1、-函数恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化： 恒成立 ；afxmaxfminfafx恒 成 立2、能成立问题的转化： 能成立 ；in a能 成 立3、恰成立问题的转化： 在 M 上恰成立 的解集为 Mff RfxC在 上 恒 成 立在 上 恒 成 立另一转化方法：若 在 D 上恰成立，等价于 在 D 上的最小值 ，若Ax)(, )(xAf)(min,Dx在 D 上恰成立，则等价于 在 D 上的最大值 .Bxf)( )(f Bfma4、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则fgba,1dc,221xgfgfminin5、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则xf x,1x,
2、2 21fxfaax6、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，则gbadcxggmin7、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，则f ,1,2 21ffaxin8、若不等式 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 和图象在函数 图x yfy象上方；9、若不等式 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 和图象在函数 图fg xg象下方；例题讲解：题型一、常见方法1、已知函数 ， ，其中 ， 12)(axxf xag)(0x1）对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；,1)(f2）对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；4,2 )(21f a2、设函数 ，对任意 ，都有
3、 在 恒成立，求实数 的取值范围bxah)( 2,1a10)(xh,4b3、已知两函数 ， ，对任意 ，存在 ，使得 ，则实2)(xfmgx1)( 2,01x2,1x21)(xgf数 m 的取值范围为 -题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足 的所有实数 p,求使不等式 恒成立的 x 的取值范围。2p212xp2、已知函数 是实数集 上的奇函数，函数 是区间 上的减函数，()ln)(xfea为 常 数 ） R()singxfx1,()求 的值； ()若 上恒成立，求 的取值范围；a 21,gtx在 t题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分
4、离出来）1、当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 .,2x240xmm题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法） ）1、若对任意 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 _xR|xaa2、已知函数 ，在 恒有 ，求实数 的取值范围。2fxk1xfxkk题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 D 上 ；xfxAmaxfA若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 D 上的 .BinB1、存在实数 ，使得不等式 有解，则实数 的取值范围为_。x2313aa2、已知函数 存在单调递减区间，求 的
5、取值范围21ln0fxaxa-小结：恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式 对 时恒成立 ， 。即 的上界小于或等于 ；fxMImax()fMxIfxM不等式 对 时有解 ， 。 或 的下界小于或等于 ；in不等式 对 时恒成立 ， 。即 的下界大于或等于 ；fIi()fIf不等式 对 时有解 ， .。 或 的上界大于或等于 ；xmaxxx课后作业：1、设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时 的取值集合为（ a,22,yalogl3aaya）（A） （B） （C） （D）2|a3|2,2、若任意满足 的实
6、数 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是 _ . 053xy,xy22()()axya3、不等式 有解，则 的取值范围是 2sin4i10xa4、不等式 在 内恒成立，求实数 a 的取值范围。a,3x5、已知两函数 ， 。278fxxc3240gxx（1）对任意 ，都有 )成立，求实数 的取值范围；3,fc（2）存在 ，使 成立，求实数 的取值范围；（3）对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；12,x12fxg（4）存在 ，都有 ，求实数 的取值范围；3c6、设函数 .321() (01,)fxaxbaR-（）求函数 的单调区间和极值；fx（）若对任意的 不等式 成立，求 a 的取值范围。,2
7、,1afx7、已知 A、B、C 是直线 上的三点，向量 ， ， 满足： .OA OB OC 0OC1xlnB1f2yA（1）求函数 yf(x)的表达式；（2）若 x0，证明：f(x) ；2xx 2（3）若不等式 时， 及 都恒成立，求实数 m 的取值范围3bmf211,x1,b8、设 ，且 （e 为自然对数的底数）xln2qpxf2pqef(I) 求 p 与 q 的关系；(II)若 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；(III)设 ，若在 上至少存在一点 ，使得 成立, 求实数 p 的取值范围.xege,10x0xgf-函数专题 4：恒成立问题参考答案：题型一、常见方法1、分析：1）思
8、路、等价转化为函数 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决0)(xgf2）思路、对在不同区间内的两个函数 和 分别求最值，即只需满足 即可)(maxingf简解：（1）由 成立，只需满足 的最小值大于 即可对12123axax 12)(3x求导， ，故 在 是增函数， ，所以)(230)()4)(x,132)(min的取值范围是 a30a2、分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法 1：化归最值， ；10)(1)(maxhx方法 2：变量分离， 或 ；0bxb)(2方法 3：变更主元， ，)(bx,a简解：方法 1:对 求
9、导， ，xgh 22)(1)(xaxh由此可知， 在 上的最大值为 与 中的较大者)(x1,4)41(h，对于任意 ，得 的取值范围是 abah93010)(4 2,1ab47b3、解析：对任意 ，存在 ，使得 等价于 在 上的最小值2,1x2,1x21)(xgfmxx21)(,不大于 在 上的最小值 0，既 ，m4)(f,004m4题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、解：不等式即 ,设 ，则 在-2,2上恒大于 0，211xpx211fpxxfp故有： 或2043320f或或 32、 ()分析：在不等式中出现了两个字母： 及 ,关键在于该把哪个字母看成是一个
10、变量，另一个作为常数。t |yx|yxaaO-显然可将 视作自变量，则上述问题即可转化为在 内关于 的一次函数大于等于 0 恒成立的问题。() ,1略解：由()知： ， ， 在 上单调递减， 在()fx()singxx()g， ()cosgxxcosx上恒成立， ， 只需 ， （其中1， 1， ma12sin1t2in10tt）恒成立，由上述结论：可令 ,则 ， 2()i10(ftt） 2sit，而 恒成立， 。2sin10t2sin10t1t题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 .,x4xm解析: 当 时，由 得 . .(
11、1,2)20m24x5题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法） ）1、解析：对 ,不等式 恒成立、则由一次函数性质及图像知 ，即 。xR|xa1a1a2、分析：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 ，则把原题转化成左边二次函数fk1,Fxfk在区间 时恒大于等于 的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。,0解：令 ，则 对 恒成立，而 是开口向上的抛物线。2Fxfxk0Fx1,当图象与 x 轴无交点满足 ，即 ，解得 。240k21k当图象与 x 轴有交点，且在 时 ，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：1,解得 ，故由知 。012Fk32k
12、31k小结：若二次函数 大于 0 恒成立，则有 ，同理，若二次函数 小于 0yaxbc0a 2yaxbc恒成立，则有 。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知0识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 D 上 ；xfxAmaxfA若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 D 上的 .BinB1、解：设 ，由 有解， ，31fx23fa2min3afx又 ， ，解得 。314xx441或2、解： 因为函数 存在单调递减区间，所以f2 10axfx有解.即 能成立, 设
13、.0,20ax2u由 得, .于是, ,11uxmin1ux1a由题设 ,所以 a 的取值范围是0课后作业：-1、B。解析：由方程 可得 ，对于任意的 ，可得 ，依题意得logl3aaxy3ax,2xa232ax。2a2、 答案： 。解析：由不等式 可得 ，由线性规划可得 。51322()()axy21axy312yx3、解：原不等式有解 有解，而 ，所以 。2sin4i1sin3sinx2minsin3xa4、解：画出两个凼数 和 在yax0,上的图象如图知当 时 ，33当 ， 时总有 所以3a0,x4axa5、解析：（1）设 ，问题转化为 时， 恒成立，故 。令321hgfxc3,x0hx
14、min0hx，得 或 。由导数知识，可知 在 单调递增，在 单调递减，261620hx ,11,2在 单调递增，且 ， ， ， ，,3345c7h极 大 值 2hc极 小 值 39c，由 ，得 。min45cc（2）据题意：存在 ，使 成立，即为： 在 有解，故 ，由,xfxg0xgfx,max0h（1）知 ，于是得 。ax70h7（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 ，都有 成立，12,3,12fg不等式的左右两端函数的自变量不同， ， 的取值在 上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：1x23,。 ，maxin()(),3,fgx78,fcxmax347
15、ffc ， 在区间 上只有一个解 。26840212x0g, 2x ， ，即 .in 48c195（4）存在 ，都有 ，等价于 ，由(3)得 ，12,3,x12fxmin1ax2fgmin128ffc，mag 3c点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。6、解：（） （1 分）2234)(axxf令 得 的单调递增区间为（a,3a）,0)(xf令 得 的单调递减区间为（ ，a）和（3a，+ ） （4 分）当 x=a 时， 极小值=)(f;43b当 x=3a 时， 极小值=b. （6 分）x（）由| |a，得ax2+4
16、ax3a2a.（7 分）02a. 上是减函数. （9 分）2,134)(22 aaf 在 .4)()(.)(minmax afxffxy0 3xy-于是，对任意 ，不等式恒成立，等价于2,1ax又 .54.2,a解 得 ,10a.154a7、解：(1) y2f /(1) ln(x1) 0， y2f /(1) ln(x1)OA OB OC OA OB OC 由于 A、B、C 三点共线 即y2f /(1)ln(x1)12 分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x) ，得 f /(1) ，故 f(x)ln(x1)4 分1x 1 12（2）令 g(x)f(x) ，由 g/(x) 2xx 2
17、1x 1 2(x 2) 2x(x 2)2 x2(x 1)(x 2)2x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6 分故 g(x)g(0)0即 f(x) 8 分2xx 2（3）原不等式等价于 x2f(x2)m22bm312令 h(x) x2f(x2) x2ln(1x2)，由 h/(x)x 10 分12 12 2x1 x2 x3 x1 x2当 x1，1时，h(x)max0，m22bm30令 Q(b)m22bm3，则 Q(1) m2 2m 3 0Q( 1) m2 2m 3 0)得 m3 或 m312 分8、解：(I) 由题意得 而 ，所以1ln20qpfepeqeepq(II) 由 (I) 知
18、 ， 4 分2lfxx22pxf 令 ，要使 在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+) 内满足：h(x)2hxpf0 或 h(x)0 恒成立. 5 分 当 时， ，所以 在 (0,+ ) 内为单调递减，故 ；0,0xhxfx0p 当 时， ，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 ，p2hp 1x， ，只需 ，即 p1 时， h(x)0， ，min1hx10p0f f (x) 在 (0,+) 内为单调递增，故 p1 适合题意. 综上可得，p1 或 p0另解：(II) 由 (I) 知 f (x) = px 2ln x f(x) = p + = p (1 + )px px
19、2 2x 1x 2 2x要使 f (x) 在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 f(x) 在 (0,+) 内满足：f(x)0 或 f(x)0 恒成立. 由 f(x)0 p (1 + ) 0 p p( )max，x 01x 2 2x 2x + 1x 2x + 1x = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ( )max = 12x + 1x22 x 1x2x + 1x p1-由 f(x)0 p (1 + ) 0 p p( )min，x 01x 2 2x 2xx 2 + 1 2xx 2 + 1而 0 且 x 0 时， 0，故 p02xx 2 + 1 2xx 2 + 1综上可得，p1 或 p0(
20、III) g(x) = 在 1,e 上是减函数2ex x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e即 g(x) 2,2e 10 分 p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 g(x)min = 2，x 1,e f (x)max = f (e) = p (e )2ln e 21e p 综上，p 的取值范围是 ( ,+)4ee 2 1 4ee 2 1函数恒成立与有解问题设 ， ，求满足下列条件的 的取值范围kxf2xg3k（1） 若对任意 ，都有 ，求 的取值范围,1gf（2） 若存在 ，使得 ，求 的取值范围3,1xxgfk-（3） 若对任意 ，都有 ，求 的取值范围3,1,21x21xgfk（4） 若对任意 ，总存在 ，使得 ，求 的范围3,1x3,12x21xfgk（5） 若对任意 ，总存在 ，使得 ，求 的范围3,12x3,1x21xgfk
