1、2018 届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考数学（文）试题（解析版）一、填空题：本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 _【答案】1【解析】由题意得 ,验证满足点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑 是否
2、成立，以防漏解.2. 设复数满足 （为虚数单位） ，则 _【答案】【解析】 , , 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边过点 ，则 _【答案】【解析】由题意得 ，所以4. 已知 的三边长成公比为 的等比数列，则 最大的余弦值为_【答案】【解析】由题设三边长分别为:a, ,2a,且 2a 为最大边,所对的角为 ,由余弦定理得:5. 设 是定义在 上的周期为 2 的函数，当 时， 则_【答案】1【解析】周期为 2, 6. 设 为等比数列 的前 项和， ，则 _【答案】-11【解析】试题分析：通过 ，设公比为 ，将该式转化为 ，解得 ，代入所求式可知答案 考点：等比数列的前 n
3、 项和7. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式组 的解集用区间表示为_【答案】【解析】由 是定义在 上的奇函数，当 时， 解得8. 函数 ,( , , 是常数， ， )的部分图象如图所示，则 _【答案】【解析】由的图象可得函数的周期 T 满足= , 解得 T=又0，故 =2又函数图象的最低点为( , )故 A=且 sin(2 +)=即 +=故 =f(x)= sin(2x+ )f(0)= sin =故答案为：9. 已知函数 在区间 （ ）上存在零点，则 _【答案】5【解析】函数 是连续的单调增函数, , , 所以函数的零点在 之间,所以 n=510. 区域 是由直线 、 轴和曲线
4、在点 处的切线所围成的封闭区域，若点 区域 内，则 的最大值为 _【答案】2【解析】由题意知，f(x)在（1，0）处的切线方程为 y=x-1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z=x-2y 的最优解（0，-1） ，即 z 的最大值为 2.11. 如图，在 中， ， ， ，则 的值为_【答案】-2【解析】试题分析：考点：向量数量积12. 已知等差数列 的首项为，公差为-4，其前 项和为 ，若存在 ，使得 ，则实数的最小值为_【答案】15【解析】试题分析：由题意得 ，即 ，当且仅当 时取等号，因为 ，又 ，所以实数的最小值为考点：等差数列求和，不等式求最值13. 已知函数 （ ）与 ，若函数
5、图像上存在点 与函数 图像上的点关于 轴对称，则的取值范围是_【答案】【解析】设点 在函数 上，由题意可知，点 P 关于 y 轴的对称点 在函数 上，所以 ，消 ，可得 ，即 ，所以令 ， ，问题转化为函数 与函数 在 时有交点。在平面直角坐标系中，分别作出函数 与函数 的图象，如图所示，当 过点 时，解得 。由图可知，当 时，函数 与函数 在 时有交点 .14. 在 中，角 ， ， 的对边分别为， ， ，若 ， ，则 的最小值是_【答案】【解析】 ， ， 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：
6、全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值.二、解答题 （15-17 题，每题 14 分，18-20 题，每题 16 分.） 15. 已知向量 ， .（1）若 ，求 的值；（2）若 ， ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由 易得 ，代入式子 中求值；（2）先求出 ，再对两边平方化简可得关于 和 的关系式，联立正弦余弦的平方关系解方程组可得 和 的值，代入 的展开式，就可求出其值.试题解析：（1）由 可知， ，所以 ，所以 .（2）由 可得，即 ，又 ，且 ，由可解得， ，所以 .16. 如图，四棱锥 的底面
7、是正方形， 底面 ， ，点 ， 分别为棱 ，的中点。（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】试题分析：(1)由题意做出辅助线，结合几何关系可证得 .结合线面平行的判断定理可证得 平面.(2)由题意可证得 平面 .结合面面垂直的判断定理可证得平面 平面 .试题解析：（1）如图，取 的中点 ，连接 ， ，所以 为 的中位线，所以 ， .因为四边形 为矩形， 为 的中点，所以 ， ，所以 ， ，所以四边形是平行四边形，所以 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）因为 底面 ，所以 ， .又 ， ，所以 平面 ，又平面 ，所以 .在 中，
8、 ，所以 为等腰直角三角形，所以 ，又 是 的中点，所以 .又 ，故 ，又 ，所以 平面 .又 平面 ，所以平面 平面 .点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键17. 如图所示，扇形 ，圆心角 的大小等于 ，半径为 2，在半径 上有一动点 ，过点 作平行于的直线交弧 于点 .（1）若 是半径 的中点，求线段 的大小；（2）设 ，求 面积的最大值及此时的值. 【答案】 （1） ；（ 2） 时， 取得最大
9、值为【解析】试题分析：（1）由 得出 ，在 中，利用余弦定理计算 长度；（2）要求 面积的最大值，需要将面积表示为的函数再求最值，显然可以用正弦的面积公式，注意到已知，故不妨用 ，接下来分别把 表示成的函数，在 中利用正弦定理 得 ，同理，利用正弦定理 ，得，故 的面积 ，运用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式将 化为同角三角函数，得 ，注意的范围是 ，可得 时取最大值 1，此时 取最大值 .试题解析：(1)在 中， , ，由； 5 分（2） 平行于 ，在 中，由正弦定理得 ，即 ，又 , . 8 分记 的面积为 ，则= ， 10 分当 时， 取得最大值 . 12 分考点：1、三角恒等变
10、换；2、三角函数的基本运算；3、正、余弦定理.18. 已知椭圆 （ ）的离心率为 ，且过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）过点 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 ， 两点.求证：直线 恒过定点 .【答案】 （1） （2）证明见解析；【解析】(1)解：由题意知：e ，b1，a 2c 21，解得 a2，所以椭圆的标准方程为 y 21.(2)证明：设直线 AM 的方程为 ykx1(k0)，由方程组 得(4k 21)x 28kx0，解得 x1，x 20，所以 xM ，y M .用 代替上面的 k，可得 xN ，y N .因为 kMP，k NP ，所以 kMPk NP，因为 MP、NP 共点于 P，所
11、以M、N、P 三点共线，故直线 MN 恒过定点 P .19. 对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“ 类函数”.（1）已知函数 ，试判断 是否为“ 类函数”？并说明理由；（2）设 是定义在 上的“ 类函数” ，求是实数 的最小值；（3）若 为其定义域上的“ 类函数” ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） 是“ 类函数” ；（2） ；（3）【解析】试题分析：(1) 由 ，得 整理可得 满足(2) 由题存在实数 满足 ，即方程 在 上有解.令 分离参数可得 ，设 求值域，可得取最小值(3) 由题即存在实数 ，满足 ，分 ， ， 三种情况讨论可得实数 m 的取值范围.试题解析：（1
12、）由 ，得：所以所以存在 满足所以函数 是“ 类函数” ，（2）因为 是定义在 上的“ 类函数” ，所以存在实数 满足 ，即方程 在 上有解.令则 ，因为 在 上递增，在 上递减所以当 或 时， 取最小值（3）由 对 恒成立，得因为若 为其定义域上的“ 类函数”所以存在实数 ，满足当 时， ，所以 ，所以因为函数 （ ）是增函数，所以当 时， ，所以 ，矛盾当 时， ，所以 ，所以因为函数 是减函数，所以综上所述，实数 的取值范围是点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
