1、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题二 压轴填空题第 二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例 1 【山西省太原市 2019 届高三上学期阶段性（期中)考试】已知函数 = ，若对于()2+1任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_； (2+)+(2)2 【答案】(0,1
2、)【解析】函数 f（x）=e xe x 2x+1 ， xR；可设 g（x）=e xe x 2x，xR；则 f（x）=g （x）+1 ，且 g（x）=e x e x+2x=（ exe x 2x）=g（x） ，g（x）是定义域 R 上的奇函数；又 g（x）=e x+ex 20 恒成立，g（x）是定义域 R 上的增函数；不等式 f（x 2+a）+f（2ax ）2 恒成立，化为 g（x 2+a）+g（2ax）+22 恒成立，即 g（x 2+a）g（2ax ）=g（2ax）恒成立，x 2+a2ax 恒成立，即 x2+2ax+a0 恒成立；=4a 24a0，解得 0a1，实数 a 的取值范围是（0，1）
3、故答案为：（0，1） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号 去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的f二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图 象处理【举一反三】 （2019 昌吉教育共同体）若关于 的不等式 ，在 上恒成立,，则实1+23(2+2) 数 的最大值为（ ）A B C D 1-13 13 23【答案】B【解析】 ，令. ，并代入不等式，则1+23(2+2)=23(221) =1,1问题转化为不等式 在 上恒成立，42350 1,1即 .4+3504350 131
4、3类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例 1 （2019 湖北四市联考*构造函数）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒0 (2, +) 0成立，则 的最小值为A B C D 22 22 122 22【答案】D令 ,00=0由可得 ,则 在 上单调递增，又由题意 ，0= () (， +) (2, +)原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3则 ，即 ，故 ， .选 D(2)=220 22 22 22【名师指点】 恒成立等价与 恒成立，记 ，则()fxg()0fxg()()Gxfgx，本题中由于 有参数，需要分类讨论，利用导数求最值来源:学,科,网 Z,X,X,Kmax()G()Gx【举
5、一反三】设函数 fe，若对所有 x都有 fxa，则实数 的取值范围为_【答案】 ,2【解析】令 gxfax（ ） （ ） ，则 xgfaea（ ） （ ） ，（）若 2a， 当 0 时， 20xe（ ） ， 故 gx（ ） 在 （ ， ） 上为增函数，所以， 0x时， x（ ） （ ） ， 即 f（ ） 类型三 利用参变分离求恒成立问题典例 2 （2019 大庆模拟）已知函数 ，若对任意的 且 ，()=(1)3122+2 1,2(0,+), 12都有 ，则实数 的取值范围是( )1(1)+2(2)2(1)+1(2) A B C D (,3) (,3 (,13) (,13【答案】D【解析】根据题
6、意，将 x1f（ x1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1）变形可得f（x 1）f （x 2）（x 1x 2）0，所以函数 f（x） 为增函数或常数函数.在 (0,+)当 f（x） 为增函数时，则 f（x）=x -3kx -x ，在 (0,+) ex 2 0在 (0,+)恒成立所以 3k ，h（ x）= ，（ ex-1x ） ex-1x原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4h （x） = 0, h(x) 为增函数, (1)+12 在 (0,+)x , h(x) 1 3k ， k .0 113【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想
7、、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集若按照参数讨论则取并集，是中档题不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“ ”形式，则只要求出 的最大值()gahx()hx，然后解 即可M()ga【举一反三】 【江西省新余市 2018 届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数 ，xef1)(2，对 ，不等式 恒成立，则正数 的取值范围为 . xeg2)(),0(,211)(21kxfgk【答案】 ,类型四 利用图像法求恒成立问题典例 3 （2018 曲靖检测*数形结合）设函数 ，若存在 唯一的整数 ，使得 ，则()=3 0 (0)0(2)0 (0,+)=上单
8、调递增，所以当 时，函数 ，所以实数 的取值范围是 .(0,+) 0 2 (,2【精选名校模拟】1已知曲线 在点 处的切线方程是 ，若 恒成立，()=+2 (1,(1) =21 ()2+(1)则实数 的最大值为_【答案】. 1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6【解析】由题可得 ，则 ， ，因为 ()=+2+ (1)=1 (1)=+=2=1 ()，即 恒成立，所以 恒成立令 ，则2+(1) +2+12+1 ()=2+1，显然 在 上单调递增，且有唯一零()=(+1)(+1)2(+1)2 =+1(+1)2 =+1 (0,+)点 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ，
9、=1 ()(0,1) (1,+) ()=(1)=1 1故实数 的最大值为 12 【安徽六校教育研究会 2019 届高三第一次素质测试】已知函数 ，()=+2+，其中 e 为自然对数的底数，若存在实数 ，使 成立，则实数 a()=(+2)9 0 (0)(0)=7的值为_.来源:学*科*网 Z*X*X*K【答案】 31【解析】令 ，()()=+2+(+2)+9令 ， ，=(+2)+2=1 1+2=+1+2故 在 上是减函数， 上是增函数，=(+2) (2,1) (1,+)故当 时， 有最小值 ，而 ，来源:学科网=1 10+2=1 +96（当且仅当 ，即 时，等号成立） ；=9 =+3故 ，若存在
10、实数 ，使 成立()()7 0 (0)(0)=7（当且仅当等号同时成立时，等号成立） ，故 ，即 ，故答案为 =+3=1 =13 313已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是2()lnfxx()0fxkk_来源:学.科.网 Z.X.X.K【答案】 (,1【解析】函数 的定义域为 ，恒成立,即 等价于 ，令 ，则 ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7令 ，则 在 上恒成立， 在 上单调递增， 来源:学+科+ 网 Z+X+X+K故当 时， ，函数 单调递减；来源:学&科&网当 时， ，函数 单调递增，则 ，故 ，故答案为 .4 【陕西省西安市远东第 一中学 2019
11、届高三 10 月月考】已知函数 ，若 在()= ()12 ()0当 时， 取最小值 ，=12 () 212当 时， ，当 时， ，=0 (0)=1 =1 (1)=0直线 恒过定点 且斜率为 ，故 且 ，解得 , = (1， 0) (0)=1 (1)=31320 时，令 ， ，且 ，当 2a1，即 时， xf12xa1x， 12a，于是 在 (0，+)上单调递减，所以 ，即120xa 0x在 上成立.则 f(x)在 上单调递减，故 f(x)0 在 递增，而 ，() (0)=0 在 恒成立， 在 恒成立，()0 (0,+) 在 递减，在 递增， ，() (,0) (0,+) ()=(0)=1原创精
12、品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12若存在实数 使得不等式 成立，0 21(0)只需 即可，解得： 21()=1 111已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若不等式 恒成立，则 的lnfxeaxbe0fxba最大值为_【答案】 1e即： ，11ln0eab整理可得： ，l即 恒成立，ln1ln1,ebbaea则原问题转化为求解 的最大值.lxge求导可得： ，2lnexxe令 ，lH则 ，令 可得： ，xn1e0Hx1xe原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13当 时， 单调递增，1,xe0,Hx当 时， 单调递减，,e,x当 时， 取得最大值： ，1xHx1Hee且： 时， ， ，
13、e020据此可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，gx,e2,e即函数 的最大值为 ，ln12eg综上可得： 的最大值为 .ba12 （2019 赣州联考*参变分离）已知函数 （x2） ，若 恒成立，则整数 k()=1+(1)2 () 1的最大值为_【答案】3【解析】f（ x） 恒成立，即 h（x）= k 即 h（x）的最小值大于 k1 (1)1+(1)2而 h（x）= ，记 g（x）=x3ln（x-1），（x2），3(1)(2)2则 g（x）= 0，g（x）在（2，+）上单调递增，21又 g（4）=1ln30，g（5）=2 2ln20，g（x）=0 存在唯一实根 a，且满足 a（4，5），a-3=ln（a-1），当 xa 时，g（x）0，h（x）0，当 2xa 时，g（x）0，h（x）0，h（x） min=h（a）= =a-1（3，4），(1)1+(1)2故正整数 k 的最大值是 313设 ，不等式 对 恒成立，则 的取值范围_028(sin)cos20xxxR【答案】 5,6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14【解析】根据题意有 ，即 ，结合题中所给的角的范围，求得 的取值264sin3cos021sin4范围是 50,
