概率与数理统计复习材料

1、概率论与数理统计 知识点框架,2015.6.7制作,教 学 内 容,第一章 随机事件及其概率第二章 随机变量及其分布第三章 随机变量的数字特征第四章 大数定律与中心极限定理,第一章 随机事件及其概率,随机事件,概率,1.事件的概念及种类 2.事件发生的含义,3.事件的关系 4.事件的运算 5.运算的性质,1.事件的独立性,事件的独立性与伯努利概型,条件概率与全概公式,2.伯努利概型,1.概率的古典定义 2.概率的公理化定义 3.概率的性质,1.条件概率 2.乘法公式 3.全概公式 4.逆概公式（贝叶斯公式）,例：某工厂有四个车间生产同一种计算机配件，四个车间的产。

2、 第一章：概率论初步 基本概念：随机事件、古典概率、条件概率、事件的独立性 事件的关系与运算( 结合集合论和文氏图来学习) 子事件( 子集) 、积事件 (交集) 、和事件 (并集) 、对立事件AB AB A(补集) 、 差事件 ;A BABAAB= = 互斥事件 AB= 事件发生： 事件 A中至少有一个样本点出现 . 处理技巧： 把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和 ABA BA=运算规律：德摩根律 ;ABAB ABAB= 加法原理： (分类 )，乘法原理：12 mnn n+null12 mnn n null (分步 ) 排列： 全排列： ； 组合：,mmnnAP, !n ,!mmmnnnPCCCmnm= 古典概型： 满足以下两个特。

3、当 y0 时,解 设Y 和 X 的分布函数分别为 和 ，,求导可得,若,则 Y=X2 的概率密度为：,从上述两例中可以看到，在求P(Yy) 的过程中，关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X, 从而得到与 g(X) y 等价的X 的不等式 .,用 代替 X2 y ,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,2、一台电子设备内装有5个某种类型的电子管，已知这种电子管的寿命（单位：小时）服从参数为1000 的指数分布。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为95%，两个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率是70%，若两。

4、概率论与数理统计复习课,武汉理工大学统计学系 毛树华,例1、填空题：,二、常见例题精解,4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是 。,5、设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率为 ，则在一次试验中事件A出现的概率为 。,例2、单项选择题 ：,1、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（ ）A“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； B“甲、乙两种产品均畅销”；C“甲种产品滞销”； D“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。,2、如果。

5、 1概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验 E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2) 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间 S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点( 基本事件):E 的每个结果.随机事件(事件) :样本空间 S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件( ):每次试验中一定不会发生的事件 .二. 事件间的关系和运算1.A B(事件 B 包含事件 A )事件 A 发生必然导致事件 B 发生.2.AB(和事件 )事件 A 与 B 至。

6、SMU1概率论与数理统计 复习资料第一章随机事件与概率1事件的关系 ABABA (1) 包含：若事件 发生，一定导致事件 发生，那么，称事件 B包含事件 ，记作 B(或 )(2) 相等 ：若两事件 与 相互包含，即 且 ，那么，称事件A与 相等，记作 (3) 和事件 ：“事件 A 与事件 B 中至少有一个发生”这一事件称为 A 与 B的和事件，记作 ；“n 个事件 1,2,nA 中至少有一事件发生”这一事件称为 1,2, 的和，记作 （简记为 1ni） (4) 积事件 ：“事件 A 与事件 B 同时发生”这一事件称为 A 与 B 的积事件，记作 AB(简记为 )；“n 个事件 1,2,n 同时发生”这一。

7、.概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验 E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间 S: E 的所有可能结果组成的集合 . 样本点(基本事件):E 的每个结果.随机事件(事件 ):样本空间 S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(): 每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算1.A B(事件 B 包含事件 A )事件 A 发生必然导致事件 B 发生.2.AB(和事件) 事件 A 与 B 至少有。

8、第 1 页 共 18 页概率论复习一、单项选择题1. 袋中有 个乒乓球,其中 个黄球, 个白球,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第50203二人取到黄球的概率是( B ).A. B. C. D. 155542. 设 为随机事件,且 , , .则 ( C ).A.0)(AP6.)(B)(AP80)(BPUA.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.83. 设随机变量 的分布函数为 ,则 的分布函数 为( C ).XxFX3YyFYA. B.)35(yF)(5yXC. D.X 14. 设二维随机变量 的分布律为),(YX0212031.则 ( A ). YXPA. B. C. D.3.05.07.08.05. 设随机变量 与 相互独立,且 , ,则 ( D ).)(XD1)(Y)32(YXDA.0 B.1 C. D. 646. 设 , 未知,取。

9、F-1概率论与数理统计复习大纲第一章 随机事件与概率随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果样本空间- 随机试验 E 的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。基本概念必然事件- 每次试验中必定发生的事件。 不可能事件-每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含 AB相等 A=B对立事件，也称 A 的逆事。

10、概率论与数理统计总复习-用 4 道题说概率论与数理统计安徽财经大学统计与应用数学学院 吴礼斌1.一元离散型随机变量例 1.设 X 的分布律为X -1 0 1 2P(X=xk) 0.2 0.1 0.3 a(1)求常数 a；（ 2）求 P|X|1 ；（3）求条件概率 PX=2|X0；（4）求分布函数F(x)，并画出图形；（5 ）求 E(X)，D(X) ；（6）令 Y=X2，求 Y 的分布律；（7）求COV（ X，Y） ；（ 8）令 ，求 Z 的分布律；（9）求 的联合分布律；0,;1XZ ),(Z（10 ）求 ；（11）在总体 Z 中抽取容量为 300 的样本 ，求YZ 3021,。202031iP解：（1） （这是要求同学掌握分布律的完备性）因为 。

11、考研必备1 / 24第 1 章 随机事件及其概率（1）排列组合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(nPnm从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。)!(Cn（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和。

12、引 言、 必然现象与随机现象在自然界和人的实践活动中经常遇到各种各样的现象，这些现象大体可分为两类：一类是确定的，例如 “在一个标准大气压下， 纯水加热到 100 C时必然沸腾。 ”“向上抛一块石头必然下落。 ”，“同性电荷相斥，异性电荷相吸。 ”等等，这种在一定条件下有确定结果的现象称为必然现象（确定性现象）；另一类现象是随机的，例如：在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不论如何控制抛掷条件，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么，这个试验多于一种可能结果，但。

13、五、连续型随机变量及其概率密度1、连续型随机变量及其概率密度与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以是某一区间或几个区间的一切实数。但是用分布函数可以统一描述事件 的概率 F(x)=P ，不过计算公式xXxX不同，离散型分布函数的通过累加，连续型的分布函数通过积分。若对随机变量 X 的分布函数 F(X)，存在非负函数 f(x)，对任意实数 x，有F(x)=()称 X 为连续型随机变量，f(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数密度函数性质：（1）f(X) 0 (2) +()=1(3) p =F(b)-F(a)=bXa()（4） =f(x)()(3)是求连续型概率 p 的计算公。

14、开锁次数的数学期望和方差例 有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开用它们去试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放回求试开次数的数学期望和方差分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第 k 次打开不过，一般我们应)(kP1k从简单的地方入手，如 ，发现规律后，推广到一般3,21解： 的可能取值为 1，2，3，n ;1212)1()1)3( ;2,)1( nnnnPn nkkk 123)( ；所以 的分布列为：1 2 k nPn 1；2312nE nnknD 1)2(1)2()3()()( n222 131124)()()1(62 nn说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找。

15、 A1 共 17 页一、判断题（2 分 5）1、 设 ， 是两事件，则 。 （ ）AB()AB2、 若随机变量 的取值个数为无限个，则 一定是连续型随机变量。 （ ） XX3、 与 独立，则 。 （ Ymax,()()XYYFzFz）4、 若 与 不独立，则 。 （ E)(）5、若 服从二维正态分布， 与 不相关与 与 相互独立等价。 （ (,)XYXYY）二、选择题（3 分 5）1、 对于任意两个事件 和 （ ）AB若 ，则 一定独立 若 ，则 一定独立.AB,.AB,若 ，则 一定不独立 若 ，则 有可能独立CD2、 设 相互独立，且 ， ，则 服从的分,XY(1,2)XN:(1,3)Y:2XY布为（ ）.A(1,8) .B(,4)NC2D103、 。

16、概率论与数理统计复习大纲第一章 随机事件与概率随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果样本空间 -随机试验 E 的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。基本概念必然事件-每次试验中必定发生的事件。 不可能事件 -每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含 AB相等 A=B对立事件，也称 A 的逆事件。

17、概率论与数理统计复习题一、填空题1设 , 则 = 。()0.5 ,()0.6PAB()PAB2设 由切比雪夫不等式知 .2EXDx2X3设总体 ， 未知，检验假设 的检验统计量为 ,N00:H。4已知， A, B 两个事件满足条件 ，且 ，则 )()(pAP)()(BP。5设一批产品有 12 件，其中 2 件次品，10 件正品，现从这批产品中任取 3 件，若用表示取出的 3 件产品中的次品件数，则 X2XP6同时抛掷 3 枚硬币，以 X 表示出正面的个数，则 X 的概率分布为 。7设随机变量 X 的概率密度为 用 Y 表示对 X 的 3 次独立重复,01)(他xxf观察中事件 出现的次数，则 。212Y8设随机变量 X B(2，p)，。

18、1概率论与数理统计期末复习篇第 1 章 随机事件及其概率（1）排列组合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(nPnm从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。)!(Cn（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排。

19、概率论与数理统计复习大纲第一章 随机事件与概率随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果样本空间 -随机试验 E 的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。基本概念必然事件-每次试验中必定发生的事件。 不可能事件 -每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含 AB相等 A=B对立事件，也称 A 的逆事件。