1、2018 届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考数学(文)一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 1,2Am,集合 2,Bm,若 A,则实数 m 2.设复数 z满足 ()izi( 为虚数单位) ,则 z 3.已知角 的顶点与原点重合,始边与 x轴的正半轴重合,终边过点 (1,2),则 tan 4.已知 ABC的三边长成公比为 2的等比数列,则 ABC最大的余弦值为 5.设 ()fx是定义在 R上的周期为 2 的函数,当 1,)x时,24,10,(),0xf则 3()2f 6.设 nS为等比数列 na的前
2、项和, 2580a,则 52S 7.已知 ()fx是定义在 R上的奇函数,当 x时, ()4fx,则不等式组 0()xf的解集用区间表示为 8.函数 ()sin()fxAx,( A,w, 是常数, 0A, )的部分图象如图所示,则 (0)f 9.已知函数 3()lg92fxx在区间 (,1)n( Z)上存在零点,则 n 10.区域 D是由直线 1y、 轴和曲线 lyx在点 (,0)处的切线所围成的封闭区域,若点(,)xy区域 内,则 zx的最大值为 11.如图,在 ABC中, 3, 1cos3BAC, 2DB,则 AC的值为 12.已知等差数列 na的首项为 ,公差为-4,其前 n项和为 nS
3、,若存在 *mN,使得 36mS,则实数a的最小值为 13.已知函数 21()xfe( 0)与 2()l()gxxa,若函数 ()fx图像上存在点 P与函数()gx图像上的点 Q关于 y轴对称,则 a的取值范围是 14.在 ABC中,角 , , C的对边分别为 , b, c,若 224abc, 4ab,则2sinta的最小值是 二、解答题 (15-17 题,每题 14 分,18-20 题,每题 16 分.) 15.已知向量 (cos,in), (2,1)b.(1)若 ab,求 i的值;(2)若 |=2, (0,),求 si()4的值.16.如图,四棱锥 PABCD的底面是正方形, PA底面 B
4、CD, 2PA45,点 E, F分别为棱 , 的中点。(1)求证: AE平面 PC;(2)求证:平面 平面 D17. 如图所示,扇形 OB,圆心角 A的大小等于 3,半径为 2,在半径 OA上有一动点 C,过点C作平行于 的直线交弧 于点 P.(1)若 是半径 A的中点,求线段 C的大小;(2)设 P,求 面积的最大值及此时 的值. 18. 已知椭圆21xyab( 0a)的离心率为 32,且过点 (0,1)A.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点 A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 M, N两点.求证:直线 MN恒过定点 3(0,)5P.19. 对于函数 ()fx,若在定义域内存在实数 0x,满
5、足 00()()fxf,则称 ()fx为“ M类函数”.(1)已知函数 sin()3,试判断 ()f是否为“ 类函数”?并说明理由;(2)设 ()2xfm是定义在 1,上的“ M类函数” ,求是实数 m的最小值;(3)若2log()3xf2,为其定义域上的“ 类函数” ,求实数 的取值范围.20. 已知数列 na,其前 项和为 nS.(1)若对任意的 *N, 21, a, 2n组成公差为 4 的等差数列,且 1a,求 2nS;(2)若数列 nSa是公比为 q( )的等比数列, a为常数,求证:数列 n为等比数列的充要条件为 1.试卷答案一、填空题1.1 2.i3. 434. 245.1 6.-
6、11 7.(5,0)8. 629.5 10.2 11.-2 12.1513.(,)e 14. 24三、解答题15.解:(1)由 ab可知, 2cosin0A,所以 sin2cos,所以 sinco2sin13.(2)由 (,i)可得,222|cos)sn164cosinab,即 1i0,又 22cosin1,且 (,)2,由可解得,3si54co,所以 3472sin()(sinco)()422510.16.解:(1)如图,取 PC的中点 G,连接 F, E,所以 FG为 CDPA的中位线,所以 FGCDA,2FGD.因为四边形 AB为矩形, E为 AB的中点,所以 A, 12,所以 E,E,
7、所以四边形 GF是平行四边形,所以 EG.又 G平面 PC, 平面 PC,所以 F平面 PC.(2)因为 PA底面 BCD,所以 PA, CD.又 A, PAD,所以CD平面 ,又 F平面 ,所以 F.在 RtPAD中, 45,所以 为等腰直角三角形,所以 2PAD,又 F是 P的中点,所以 PDAF.又 FEG,故 C, EG又 P,所以 平面 C.17.解(1)在 OA中, 23P, O, 1由 22cosCA得 230P,解得 12(2) OBA, 3POB,在 POCA中,由正弦定理得 sinsiC,即 2sini 4sin3,又 2i()sin3OCP 4i()3C.解法一:记 PO
8、A的面积为 ()S,则 12()sin3CPOA143sini223 241i()sin(cosin)2sicosin3 3A323sin2cos(i)6 6时, ()S取得最大值为 3.解法二:241cos32OCPA即 2,又 3COPCA,即 34OPCA当且仅当 时等号成立.所以 12143sin32SCPOA OCP 6时, ()S取得最大值为 3.18.(1)解:由题意知, 2cea, 1b,所以 21ac,解得 2a,所以椭圆的标准方程为24xy.(2)证明设直线 1l的方程为 1kx,联立方程组 21,4ykx得 2(4)80kxk,解得 1284k, 20x,所以 2841M
9、kx,241Mky.同理可得 24Nk,2Ny,则2143585MPkk,222381554NPkk,所以 MPNk,故直线 恒过定点 3(0,)P. 19.解:(1)由 ()(fxf,得: sin()sin()33xx所以 3cos0所以存在 2xR满足 00()()fxf所以函数 ()sin3f是“ M类函数” ,(2)因为 xm是定义在 1,上的“ 类函数” ,所以存在实数 01,满足 00()()fxf,即方程 2x在 ,上有解.令 ,t则 1()2mt,因为 1()2gtt在 ,1上递增,在 1,2上递减所以当 或 时, m取最小值 54(3)由 20x对 x恒成立,得 因为若2lo
10、g()()3xmf,2为其定义域上的“ M类函数”所以存在实数 0,满足 00()()ffx当 02x时, 02x,所以 203log)mx,所以 0142x因为函数 14y( )是增函数,所以 1当 02x时, 02x,所以 3,矛盾当 0时, 0,所以 20log()mx,所以 042x因为函数 142yx()是减函数,所以 1综上所述,实数 m的取值范围是 1,20.解:(1)因为 21na, , 2na成公差为 4 的等差数列,所以 24n, 18( *N) ,所以 1, 3, 5, 2n, 是公差为 4 的等差数列,且24613521naaa ,又因为 1,所以 2()8nS2()846(3n(2)因为 1()nnaq,所以 1)nnnSaqa,所以 +1+1nnnS,-,得 1()()naqaqa,(i)充分性:因为 ,所以 0, , q,代入式,得1()()nnq,因为 1,又 ,所以 na, *N,所以 na为等比数列,(ii)必要性:设 n的公比为 0q,则由得 10(1)()nnaqaq,整理得 001(1)()naqaq,此式为关于 n的恒等式,若 ,则左边=0,右边=-1,矛盾:若 1q,当且仅当0(1)()aq,时成立,所以 1qa.由(i) 、 (ii)可知,数列 na为等比数列的充要条件 .