1、F-1概率论与数理统计复习大纲第一章 随机事件与概率随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果样本空间- 随机试验 E 的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。基本概念必然事件- 每次试验中必定发生的事件。 不可能事件-每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含 AB相等 A=B对立事件，也称 A 的逆事件互斥事件 AB=也称不相容事件A，B 相互独立 P(AB)=P(A
2、)P(B)例 1 事件 A，B 互为对立事件等价于（ D ）A、A，B 互不相容 B、A，B 相互独立 C、A B D、A，B 构成对样本空间的一个剖分例 2 设 P(A)=0，B 为任一事件，则（ C ）A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容事件的交 AB 或 AB事件的并 AB事件的差 A-B 注意： A-B = A = A-AB = (AB)-BB 例 1 设事件 A、B 满足 A =，由此推导不出 (D)BA、AB B、 C、A B=B D、AB=BA B例 2 若事件 B 与 A 满足 B A=B，则一定有 (B)A、A= B、AB= C、A = D、
3、B=B A事件之间的运算 A1,A2,An 构成的一个完备事件组( 或分斥)指 A1,A2,An 两两互不相容，且 Ai= i=1n运算法则交换律 AB=BA AB=BA结合律(A B) C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(A B) C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(B C)对偶律 = = A B A B A B A B 文氏图 事件与集合论的对应关系表记号 概率论 集合论 样本空间，必然事件 全集 不可能事件 空集 基本事件 元素A 事件 全集中的一个子集A A 的对立事件 A 的补集F-2AB 事件 A 发生导致事件 B 发生 A 是 B 的子集A=B 事件 A 与事
4、件 B 相等 A 与 B 相等AB 事件 A 与事件 B 至少有一个发生 A 与 B 的并集AB 事件 A 与事件 B 同时发生 A 与 B 的交集A-B 事件 A 发生但事件 B 不发生 A 与 B 的差集AB= 事件 A 与事件 B 互不相容（互斥） A 与 B 没有相同的元素古典概型的前提是= 1, 2, 3, n, n 为有限正整数，且每个样本点 i出现的可能性相等。古典概型P(A)= =A包 含 样 本 总 个 数样 本 点 总 数|A|例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为 1 个的事件 A1，最多为 2 个的事件 A2 的概率。解：每个球有 4 种放入法，3
5、 个球共有 43 种放入法，所以|=43=64。(1)当杯中球的个数最多为 1 个时，相当于四个杯中取 3 个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A 1|= C 3！=24；则 P(A1)=24/64 =3/8. (2) 43 当杯中球的个数最多为 2 个时，相当于四个杯中有 1 个杯子恰有 2 个球(C C )，另有一个杯子恰有 1 个球(C C )，所以|A 2|= C C C C =36；41 32 31 11 41 32 31 11 则 P(A2)=36/64 =9/16 例 2 从 1,2,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为 10 的概率 p1；(2)三数之积为 21 的倍数
6、的概率 p2。解：p 1= = , p2= = 121 314例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。解：设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y，那么，样本空间，S=(x,y)|0xa,0ya,0a-x-ya。而随机事件 A：”三段构成三角形”相应的区域 G 应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，几何概型前提是如果在某一区域任取一点，而所取的点落在 中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。若 A，则 P(A)= A的 度 量的 度 量解得 00)P(AB)P(B)P(A|B)表示事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。乘法公式：P(A
7、B)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中 P(A)0, P(B)0)一般有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中 P(AB)0)全概率公式：P(B)= P(B|Ai)P(Ai) 其中 A1,A2,An 构成 的一个分斥。ni=1贝叶斯公式：P(A k|B)= = P(B|Ak)P(Ak)P(B)应用题例 1 设两两相互独立的三个事件 A, B 和 C 满足条件：ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)0，则事件 A 与 B 独立 P(B|A)=P(B)2. 事件 A 与事件 B 独立事件 A 与事件 独立B 事件 与事件 B 独立事件 与事件 独立A A
8、B 事件 A1,A2,An 相互独立-指任意 k 个事件 Ai1,Ai2,Aik 满足 P(Ai1Ai2Aik)=P( Ai1)P(Ai2)P(Aik)，其中 k=2,3,n。可靠性元件的可靠性 P(A)=r系统的可靠性： 串联方式 P(A1A 2A n)=rn并联方式 P(A1A 2A n)=1-(1-r)n , 指在相同条件下进行 n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种 A 与 ；各次试验是相互独立；每A 次试验的结果发生的概率相同 P(A)=p, P( )=1-p。A 贝努里概型二项概率- 在 n 重独立试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 b(k;n,p)，则b(k;n,p)=
9、C pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)。 nk F-5第二章 随机变量与概率分布随机变量的分布函数分布函数定义：F(x)=Px, -a=1-F(a), Pa=1-F(a-0), 例 1.设随机变量的分布函数为 F(x)= , 0 xb )2)指数分布 exp()；密度函数 p(x)= 分布函数 F(x)= e-x x00 x1 时，-+ 0x fX(x)=0; 所以 fX(x)= 。同理当 0y1 时，f Y(y)= 8xydx=4y(1-y2), 其它情况 fY(y)=0, 所以4x3 0x10 其 他 ) y1 关于 Y 的边缘概率密度 fY(y)= . 因为当 0x1, 0
10、y1 时，f(x,y) fX(x)fY(y)，所以4y(1-y2) 0x10 其 他 )X 与 Y 不独立。几条结论：1. XP(1), YP(2), 若 X 与 Y 相互独立，则 X+YP(1+2);2. XN(1,12), Y N(2,22), X 与 Y 相互独立，则 X+Y N(1+2,12+22);3.(卷积公式) 设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为 f(x,y)，关于 X,Y 的边缘概率密度分别为 fX(x), fY(y)，设 X 与 Y 相互独立，则 Z=X+Y 的概率密度为 fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx= f(x, -+ -+ z-x)dx 或 fZ(
11、z)= fX(z-y)fY(y)dy= f(z-y, y)dy.-+ -+ 两个随机变量的函数的分布例 1:已知的联合概率分布为 , 求 (1)X+Y 的概率分布；(2)XY 的概率分布。X|Y 0 1 20 1/4 1/10 3/101 3/20 3/20 1/20解：令 Z1=X+Y，则 Z1 的加法表为 ,令 Z2=XY，则 Z2 的乘法表为 ,X+Y 0 1 20 0 1 21 1 2 3 XY 0 1 20 0 0 01 0 1 2(1) Z1 的分布律为 , 即Z1 0 1 2 3P 1/4 3/20+1/10 3/20+3/10 1/20 Z1 0 1 2 3P 1/4 5/20
12、 9/20 1/20(2) Z2 的分布律为 , 即 Z1 0 1 2P 1/4+3/20+1/10+3/10 3/20 1/20 Z1 0 1 2P 4/5 3/20 1/20例 2:设随机变量 X,Y 相互独立，且都服从0,1 上的均匀分布，求 X+Y 的概率密度。解：XU0,1, YU0,1, 所以 Z=X+Y 在有效区间0,2上取值。利用卷积公式得到fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx。 积分变量的有效区域为 0x1, 0z-x1 0xz, z-1x1.-+ 当 0z1 时，f Z(z)= 11dx=z; 当 10kk! 均匀分布 Ua,bp(x)=1b-a axb0 其 他 )
13、a+b2 (b-a)212几何分布XGe(p) 分布列为 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 1p 1-pp2超几何分布X h(n,N,M) PX=k= k=0,1,2,3, minM,nnMN nM(N-M)(N-n)N2(N-1)指数分布 exp() p(x)=e-x x00 xx(k) )本分布函数。四大抽样分布1) 正态分布 XN(,2) 性质：若 XN(,2), Y=aX+b, 则 YN(a+b,a22)若 XN(1,12), YN(2,22) 且 X,Y 相互独立，则 X+YN(1+2, 12+22)。若 XN(0,1)，当 PXx1= 记 x1=u(或 z
14、).( 称为上侧分位数)2) 2 分布-若 X1,X2,Xn 是相互独立的随机变量，且 XiN(0,1) (i=1,2,n)， 则2=X12+X22+Xn2 服从自由度为 n 的 2 分布，记为 2(n)。若 X2(n)，当 PXx1= 记 x1=21- .若 X2(m), Y2(n) 且 X,Y 相互独立，则 X+Y2(m+n)。3) t-分布 - 设 XN(0,1), Y2(n), 且 X,Y 相互独立，则随机变量 T= 服从自由度为 n 的 t 分布，XY/n简记为 Tt(n)。若 Tt(n)，当 PTt1= 记 t1=t(n) 注意 t-分布的密度函数关于 y 轴对称。.4) F 分布
15、- 设 X2(m), Y2(n), 且 X,Y 相互独立，则随机变量 F= 服从自由度为(m,n)的 F 分X/mY/n布，简记为 FF(m,n)。若 FF(m,n)，当 PFx1= 记 x1=f(m,n) 。 若 FF(m,n)，则 F(n,m), 即 F(n,m)= 1F 1F1-(m)正态总体的有关定理单个正态总体 双正态总体F-23单个正态总体设 XN(,2)，X 1,X2,Xn 为样本， = Xi , X 1nni=1Sn2 = , S2 = 则1n 1n-11. N( , ), 即 N(0,1)X 2n2. = = 2(n-1)nSn22 (n-1)S22 123. 与 Sn2 相
16、互独立；X 4. T= = t(n-1)设两个正态总体 XN(1,12), YN(2,22)，X1,X2,Xn1 为 X 的样本, Y 1,Y2,Yn2 为 Y 的样本，X 与 Y 相互独立，记 = Xi , S12 = , X 1n1n1i=1 1n1-1= Yi , S22 = 则Y 1n2n2i=1 1n2-11. N(0,1) 2. 当 12=22 时，T= n1n2(n1+n2-2)n1+n2 t (n1+n2-2)3. F= = F(n1-1, n2-1)S12/12S22/22 S12S222212F-24几条结论与例1.设 X1,X2,Xn 为 X 样本， 为样本均值。若 XN
17、(,2)，则 N(,2/n)；若总体 X 的分布未知，X X 则 的渐近分布为 N(,2/n), 其中 =EX, 2=DX 。X 2. 样本方差 S2 = = Xi2 - n 2 ， 且 E(S2)= 2 .1n-1 ni=1 X 3. k 阶原点矩 ak= Xik，k 阶中心矩 bk= (Xi- )k .1nni=11nni=1 X 4. 极小顺序统计量 x(1)=minx1,x2,xn，极大顺序统计量 x(n)=maxx1,x2,xn，x(1)的密度函数 f1(x)=n(1-F(x)n-1f(x)， x(n)的密度函数 fn(x)=nFn-1(x)f(x)。例 1：设总体 XN(0,1)，
18、X 1,X2,Xn 为 X 样本(n3)，则以下统计量的分布中正确情况如何A、 2(n) B、 N(0,1) C、 t(n-1) D、 F(2, n-2)ni=1xi21nni=1xi 答案：A、C、D 正确，但 B 不正确，应为 N(0,1/n) 1nni=1xi例 2：设 X1,X2,X25 为总体 X 样本，XU(0,5)， 试求样本均值 的渐近分布。X 解： 的渐近分布为 N(,2/n), 其中 =EX, 2=DX 。X 本题中，=EX=(0+5)/2=5/2 , 2=DX=(5-0)2/12 = 25/12, 2/n=1/12 .于是 的渐近分布为 N(5/2, 1/12) , X
19、例 3：设总体 X 二阶矩存在， X1,X2,Xn 为 X 样本，证明 Xi- 与 Xj- (ij)的相关系数为 (n-1)-X X 1。证：设 DX=2, D =2/n, 注意 cov(Xi,Xj)=0 (ij). cov(Xi , )= cov(Xi,Xi)= 2 ,X X 1n 1n计算 D(Xi- )= D(Xi)+ D( )-2cov(Xi, ) = 2+ 2 2cov(Xi , Xi)= 2+ 2 2 = 2 , X X X 1n 1n 1n 2n n-1n同样 D(Xj- )= 2 。 而 cov(Xi- , Xj- )= cov(Xi, Xj) cov(Xi, )cov( ,
20、Xj)+ cov( , )=X n-1n X X X X X X = 0- 2 cov(Xi, )+D( ) = 2 + 2= 2 ,X X 2n 1n 1n所以 Xi- 与 Xj- (ij)的相关系数= = = - X X -2/n(n-1)2/n 1n-1例 4.设总体 XN(,2)，已知样本容量 n=24，样本方差 s2=12.5227，求总体标准差大于 3 的概率。解：因为 2(n-1)，由题意得到 2(23)，(n-1)S22 2312.52272P3= P29= P 32.00=0.1。所以 P3= P232.00=1-0.1=0.9则总体标准差大于 3 的概率为 0.9 。 例
21、5.设总体 X 服从正态分布 N(0,22)，而 X1,X2,X15 是来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量 F-25Y= 服从 分布，参数为 。 解: 注意 Xi/2 N(0,1).,x12+x1022(x112+x152)令 U=( )2+( )2+( )2 , 则 U2(10) 令 V=( )2+( )2+( )2 , 则 U2(5).x12 x22 x102 x112 x122 x152令 F= F(10,5), 又 F= = = Y, 所以 YF(10,5) U/10V/5 U/10V/5 x12+x1022(x112+x152)F-26第七章 参数估计参数的矩估计法的基本思想：
22、将 k 阶样本矩 Ak= Xik 作为总体 k 阶矩 k=EXk 的估计量，算1nni=1出未知参数的估计值。矩估计法例 1：设总体 XU0,，为未知参数，求的矩估计量。解：总体 1 阶矩为 1=EX=/2，1阶样本矩为 A1= Xi= ，将 A1 代1nni=1 X 替 1 得到的矩估计 =2 X 例 2：设总体 X 的密度函数：其中 为未知参数p(x)= ，试求 的矩估计。x-1 x0;10 x 0;1 )解：总体 1 阶矩为 1=EX= xx-1dx = ,1 阶01 +1样本矩为 A1= Xi= ，A 1 代 1 得的矩估计 = 1nni=1 X 点估计极大似然估计法极大似然估计法的基
23、本思想 似然函数 L= L(x1,xn; 1,2,k)= p(xi;1,2,k)ni=1当 L(x1,xn; 1, 2, k) = L(x1,xn; 1,2,k)， 则称sup 1, 2, k 是 1,2,k 的极大似然估计， 极大似然估计的求法第一步：求出似然函数 L(x1,xn; 1,2,k)；第二步：求 lnL; 令 (i=1,2,k)，称lnLi为似然方程组；第三步：从似然方程组中求解出1,2,k 的极大似然估计 1, 2, k。 注意：不是所有的极大似然估计都是似然方程组的解。例 1：总体 X 的密度函数 p(x)：X 1,X2,Xn 为样本，p(x)= ，其中为未知参数，试求 e-
24、x x00 x0，均有P | n- | ，不合题意，所以最大似然估计值 L= 71312 7+ 1312 12 7- 1312F-30参数的区间估计方法：对于给定的(01)，满足 P 1-，称随机区间( , )为的置信水平为的置信区间，称为置 信下限， 为置信上限，1-为置信水平。 均值的置信区间1. 正态总体 XN(,2)，且方差 2 已知，均值的置信水平为 1-的置信区间：( - u/2 , +u/2 )X n X n2. 正态总体 XN(,2)，且方差 2 已未，均值的置信水平为 1-的置信区间：( - t/2(n-1) , +t/2(n-1) )X Sn X Sn3. 两个正态总体 X
25、N(1,12), YN(2,22)，且 X 与 Y 相互独立，方差 12, 22 已知，均值 1-2 的置信水平为 1-的置信区间： ( - - u/2 , - +u/2 )X Y 12n1 +22n2 X Y 12n1 +22n24. 两个独立正态总体 XN(1,12), YN(2,22)，且方差 12, 22 未知但相等，均值 1-2 的置信水平为 1-的置信区间： - t/2(n1+n2-2)X Y (n1-1)S12+(n2-1)S22 n1+n2n1n2(n1+n2-2)方差的置信区间5. 正态总体 XN(,2)，方差 2 的置信水平为 1-的置信区间： ( , (n-1)S22/2(n-1)(n-1)S221-/2(n-1)6. 两个独立正态总体 XN(1,12), YN(2,22)， 的置信水平为 1-的置信区间：1222( , )1f/2(n1-1)S12S22 1f1-/2(n1-1)S12S22
