1、1,第二节 洛必达法则,复习,一、罗尔 (Rolle) 定理,二、拉格朗日中值定理,设函数 f(x) 满足条件:,(1)在闭区间 上连续；,(2)在开区间 内可导；,设函数 f(x) 满足条件:,(1)在闭区间 上连续；,(2)在开区间 内可导；,2,微分中值定理,柯西(1789 1857),三、柯西中值定理,3,设函数 f(x) 与 g(x) 满足：,若在拉格朗日定理的几何背景中曲线由参数方程表示,由参数方程的导数公式可推出下述柯西定理。,使得,则至少存在一点,(2)在开区间 (a,b) 内可导,上连续,(1)在闭区间a,b,定理,内,(3)在开区间 (a,b),C,A,B,三、柯西中值定理
2、,4,中值定理之间关系,若取 g(x)= x,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,因此拉格朗日定理可以看成是罗尔定理的推广。,定理。,则得到罗尔,在拉格朗日定理中, 若取 f(a)= f,(b),因此，柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推广。,则得到拉格朗日定理。,在柯西定理中,微分中值定理建立了函数在一个区间上的增量(整体 性)与该区间内某点处的导数(局部性)之间的关系,搭建了 导数与函数增量之间的桥梁,使导数成为研究函数性态 的工具.,g(x)= x,f(a)= f,(b),重点,5,6,第二节 洛必达法则,确定未定式的极限是求极限的主要类型,由无穷小的商和无穷大的商形成的,法国数学家洛必达给
3、出了解决这些未定式极限的最有力工具,未定式主要有：,常见的,在同一极限过程下,由无穷小与无穷大之间的幂形成的,由无穷大与无穷大的差形成的,由无穷小与无穷大的积形成的,型未定式；,型未定式；,型未定式；,型未定式.,如何来求解这些未定式的极限？,第二节 洛必达法则,洛必达法则.,7,若f (x)和g(x)满足下列条件：,则,定理(洛比达法则),8,则,若f (x)和g(x)满足下列条件：,定理(洛比达法则),第二节 洛必达法则,9,对于其它极限形式,(1)对于求 未定型极限的洛比达法则,(2)在使用洛比达法则求极限时,说明:,不仅适用于极限过程,未定型,若法则使用后仍为,未定型是使用法则求极限的
4、前提.,判别是否为,则法则可以重复使用.,法则同样适用.,第二节 洛必达法则,10,解,解,例2 求极限,第二节 洛必达法则,例1,注意：,在多次使用洛必达法则时，一定要注意验证是否满足条件,11,例3,解,例4,解,极限为 未定型,由洛必达法则有,第二节 洛必达法则,12,解,（等价代换化简）,（洛必达法则）,先用无穷小等价代换化简，再用洛必达法则得,例5 求极限,第二节 洛必达法则,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,13,应单独求,例6：,为 型, 由洛必达法则有,解,说明：若 型或 型极限中含有非零因子,可以简化极限运算.,极限而不要参与洛
5、必达法则运算,第二节 洛必达法则,14,使用洛比达法则应注意的问题：,2.使用中要注意化简，以及将极限存在的因式进行必要的分离.,3.使用中要注意与重要极限、无穷小等价代换等其他求极限方法结合使用.,1.使用前必须判别是否为 未定式.,第二节 洛必达法则,15,由洛必达法则得,由等价无穷小代换, 得,例7,解,因为,也可由等价代换求此极限,第二节 洛必达法则,16,二、其它未定式的极限,为型 未定型.,若 ,对于 型可将其化为 型或 型未定型.,则,第二节 洛必达法则,17,例8,解,二、其它未定式的极限,18,步骤:,例9,例9,解,步骤:,二、其它未定式的极限,19,二、其它未定式的极限,
6、20,例10,所求极限为 型未定式，,解,因为,所以,解法二,二、其它未定式的极限,21,例11:,解：,求极限,二、其它未定式的极限,22,使用洛必达法则求极限时,应注意:,但(1)不存在, 并不能断定极限(2)也不存在。,洛必达法则并非总有效,应改用其他方法,此时，,(充分而非必要),讨论。,只能说明该法则失效。,第二节 洛必达法则,23,例 证明 存在但不能用洛必达法则求解.,解,所以，所给极限存在,该极限不存在.,因为,但由洛必达法则,因此，所给极限不能用洛必达法则求。,第二节 洛必达法则,24,解,失效,解法二,例,第二节 洛必达法则,25,小结,型未定式,型未定式,型未定式,型未定式,一、基本类型：,二、非基本类型：,洛必达法则,第二节 洛必达法则,26,第二节 洛必达法则,27,1、利用极限的四则运算法则,2、利用两个重要极限,3、利用无穷大与无穷小的关系及无穷小的性质,4、利用,6、利用函数的连续性,7、利用洛必达法则,5、利用无穷小等价代换原理,8、利用导数定义,求函数极限的方法,28,作业讲评:,解:,05:08:26,29,解:,解:,或,05:08:26,30,解:,或:,05:08:26,31,解:,05:08:26,32,例,所求极限为 型未定式，,所以,解,因为,05:08:26,33,
