1、洛必达法则简介：法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； lim0xafli0xag(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ，limxaflg那么 = 。 lixaflixafl法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； lim0xfli0xg(2) ，f(x) 和 g(x)在 与 上可导，且 g(x)0； 0A,A,(3) ， 那么 = 。 limxflglixfglixfl法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) 及 ； limxaflixag(2)在点 a 的去心邻域内，
2、f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) ， 那么 = 。lixaflglixafglixafl利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的 xa，x换成 x+，x-， ， 洛必达法则也成立。 1 x洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型。 2 010在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，否 3 10则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 4二高考题处理1.(2010 年全国新
3、课标理)设函数 。2()1xfea（1） 若 ，求 的单调区间；0a（2） 若当 时 ，求 的取值范围x()0f原解：（1） 时， ， .1xe()1xfe当 时， ；当 时， .故 在 单调减少，在(,0)x()0fx(,)()0fx()fx,0)单调增加(0,)（II） (12xfea由（I）知 ，当且仅当 时等号成立.故0x，()()fx从而当 ，即 时， ，而 ，120a12 ()fx(0)f于是当 时， .x()fx由 可得 .从而当 时，e1(0)xe12a，()2()()x xxfae故当 时， ，而 ，于是当 时， .0,lnxf(f(0,ln)()0fx综合得 的取值范围为a
4、1,2原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当 时， ，对任意实数 a,均在 ；0x()0fx()0fx当 时， 等价于()f21xae令 (x0),则 ，令 ，21xge32()xg20xhxe则 ， ，xh0xhe知 在 上为增函数， ；知 在 上为增函数，0,hhx0,； ，g(x)在 上为增函数。xgx,由洛必达法则知， ，2000112limlixxxee故 12a综上，知 a 的取值范围为 。1,22 （2011 年全国新课标理）已知函数，曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程为 230xy。（）求 a、 b的值；（）如果当 0x，且 1时，
5、 ln()1kfx，求 的取值范围。原解：（） 22(l)bfxx由于直线 230xy的斜率为 1，且过点 (,)，故(1),2f即1,2ba解得 1a， b。（）由（）知 lnf()1x，所以 22l (1)lnkkxfx。考虑函数 ()2lnhx(1(0)，则2()1 xh。（i）设 0k，由2()kx知，当 1x时， ()0x，h（x）递减。而(1)h故当 (,1x时， ()0h，可得 2()h；当 x （1，+ ）时，h（x） 0从而当 x0,且 x1 时，f（x ）- （ ln+ k）0，即 f（ x） 1ln+ xk.（ii）设 00,故 h （x）0, 而 h（1）=0，故当 x（1， k）时， h（x）0，可得 21xh（x）0,而 h（1）=0，故当x（ 1，+ ）时，h（x）0 ，可得 21x h（x） =0hx, h1在 上为增函数 =0h当 (0,1)x时， ，当 x（1，+ ）时，0h0x当 时， ，当 x （1，+ ）时，g g在 上为减函数，在 上为增函数gx,由洛必达法则知2111lnln120limiimxxxg0k，即 k 的取值范围为（- ，0规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。
