1、1解决数列中不等式恒成立问题的两个基本策略不等式恒成立问题是考生较难理解和掌握的一个难点，以数列为载体的不等式恒成立问题的档次更高，综合性更强，是高考数学命题的热点和难点.数列是特殊的函数，因此研究函数中不等式恒成立问题的方法可以应用到数列中不等式恒成立问题中来，这体现了一般与特殊的数学思想方法.函数中不等式恒成立问题的解题策略有两个：策略一：不等式恒成立问题就从不等式角度解决， (,)0fxa等价于区间 是 的解集的子集.又因为函数、()a为 参 数 x在 ,mn恒 成 立 m,n(,)0fxa()为 参 数方程、不等式三者密不可分，函数问题可以转化为方程问题或不等式问题来解决，我们也可以将
2、方程、不等式的两边都看成函数，因此方程问题、不等式问题可以转化为函数问题来解决，这其中体现了函数思想、转化与化归思想，具体解决思路如下图所示：（全称命题） 正难则反 (特称命题)含参数的不等式恒成立问题 存在性命题集合观点 函数思想（等价转化）最值法 数形结合注：用函数思想解决含参的不等式恒成立问题，关键在于通过灵活转化，构造合理的函数（由于等价转化的方式不同，构造出的函数也不同，因此导致解题难度和解题长度也就不同）；避免分类讨论的方法是分离参数法（由于参数与变量是相对而言，因此该法也可称为分离变量法）.策略二：善于运用合情推理： “先猜后证，特值引路” ，即通过特值猜想求出使问题成立的必要条
3、件，在证明其具有充分性.这种方法在最近几年的高考试卷多次出现，随着新课改的深入，高考对猜想能力的考查将日趋加深.如 2008 年全国卷文 21 题就考查这一思想方法：例 1.（2008 年全国卷文 21）设 ，函数 aR32()fxa（）略（）若函数 ，在 处取得最大值，求 的取值范围()()0gxf， ， a分析：（）由题设， 因为 在区间 上的最大值为326ax()gx02，=0，由特殊与一般的思想，猜想得使问题成立的充要条件为 ，即 故(0)g () 024a得 .65a下面只需证当 且 时， 恒成立.若把 看成关于 a65a02x， ()0gx322()6gxax的函数，则有 ；若把
4、g(x)看成关于 x 的函数，也2()(3)g 325)0可证得.本题还可以从转化为 在 恒成立问题、转化为求存在 ，使得0gx， 02，成立的 a 的取值范围的补集问题等五个角度来解决.()0gx因为数列是特殊的函数，所以上述两种解题策略均适用于数列不等式恒成立问题，但又因为数列图象是其对应函数图象上的一些孤立的点，因此用函数思想解决数列问题时应该特别注意数列中自变2量取正整数这一特殊性质.下面通过几个例子加以说明.例 2数列 中， ，若对任意的正整数 n, 都成立，求实数 k 的取值范围.an2nk13na解析：方法一（最值法） 对任意的正整数 n, 都成立，即对任意的正整数 n, 都成立
5、， 对任意的正整数 n, 恒成立， （分类讨论分离参数）.(1)若293nk2(3)9nk，则 恒成立，故 ;(2).若 ，则 恒成立，故 ;(3).若 ，则1n5k3akN3n恒成立，故 .k7k综上所述 5方法二（数形结合）.令 ，对称轴 ， 对任意的正整数 n, 都成立2()fnk2kn13na，即对称轴位于 2 和 3 的中点与 3 和 4 的中点之间（不包括中点）.72k方法三（数形结合） 对任意的正整数 n, 都成立 只需满足 （当对称轴13na2343aa且时，由抛物线的对称性可知 ，则 等价于 ， 等价于 ）.52k23a252k47k方法四、 （数形结合）错解： 对任意的正整
6、数 n, 都成立 对任意的正整数 n, 恒成立即对任意13n 2(3)9nk的正整数 n, 恒成立 即 ，即 k=6.2390nk02(6)0k由于 n 取正整数，实际上当 k 取满足 的一部分值时，如 k=5 仍能够满足对任意的正整数 n, 都成立.13na正解理论依据：定理 1：设数列 的通项为 ，an2(,)napqR其中 n=2,3,2,(3)(),(21)phpn函 数则数列 各项都为非负数（ 恒成立）的充要条件是an 0na()qhp定理 2：设 若存在 满足 +2lm=0,则2f(),pq,()mlNl21)(lm恒成立的充要条件为 （也可以写成判别式 ）()0fnNp124f（
7、 -） 24pq正解：由定理 2 可得 ，则 .k14f（ -） 57k例 3. ,其中 a0 且 a 1，如果数列 中的每一项恒小于它后面的项，求实1()lgnncanc数 a 的取值范围 . （2008 年湖北压轴题改编）分析： 对任意的 恒成立即 对任意的 恒成1nN2123()lg()lgnnaanN3立.函数思想解决含参的数列不等式恒成立问题，关键在于通过灵活转化，构造合理的函数.由于等价转化的方式不同，构造出的函数也不同，因此导致解题难度和解题长度也就不同.观察发现：不等式两边都有公因式 与 ，可以对不等式进行等价转化，然后利用最值法解决.lga21n ，则 所以 对任意的 恒成立
8、，即0l02123()()nnaaN对任意的 恒成立，接下来关键是构造什么函数.221(3)nanN转化方法一： 对任意的 恒成立等价于 对任意的 恒成立，21(3)anN213nan设 ，则 是递增数列， 且 .()23fnn(fmin()()5ff201a.50a转化方法二： 对任意的 恒成立即 对任意的221(3)nanN2(3)(1)0na恒成立，设 ，则 1，则 ，显然 恒成立lg0a212)()nnaa综上所述 .5(,)(1,例 4.（2010 年全国卷22）已知数列 na中， 11,nnac .（）略（）求使不等式 13n成立的 的取值范围.分析：第（）较难，需要运用先猜后证.
9、先由特值引路，因为 3 对任意的 都成1nanN立，所以 n 取特值也成立，即 =1，由此解得 ,下面只要证明再用数学归纳法证明“当12a2c时， ”即可.2c1a用数学归纳法证明：当 时，c1n（）当 时， ，命题成立；1n12aa4（）设当 时， ，则当 时，kn1ka1kn112 kkkca故由（） ， （）知当 时， ，21na另一方面，由 3， 得 ，即 对任意正整数 n1na1nnc1nca210nca都成立，又 ，令 ，可知必须满足条件 即 ，13na2()1fxc23()04fc69102c解得 ，综上所述两个方面可知，所求 c 的取值范围为 .接下来只要证明 时03c 1,3
10、,3c不等式 3 即可.因为当 时， ，得 ，1na102,3c10nnaca210na解得 .显然成立.3n对于“对任意的 都成立” ，也可以从其他角度解决：因为对任意的nN3na和 同时成立，须先满足 .nN3na12c当 时，令 ，由 得 .2c24ccaann1n当 时， .3103na当 时， ，且 ，于是 ，cn1 )(31)(1nnnaa。当 时， ， .)(31na31log11n因此 不符合要求，所以 的取值范围是 .0cc0,2(例 5.在数列 中 ， ，若 ， ，求实数 a 的取an122()()nna1a1naN值范围.（2008 年全国改编）分析：当 时， 恒成立，即 恒成立，又可以转1n3112()23()nnn化为当 时， 恒成立，分离参数得 , 2n243()na -24na（ ）5,n-23()1f设 （ ）,则 ，所以 .当 时， 恒成立，故 .min()1f设 32a9a1n213aaN特别地，要取二者交集才能保证 n 无论取任何正整数不等式恒成立，所以 .9,此时我们不禁要问，因为 ， ，能否取 ？它是否为问题成立的充要1naN2132aa且条件？由 可得 ，接下来只需要用数学归纳法加以证明该条件具有充分性即2132a且 9,可.
