1、1恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。1、恒成立问题1.1 恒成立问题与一次函数联系给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a 0),若 y=f(x)在m,n内恒有 f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于） 或） 亦可合并定成0)(mfa0)(nfa0)(nfm同理，若在m,n内恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出
2、现了两个字母：x 及 P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+10,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则 f(p)在-2,2 上恒大于 0，故有：即 解得：)2(0f01342x13x或或x3.1.2 恒成立问题与二次函数联系若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a0)大于 0 恒成立，则有 ，若是二次函数在指定区间上的恒成立0a问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例 2、设 f(x)=x2-2ax+2,当
3、x -1,+ )时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：题目中要证明 f(x) a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-1,+ )时恒大于 0 的问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当 =4（a-1)(a+2)3 即 a+245a45上式等价于 或 解得 。2)(450a045485a注：注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x，而 cos2x=1-2sin2x,故若把 sinx 换元成 t,则可把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型。2、有解问题2.1 有解问题与二次不等式联系例 4、不等式 有解，求 的取值
4、范围。20kxk解：不等式 有解 有解 有解 ，22(1)x21kx2max1k所以 。()k，2.2 有解问题与绝对值不等式联系例 5、对于不等式 ，存在实数 ，使此不等式成立的实数 的集合是 ；对于任21xaxaM意 ，使此不等式恒成立的实数 的集合为 ，求集合 0x， NM，解：由(1)()2132.xfx， 又 有解 ， 所以 ()afmin()af3a令 恒成立 gx2105()xagx， max()(5)9g所以 9N2.3 有解问题与导数联系例 6、 （06 年湖北）设 x=3 是函数 f(x)=(x2+ax+b)e ,x R 的一个极值点.x33(1)求 a 与 b 的关系（用
5、 a 表示 b） ，并求 f(x)的的单调区间；（2）设 a0，g(x)= ，若存在 S1，S 2 0，4，使得|f(S 1)-g(S2)|-4 时，x 1x2，故 f(x)在 上为减函数，在-a-1，3上为增函数，在 上为减函,1a 3,数.(2)由题意，存在 S1，S 2 0，4，使得|f(S 1)-g(S2)|0，则-a-1k 在 x I 时恒成立 x I. 或 f(x)的下界大于或等于 k；mi(),fk（4）不等式 f(x)k 在 x I 时有解 x I. 或 f(x)的上界大于 k；ax解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界） 、图象
6、求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。例 7、已知两函数 f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x 3+5x2+4x，其中 k 为实数。（1）对任意 x -3，3，都有 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（2）存在 x -3，3，使 f（ x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（3）对任意 x1、 x2 -3，3，都有 f（x 1)g(x2)，求 k 的取值范围。解析：（1）设 h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为 x -3，3时，h(x)0 恒成立，故 h (x)min0.令 h (x)=6x2-6x-12=0，得 x=
7、-1 或 2。由 h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故 h (x)=-45+k，由 k-450，得 k45.min（2）据题意：存在 x -3，3，使 f（x)g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)0 在 x -3，3有解，故 h(x)0，由（ 1）知 h （x）=k+7，于是得 k-7。maxma（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 x1， x2 -3，3，都有f（x 1)g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x 1，x 2 的取值在-3，3 上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：，由 g(x)=6x2+10x+4=0，得 x=- 或-1，易得 ，maxin()(),3,fg321)3(mingx又 f(x)=8(x+1)2-8-k， . 故 令 120-k-21，得 k141。,x .10)3(maxkff点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。参考文献：1、 张世林 郭东风. 与时俱进的不等式恒成立与有解问题 J. -数学爱好者(高考版) .山西省期刊协会2、代学奎. 区别“有解”与“恒成立” EB数学中国。
