1、4.2 洛必达法则,一、未定式,例如 下列极限都是未定式,二、“ ”型未定式的极限,定理41(洛必达法则I),说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效,(LHospital，1661-1704，法国数学家),设函数f(x)与g(x)满足条件,令f(a)g(a)0 于是f(x)及g(x)在点a的某邻域内连续 在该邻域内应用柯西中值定理 有,简要证明,定理41(洛必达法则I) 如果函数f(x)及g(x)满足 (1)当xa时 f(x)0 g(x)0 (2)在点a的某去心邻域内可导 且g(x)0,解,原式,解,例2.,解,验型,解,例3.,例4.,例5.,解：原式 =,存在非零因子,化简,例7.
2、,例8.,因ex1x (x0) 故有exsin x1xsin x (x0)因arcsin xx (x0) 故有arcsin x3x3 (x0),例9.,注：,洛必达法则是求解未定式极限的有效方法, 但是要结合各种方法，以求最捷方式.,1）等价无穷小替换法,2）将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必达法则的运算.,3）过程中注意化简.,2. 只要满足条件，可多次使用洛必达法则.,但每次使用前都必须检验极限类型是否为 型.,定理42(洛必达法则II) 设函数f(x)与g(x)满足,说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效,三、“ ”型未定式的极限,解,例10.,例11.,例12.,结论：,都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即有：,极限不存在,出现循环,四、洛必达法则失效的情况,注：,使用洛必达法则时,若 不存在，也不为，这不能说明原极限不存在，此时洛必达法则“失效”，应改用其它方法计算.,五、其他类型未定式的极限,对于未定式0、00、1、0 都可以转化为,例13.,解,例14.,解,因为,例15.,解,因为,例16.,例17.,洛必达法则,通分,有理化,小 结,例18.,练 习,
