,由参数方程的导数公式可推出下述柯西定理。,使得,则至少存在一点,(2)在开区间 (a,b) 内可导,上连续,(1)在闭区间a,b,定理,内,(3)在开区间 (a,b),C,A,B,三、柯西中值定理,4,中值定理之间关系,若取。