1、第八节 洛必达法则,一、未定式定义,例如,例如,例如,例如,例如,例如,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,二、,证,定义辅助函数,则有,几点说明:,并且可以依次类推,直到求出所要求的极限为止.,例1,解,不是未定式,不能用法则,例2,解,不是未定式,不能用法则,例3,解,思考: 如何求,( n 为正整数) ?,定理2,例4,解,例5,解,不是未定式,不能用法则,例6,解,例6,解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例7,解,例8. 求,解:,原式,例9. 求,解: (1) n 为正整数
2、的情形.,原式,洛,例9. 求,(2) n 不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,存在正整数 k , 使当 x 1 时,则,例10 求,解: 令,原式,洛,洛,练习,解,应用洛必达法则注意事项:,例11,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：洛必达法则的使用条件,3.应用洛必达法则求极限时,如果出现其乘积因式的极限一求导且不为0,可把此因子提取出,对余下的因式应用洛必达法则.,4. 洛必达法则可连续用,但一定要步步检查(是否为 ),5.计算过程中可与各种求极限的方法结合使用.,步步整理(如约去公因子,提出有确定极限的因子).,三,例1,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,例2,步骤:,分析:,练习.,原式,洛,练习：,步骤:,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,练习1,解,练习2,解,内容小结,洛必达法则,思考与练习,1. 设,是未定式极限 , 如果,是否,的极限也不存在 ? 举例说明 .,极限不存在 ,说明3),原式,分析:,说明3),四、注意,例,解,五、小结,思考题,思考题解答,不一定,例,显然,极限不存在,但,极限存在,练 习 题,练习题答案,补充题,例1,例2,例3,例4,例5,例6,例7,例8,例4,解,例5,解,例6,解,
