1、洛必达法则专题,第二节 洛必达法则,一、未定式二、未定式三、其他未定式,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),在直观上不难理解：两个无穷小量的比等于他们变化速度的比,( 在 x , a 之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x, a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,存在 (或为 ),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,例2. 求,解:,原式,思考: 如何求,( n 为正整数) ?,
2、例3已知 ，求极限,解：因为,所以,故,诺必达法则的使用并不是万能的，使用诺必达法则之前必须检验是否符合诺必达法则的条件。,本题虽然满足未定式的形式但是却不能用诺必达法则去做，下面的方法求解是错误的：,本题的已知条件 得不出,这个等号是不成立得,二、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,证:,仅就极限,存在的情形加以证明 .,(洛必达法则),1),的情形,从而,2),的情形.,取常数,可用 1) 中结论,3),时, 结论仍然成立. ( 证明略 ),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例4. 求,解: 原
3、式,解: 原式,例4求,解:,利用 例5,例5求,很多题目如果将诺必达法则同等价无穷小两种方法结合使用，往往会使得运算更加的简单,解:,注意到,原式,例6求,分析:,原式,例7求,分析: 为用洛必达法则 , 必须改求,法1 用洛必达法则,但对本题用此法计算很繁 !,法2,原式,函数极限和数列极限求解可以互相转化,例8,内容小结,洛必达法则,问1 设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ?,举例说明 .,极限,诺必达法则不是万能得，有时候我们还会碰到某些特殊的情形。,例求,解：,不存在，所以不能用诺必达法则求极限,事实上,解：,两次运用诺必达法则后，又回到原来的问题，诺必达法则失效了，事实上。,洛必达(1661 1704),法国数学家,他著有无穷小分析,(1696),并在该书中提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“ 洛必达法,的摆线难题 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,线 ” 问题 ,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆,锥曲线的书 .,则 ”.,他在15岁时就解决了帕斯卡提出,求下列极限 :,解:,解:,原式 =,
