1、第 1 页“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化： 恒成立 ；afxmaxfminfafx恒 成 立2、能成立问题的转化： 能成立 ；in a能 成 立3、恰成立问题的转化： 在 M 上恰成立 的解集为 MffRafxC在 上 恒 成 立在 上 恒 成 立另一转化方法：若 在 D 上恰成立，等价于 在 D 上的最小值 ，Axf)(, )(xf Axf)(min若 在 D 上恰成立，则等价于 在 D 上的最大值 .,Bf)( )(xf Bf)(max4、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得
2、 ，则xfgba,1dc,221gffminin5、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则xfgbax,1dcx,221xgffmaax6、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，则f ,1,2 21xfgfinax7、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，则xba,dcx,gmaxin8、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，设f x,1 ,221xff(x)在区间 a,b上的值域为 A，g(x)在区间c,d上的值域为 B,则 AB.9、若不等式 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 和图象在g y函数 图象上方；yx10、若不等式 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间
3、D 上函数 和图象在fx fx函数 图象下方；恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论 恒成立的命题恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数 R;某不等式的解为一切实数; 某表达式的值恒大于 a 等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面第 2 页起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型； 二次函数型； 变
4、量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。（一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路 1、 max)()( fDxfm上 恒 成 立在思路 2、 in上 恒 成 立在如何在区间 D 上求函数 f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数
5、f（x）的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。（二）、赋值型利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例 1如果函数 y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对称，那么 a=（ ）.8A.1 B.-1 C . D. - .22略解：取 x=0 及 x= ，则 f(0)=f( ),即 a=-1，故选 B.44此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.例（备用）由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+
6、1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a 1,a2,a3,a4)b 1+b2+b3+b4,则 f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取 x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以 b1+b2+b3+b4 =0 ，故选 D（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a0),若 y=f(x)在m,n 内恒有 f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于同理，
7、若在m,n内恒有 f(x)2a+x 恒成立的 x 的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将 a 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2 内关于 a 的一次函数大于0 恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+10 在|a| 2 时恒成立,设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在-2,2 上恒大于 0，故有：即 解得：0)2(f01342x13x或或x3. 即 x(,1)(3,+)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在 x 轴上方（或
8、下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。（1）若二次函数 y=ax2+bx+c(a0)大于 0 恒成立，则有 0且a（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型 1：设 在 R 上恒成立，)()(2acbxxf（1） 上恒成立 ；R在00且（2） 上恒成立 。xf在)( 且类型 2：设 在区间 上恒成立)(2acb,（1）当 时， 上恒成立 ，0a,)(xf在 0)(20)(2fabfab或或nmo xynmo xy第 4 页上恒成立,0)(xf在 0)(f
9、（2）当 时， 上恒成立a,0)(xf在 0)(f上恒成立,0)(xf在 )(20)(2fabfab或或类型 3：设 在区间 (- , 上恒成立。)(2cxaff(x)0a0 且且 f()0f(x)且 f()0a0,0f(x)g(a)恒成立，则 g(a)f(x)max.(其中 f(x)max 和 f(x)min 分别为 f(x)的最大值和最小值 )例 5.已知三个不等式 ， ， 要0342x0862092mx使同时满足 的所有 x 的值满足，求 m 的取值范围.略解：由 得 23;ax恒 成 立 ， 求 实 数， 不 等 式对 任 意 实 数 ,构造函数，画出图象，得 a=0 时， f(x)=
10、3x+(2x-a)=5x-a，最小值为-a0x=a/2 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值 a1,并且必须也只需当 x=2 时 y2 的函数值大于等于y1 的函数值。故 loga21, 10,注意到若将等号两边看成是二次函数 y= x2+4x 及一次函数 y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 y1=x2+4x=（x+2） 2-4,y2=2x-6a-4, y1 的图象为一个定抛物线 y2 的图象是 k=2，而截距不定的直线，要使 y1 和 y2 在 x 轴上方有唯一交点，则直线必须位于 l1 和 l2 之间。（包括 l1 但不包括 l
11、2）当直线为 l1 时，直线过点（-4，0），此时纵截距为-8-6a-4=0,a= ;当直线为 l2 时，直线过点（0 ，0），纵截距为-6a-4=0，a= a 的范围为3)3,（五）合理联想，运用平几性质9、不论 k 为何实数，直线 与曲线 恒有交点，求a 的范围。分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点 A（0，1），而曲线 为圆,圆心 C（a， 0），要使直线恒与圆有交点，那么定点 A(0,1)必在圆上或圆内。解： ，C（a ，0），当 时，联想到直线与圆的位置关系，则有点 A（0，1）必在圆上或圆内，即点 A（0，
12、1）到圆心距离不大于半径，则有，得 。（六）分类讨论，避免重复遗漏10、当 时，不等式 恒成立，求 x 的范围。解：使用 的条件，必须将 m 分离出来，此时应对 进行讨论。当 时，要使不等式 恒成立，只要 ， 解得。当 时，要使不等式 恒成立，只要 ，解得。当 时，要使 恒成立，只有 。 综上得第 13 页。解法 2：可设 ，用一次函数知识来解较为简单。我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为： ，；令0)12()(2xm，则 时， 恒成立，所以只需 即)12()()2xf 20)f )(2f，所以 x 的范围是 。此类题本质上是利用了0)()1(2x )231,7(一次
13、函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在 x 轴上方（或下方）即可.11、当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。31x062axa解： a2当 时， ，当 ，即 时等号成立。31x623xx36故实数 的取值范围:aa（七）构造函数，体现函数思想12、（1990 年全国高考题）设 ，其中 a 为实数，n 为任意给定的自然数，且 ，如果 当 时有意义，求 a 的取值范围。解：本题即为对于 ，有 恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求 a 的范围，可先将 a 分离出来，得 ，对于 恒成立。构造函数 ，则问题转化为求函数 在第 14 页上的值域。由
14、于函数 在 上是单调增函数，则 在 上为单调增函数。于是有 的最大值为： ，从而可得 。（八）利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即： ，则 且 ，不等式的解即为实数 的,mnfagfamgna取值范围。例 13、当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。1,3xlo1ax解： loga（1） 当 时， ，则问题转化为 1x1,3,a31a（2） 当 时， ，则问题转化为01a1xa1,3,a3110a综上所得： 或3四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。1、已知函数 ， ，其中 ， 12)(axxf
15、 xag)(0x对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；4,12f a【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数 和 分别求最值，即只需满足)(fg即可)(maxingf简解：令 n(a)=gmax(x)=a/2；令 m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,第 15 页故(1)对称轴 x=an(a) 解得 a2 时，m(a)= fmin(x)=f(2)=5-4a，由 m(a)n(a) 解得 an(a) 解得 或417， （注意到 a 的范围）从而得 a 的范围 ：;417 21综合（1） （2） （3）知实数 的取值范围是：(0，4/5) 1,22、已知两函数 ， ，对任
16、意 ，存在 ，使得2)(xfmgx1)( ,01x2,1x，则实数 m 的取值范围为 21)(gxf解析：对任意 ，存在 ，使得 等价于 在,01,12x21)(xgfmx)(上的最小值 不大于 在 上的最小值 0，既 ，2,14)(f,004141题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 D 上 ；xfxAmaxfA若在区间 D 上存在实数 使
17、不等式 成立,则等价于在区间 D 上的 .BinB1、存在实数 ，使得不等式 有解，则实数 的取值范围为_。x2313aa解：设 ，由 有解， ，31ffx 2minfx第 16 页又 ， ，解得 。31314xx234a41a或1、求使关于 p 的不等式 在 p-2,2有解的 x 的取值范围。xpx2解：即关于 p 的不等式 有解,设 ，则01)( 21fpx在-2,2上的最小值小于 0。f(1)当 x1 时，f(p)关于 p 单调增加，故 fmin(p)=f(-2)=x2-4x+31(m0)有解；若命题 P 和命题 Q 都是真命题，求 m 的值范围。解：(1)由 P 真得： ，注意到 a
18、在区间-1,1, ,8|21ax 3|ax21由于|m 2-5m-3|x1-x2|对任意实数 a-1,1恒成立，故有 5|2m解得： m-1 或 m6 或 0m5(1)由 Q 真，不等式|x-2m|-|x|1(m0)有解，得（|x-2m|-|x|） max=2m1,解得：m1/2由于（1）（2）都是相公命题，故 m 的值范围：1/2m5 或 m6.举例（1）已知不等式 024xa对于 ,1x）恒成立，求实数 a的取值范围.（2）若不等式 2x对于 3,(恒成立，求实数 x的取值范围.分析：（1）由 得： x2对于 ,）恒成立，因 21x，所以 2x，当 x时等号成立.所以有 a.（2）注意到
19、024a对于 3,(恒成立是关于 a的一次不等式.不妨设)()(xxaf，则 )(f在 上单调递减，则问题等价于 0)3(f，所以034x或 1x，则 取值范围为 ),1()0,(.小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式 对 时恒成立 ， 。即 的上界小于或等于 ；fxMImax()fMxIfxM不等式 对 时有解 ， 。 或 的下界小于或等于 ；in不等式 对 时恒成立 ， 。即 的下界大于或等于 ；fIi()fIf第 17 页不等式 对 时有解 ， .。 或 的上界大于或等于 ；fxMImax()f
20、MxIfxM高中数学难点强化班第四讲（140709）课后练习答案：一填空选择题（每小题 6 分，共 60 分）1、对任意的实数 ，若不等式 恒成立，那么实数 的取值范围 xax21a。答案：|x+1|-|x-2| -|(x+1)-(x-2)|=-3,故实数 的取值范围：a-32、不等式 有解，则 的取值范围是 2sin4i10xa解：原不等式有解 有解，而 ，22sin4i1sin31sinxxx2minsin3x所以 。a3.若对任意 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）xR|aa(A) (B) (C) （D） 1a|1|11解析：对 ,不等式 恒成立x|x则由一次函数性质及图像知
21、，即 。a|答案：选 B4当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 .(1,2)x240xmm解析: 当 时，由 得 .令 ，则易知(,)224x24()xfx在 上是减函数，所以 时 ，则 ()fx1,21,x()(1)5maxff2min()5.5m5已知不等式 对任意 都成立，那么实数 的取223(1)1axxa(0)， x值范围为 分析：已知参数 的范围，要求自变量 的范围，转换主参元 和 的位置，构造以 为xaa自变量 作为参数的一次函数 ，转换成 ， 恒成立再求解。x()g()， (g|yx|yxaaxO第 18 页解析：由题设知“ 对 都成立，即223(1)1axxa(0)，对
22、都成立。设 （ ），22()0ax， 22()gxaxaR则 是一个以 为自变量的一次函数。 恒成立，则对 ， 为 上g 2x()g的单调递增函数。 所以对 ， 恒成立的充分必要条件是 ，()a， (0a0， ，于是 的取值范围是 。20x20xx|2x6已知函数 ，若对于任一实数 ， 与 的41,fmgmx()fgx值至少有一个为正数，则实数 的取值范围是（ )A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(，0)分析： 与 的函数类型，直接受参数 的影响，所以首先要对参()fxg数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。解析：当 时， 在 上恒成立，而0m()81
23、0fx(,)8()0gx在 上恒成立，显然不满足题意；(如图 1)R当 时， 在 上递减且 只在 上恒成立，()gR()gmx(,0)而 是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，显然不满足题意。()fx当 时， 在 上递增且 在 上恒成立，m()x()x(,)而 是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实()fx数 ，与 的值至少有一个为正数则只需 在 上fg()0fx(,恒成立。(如图 3)则有 或 解得 或 ，240()8m42m484m综上可得 即 。 故选 B。(,)、已知两函数 ，g(x)=6x 2-24x+21。27fxxc（1）对任意 ，都有 成立，那么实数
24、 的取值范围 c0 ；3,fg图 31o xy ()gfx图 1()0gx1 ()8fxy0 x1 ()mxy0 图 2第 19 页（2）存在 ，使 成立，那么实数 的取值范围 c-25 ；3,xfxg（3）对任意 ，都有 ，那么实数 的取值范围 c150 ；12, 12fx（4）存在 ，都有 ，那么实数 的取值范围 c-175 ；,解析：（1）设 ，问题转化为 时， 恒成立，故32hxgfx3,x0hx。令 ，得 或 。由导数知识，可知 在min0hx26160x 1x2单调递增，在 单调递减，在 单调递增，且 ，3, , 45hc， ， ， ，由 ，17c极 大 值 2hxc极 小 值 3
25、9hcmin3xc450c得 。45c（2）据题意：存在 ，使 成立，即为： 在 有解，3,fxg0hgf3,x故 ，由（1）知 ，于是得 。max0hmax70hc7c（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 ，都有12,成立，不等式的左右两端函数的自变量不同， ， 的取值在 上具有任意性，2fg 1x23要使不等式恒成立的充要条件是：。 ，maxin()(),3,fx278,3,fxcxmax47ffc ， 在区间 上只有一个解 。26840g210g2x ， ，即 .in 48c195（4）存在 ，都有 ，等价于 ，由(3)得12,3,x12fxmin1ax2
26、fg， ，minff ma3280130cc点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。二简答题（每题 10 分）、（10 分）若不等式 对任意实数 x 恒成立，求实数 m 取值2(1)()(1)x范围解： )10,29、对一切实数 x,不等式 恒成立，求实数 a 的范围。32xa若不等式 有解，求实数 a 的范围。32xa若方程 有解，求实数 a 的范围。解： 5a5,10.已知函数 2lgxaxf()若 的定义域 ,试求 的取值范围.A() 若 在 上有意义, 试求 的取值范围.3a第 20 页()若 的解集为 ,试求 的值. 0xf3,2a解答：这三问中,第()问是能成立问题,第() 问是恒成立问题,第( )问是恰成立问题.() 的定义域非空,相当于存在实数 ,使 成立,x02x即 的最大值大于 0 成立,2xax,0442ma a解得 或 .4() 在区间 上有意义,等价于 在 恒成立,即 的最小值f32xx03x大于 0.解不等式组 或 或 解,025a,025a,95a042,5a得 .9() 的解集为 ,等价于不等式 的解集为 ;于是有xf312x3,012ax这等价于方程 的两个根为 2 和 3,于是可解得 .5
