恒成立问题与有解问题的区别

1、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题二 压轴填空题第 二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例 1 【山西省太原市 2019 届高三上学期阶段性（期中)考试】已知函数 = ，若对于()2+1任意实数 ，不等式 。

2、11|)5(4|031)2(,|1xaxa当当当当当含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 项的系数 的符号分类，即 ;2xa0,a例 1 解不等式： 012x分析：本题二次项系数含有参数， ，故只需对二次项422a系数进行分类讨论。解： 0422a解得方程 两根1x ,241axax242当 时,解集为0a a2| 或当 时，不等式为 ,解集为01x21|x当 时, 解集为0a aa424| 2例 2 解不等式 0652x分析 因为 ， ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。0a解 32)(2xa当 时，解集为 ；当 时，解集为|或 0a32|x变式：解关于 的不等式x1、 ； 3、 ax2( a1) 。

3、 专题二 压轴填空题 第三关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题 【名师综述】 含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 类型一 可转化为二次函数的恒成立问。

4、问题 04 函数中的存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1) 设 )0()(2acbxxf ,（1） Rxf在0)(上恒。

5、1解决数列中不等式恒成立问题的两个基本策略不等式恒成立问题是考生较难理解和掌握的一个难点，以数列为载体的不等式恒成立问题的档次更高，综合性更强，是高考数学命题的热点和难点.数列是特殊的函数，因此研究函数中不等式恒成立问题的方法可以应用到数列中不等式恒成立问题中来，这体现了一般与特殊的数学思想方法.函数中不等式恒成立问题的解题策略有两个：策略一：不等式恒成立问题就从不等式角度解决， (,)0fxa等价于区间 是 的解集的子集.又因为函数、()a为 参 数 x在 ,mn恒 成 立 m,n(,)0fxa()为 参 数方程、不等式三者密不可分，。

6、12.2 函数中的存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1) 设 )0()(2acbxxf ,（1） Rxf在0)(上恒成。

7、青藤教育：为你倾注我心 郭金专用1二次求导的应用15.【2012 高考福建理 20】 （本小题满分 14 分）已知函数 f（x）=e xax 2-ex，aR. （）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线平行于 x 轴，求函数 f（x）的单调区间；（）试确定 a 的取值范围，使得曲线 y=f（x）上存在唯一的点 P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P. 【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.解答：（） 2。

8、1专题 05 导数压轴题的零点及恒成立、有解问题1（ 2018 新课标全国文科） 已知函数 3211fxax（1）若 3a，求 ()fx的单调区间；（2）证明： 只有一个零点【解析】（1）当 a=3 时， f（ x）=3213x， f （ x）= 263令 f （ x）=0 解得 x=32或 x= 当 x（， ）（ 3，+）时， f （ x）0；当 x（ 32， ）时， f （ x）0故 f（ x）在（， 32），（ 32，+）单调递增，在（ 32， 3）单调递减2（2017 新课标全国文科）设函数2()1)exfx.（1）讨论 ()fx的单调性；（2）当 0时， fax，求 的取值范围.【解析】 （1）2()1)ex. 令 ()fx得 +， .当 ,2)时， ()。

9、1专题 05 导数压轴题的零点及恒成立、有解问题1（2018 新课标全国理科）已知函数2()exfa（1）若 a，证明：当 0x时， 1；（2）若 ()fx在 ,)只有一个零点，求 【解析】（1）当 1时， (f等价于2()e10x设函数2()exgx，则2)()exgx当 时， 0，所以 (在 0,单调递减而 (0)，故当 x时， )x，即 ()1fx若 (2)0h，即2e4a， ()hx在 0,)没有零点；若 ()，即2， ()在 ,)只有一个零点；2若 (2)0h，即2e4a，由于 (0)1h，所以 ()hx在 0,2有一个零点，由（1）知，当 x时， 2ex，所以33342461610e()()aaa故 ()h在 2,4)a有一个零点，因此 ()h在 0,)有两个零点综。

10、用导数研究函数的恒成立与存在问题1已知函数 ，其中 为常数23()lnxfxaa（1）若 ，求函数 的单调区间； （2）若函数 在区间 上为单调函数，求 的取值范围()f ()fx1,2a2已知函数 ， ()fx是 的导函数。32()4(fxaRf（1）当 时，对于任意的 ， ，求 的最小值；a1,m,1n()mfn（2）若存在 0(,)x，使 0()fx0，求 的取值范围。a3已知函数 xaxfln)( )(R.（1 ）若 2，求曲线 fy在点 1处的切线方程； （2 ）求 )(xf的单调区间；（3 ）设 )(xg，若对任意 (0,)x，均存在 1,0x，使得 )(21g，求实数 a的取值范围. 4 （ 2016 届惠州二模）已知函数 2lnfxx（。

11、1函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结：1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法1、分离讨论思想：例题 1： 讨论下列函数单调性：1、 = 2、 =xf;1,0,aaxf )0,1(2bxb2、判别法例 2：已知不等式 对于 恒成立，求参数 的取值范04)2()(2xaxxa围解：要使 对于 恒成立，则只须满足：)()(2a（1） 或 （2）0)(16)(402 04)2(a解（1）得 ，解（2） 参数 的取值范围是a a练习 1. 已知函数 的定义域为 R，求实数 的取值范围。)1(lg22axy a三、分离法参数：分离参数法是求参数的取值。

12、任意性、存在性学案 1导数背景下的恒成立与存在性问题“恒成立”问题与“存在性”问题是高中数学中的常见问题，它不仅考查了函数、不等式等传统知识和方法，而且导数的加入更是极大的丰富了该类问题的表现形式，充分体现了能力立意的原则，越来越受到命题者的青睐，成为高中数学的一个热点问题。本文仅从以下九方面总结一下有关这类问题的不同的表现形式及解决方法，希望能对大家高考复习起到一定的帮助作用。一、 若对 ， 恒成立，则只需 即可；x)(xfamax)(f若对 ， 恒成立，则只需 即可；in例 1. 已知函数 ，若以其图象上任意一点 为切。

13、 的 范 围的 范 围 含 于， 使 得， 总 存 在对 任 意 的 范 围 的 交 集 不 是 空 集范 围 与成 立， 使 得若 存 在 有 交 点在与值 域上 有 解在 区 间若 、 定 量 问 题 ， 使 得， 总 存 在若 存 在 ， 使 得， 总 存 在若 存 在 ， 使 得，若 任 意 的 ， 使 得，若 任 意 的 ， 使 得， 对 于 任 意 的若 存 在 ， 使 得， 对 于 任 意 的若 存 在 ， 使 得， 总 存 在对 任 意 的 ， 使 得， 总 存 在对 任 意 的 恒 成 立， 不 等 式对 任 意 的 恒 成 立， 不 等 式对 任 意 的、 双 变 量 不 等 式 问 题 上 无 解在 区 间不 等。

14、【例 1】 关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是 x211xa a_ 【例 2】 若不等式 对一切非零实数 均成立，则实数 的最大值是ax x_【例 3】 设函数 ，对任意 ，2()1f23x恒成立，则实数 的取值范围是 4()4()xfmfxffm m【例 4】 若不等式 的解集为 ，则 的范围是（ ）20axRaA B C D018180a【例 5】 已知不等式 对于一切大于 的自然数2log223ann 1都成立，试求实数 的取值范围.a【例 6】 若不等式 对 恒成立，则 的取值范围是2()()40xxxRa_【例 7】 在 上恒满足 ，则 的取值范围是（ ）2()1fxaR()fA B C D0 4a40a40a【例 8】 若对于 。

15、第 1 页“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化： 恒成立 ；afxmaxfminfafx恒 成 立2、能成立问题的转化： 能成立 ；in a能 成 立3、恰成立问题的转化： 在 M 上恰成立 的解集为 MffRafxC在 上 恒 成 立在 上 恒 成 立另一转化方法：若 在 D 上恰成立，等价于 在 D 上的最小值 ，Axf)(, )(xf Axf)(min若 在 D 上恰成立，则等价于 在 D 上的最大值 .,Bf)( )(xf Bf)(max4、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则xfgba,1dc,2。

16、1“恒成立问题”的解法常用方法： 函数性 质法； 主参换位法； 分离参数法； 数形结合法。一、函数性质法1.一次函数型：给定一次函数 ,若 在m,n内恒有 ，则根据函数的()(0)fxab()yfx()0fx图象（直线）可得上述结论等价于 ；同理，若在 m,n内恒有 ，则有 .)(nfmf)(nfm例 1.对满足 的所有实数 ,求使不等式 恒成立的 的取值范围。2pp21xpxx略解：不等式即为 ,设 ,则 在 上恒大2(1)10x2()1f()fp2,于 0，故有： ，即 .)(f342x3x或或 3x或2.二次函数：.若二次函数 （或 ）在 R 上恒成立，则有 （或 ）；2()(0)fxabc0a.若二次函数 （或 ）在指定。

17、【例 1】 关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是 x211xa a_ 【例 2】 若不等式 对一切非零实数 均成立，则实数 的最大值是12xa xa_【例 3】 设函数 ，对任意 ，2()1fx23x恒成立，则实数 的取值范围是 4()4()fmfffm m【例 4】 若不等式 的解集为 ，则 的范围是（ ）20axRaA B C D018180a【例 5】 已知不等式 对于一切大于 的自然数2log12123ann 1都成立，试求实数 的取值范围.a【例 6】 若不等式 对 恒成立，则 的取值范围是2()()40xxxRa_【例 7】 在 上恒满足 ，则 的取值范围是（ ）2()1fxaR()0fxaA B C D0 4a440a【例 8】 若。

18、-函数恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化： 恒成立 ；afxmaxfminfafx恒 成 立2、能成立问题的转化： 能成立 ；in a能 成 立3、恰成立问题的转化： 在 M 上恰成立 的解集为 Mff RfxC在 上 恒 成 立在 上 恒 成 立另一转化方法：若 在 D 上恰成立，等价于 在 D 上的最小值 ，若Ax)(, )(xAf)(min,Dx在 D 上恰成立，则等价于 在 D 上的最大值 .Bxf)( )(f Bfma4、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则fgba,1dc,221xgfgfminin5、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则xf x,1x,2 21fxfaax6、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 。

19、 数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上AxfDDminfxA若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上B aB常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题 1.若关于 x的不等式 20ax在 R上恒成立,求实数 a的取值范围.解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当 0a时,不等式 解集不为 ,故 0不满足题意;当 时,要使原不等式解集为 ,只需 24a,解得 12综上,所求实数 的取值范围为 1(,)2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题 。

20、1恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。1、恒成立问题1.1 恒成立问题与一次函数联系给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a 0),若 y=f(x)在m,n内恒有 f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于） 或） 亦可合并定成0)(mfa0)(nfa0)(nfm同理，若在m,n内恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值。