1、概率论与数理统计第一章随机事件及其概率1.1随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：1.2概率A所含样本点数古典概型公式：P（ A ）= 实用中经常采用“ 排列组合 ”的方法计算所含样本点数补例 1 ：将 n 个球随机地放到n 个盒中去， 问每个盒子恰有1 个球的概率是多少？解：设 A ：“每个盒子恰有 1 个球”。求： P(A)= ？所含样本点数：n n . nn n所含样本点数： n(n1)(n2) . 1 n! P( A)补例 2 ：将 3 封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为概率各是多少？解：设 Ai ：“信箱中
2、信的最大封数为 i。” (i =1,2,3)求： P(A i)= ？所含样本点数：4444364A1 所含样本点数：4 3 224P( A1)243648A 2 所含样本点数：C324 336369P(A2 )6416A 3 所含样本点数：C33 4441P(A3 )6416注：由概率定义得出的几个性质：1、 0P （A ） 12、 P( )=1 ， P( ) =0n!nn1 、 2、 3 的1.3概率的加法法则定理：设 A 、 B 是互不相容 事件（ AB= ），则：P（ AB） =P（ A ）+P （ B）推论 1 ：设 A 1、 A 2、An 互不相容，则P(A 1 +A 2+.+ A
3、n)= P(A 1) + P(A 2) + + P(A n )推论 2 ：设 A 1、 A 2、An 构成完备事件组，则P(A 1 +A 2+.+ A n)=1推论 3 ： P （ A） =1 P（ A ）推论 4 ：若 BA ，则 P(B A)= P(B) P(A)推论 5 （广义加法公式） ：对任意两个事件A 与 B ，有 P(A B)=P(A)+P(B) P(A B)补充对偶律：A1A2.AnA1A2.AnA1A2.AnA1A2.An1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式： P(A/B)=P( AB) （P(B) 0） P(B/A)=P( AB) （ P(A) 0 ）P( B)P( A)
4、P （ AB ） =P（ A/B） P （B ） = P （ B / A ）P （ A）有时须与 P （ A+B ） =P （A ） +P（ B） P（ AB ）中的 P（ AB ）联系解题。全概率与逆概率公式：n全概率公式：P( B)iP( Ai ) P(B / Ai)1P( Ai / B)P( Ai B)(i1,2,., n)逆概率公式：P (B)（注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做， 如果要求第二步某事件的概率， 就用全概率公式； 如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）1.5 独立试验概型事件的独立性： A与 B相互独立P( AB)P(
5、 A) P( B)贝努里公式（ n 重贝努里试验概率计算公式）： 课本 P24另两个解题中常用的结论1、定理：有四对事件：A 与 B 、A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B ，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。2、公式： P( A1A2.An )1P(A1 A2. An )第二章随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1 、求分布列：确定各种事件，记为写成一行；计算各种事件概率，记为p k 写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意：应符合性质 1、 p0（非负性）2 、pk1（可加性和规范性）kk补例 1 ：将一颗骰子连掷2 次，以表示两次所得结果之和，试写出的概率
6、分布。解：所含样本点数： 66=36所求分布列为：pk补例 2 ：一袋中有5 只乒乓球，编号1， 2， 3， 4 ， 5，在其中同时取3 只，以表示取出3只球中最大号码，试写出的概率分布。解：所含样本点数：C 53=10所求分布列为：3452、求分布函数F(x) ：p k1/103/106/10分布函数F ( x)Pxpkxk x二、关于连续型随机变量的分布问题：xxR，如果随机变量的分布函数 F（ x）可写成 F（ x） =( x) dx ，则 为连续型。( x) 称概率密度函数。解题中应该知道的几个关系式：( x)0( x) dx1P abP ab F (b)F (a)b(x)dxa第三章
7、随机变量数字特征一、求离散型随机变量的数学期望E=？数学期望（均值）Exk pkk二、设为随机变量， f(x) 是普通实函数，则 =f( )也是随机变量，求E=?x1x2xkpkp1p 2pk= f( )y1y2yk以上计算只要求这种离散型的。补例 1 ：设 的概率分布为： 10125112pk133510101010求：1，2E。的概率分布；解：因为 101252pk11133510101010= 210132=1014254所以，所求分布列为：= 2 10132pk11133510101010和：=101425114pk133510101010当= 1 时， E=E （ 1 ）= 2 1
8、+( 1) 1 +0 1 +1 3 + 3 35101010210=1/4当=时， E=E =1 1+0 1+1 1+4 3+25 35101010410=27/8三、求或的方差 D=？D=？实用公式 D = E 2 E 2其中， E2= (E)2= ( xk pk )2kE2=x2k pkk补例 2 ： 202p k0.40.30.3求： E和 D解： E= 2 0.4+0 0.3+2 0.3= 0.2E2 =（ 2） 20.4+0 20.3+2 20.3=2.8D= E2 E2=2.8 （ 0.2 ） 2=2.76第四章几种重要的分布常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）名称概率分布
9、或密度期望方差二项分Pk Cnk pk qn kn pn p q布( k0,1,2,., n)1( x)2( x)2正态分2e2,2布x (，). ， 为常数 .泊松分不要求布指数分不要求11布2解题中经常需要运用的E和 D的性质（ 同志们解题必备速查表）E的性质D的性质参数范围0P000E(c)cD (c)0若 、 独立，则E()EED ()DD若 、 独立，则E()EEE(c ) c ED (c ) c2 D第五章 参数估计8.1 估计量的优劣标准（以下可作填空或选择 ）若总体参数的估计量为?，如果对任给的 0，有lim P ? 1 ，则称 ?是的一致估计；n如果满足 E ( ?)，则称
10、?是的无偏估计； 如果 ?1 和 ?2 均是的无偏估计， 若 D( ?1 )D( ?2 ) ，则称 ?1 是比 ?2 有效的估计量。8.3区间估计 ：几个术语1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量?1 ( x1，.，xn) 及2( 1.n )（01 ）满足：?x ，x，对于给定的P?x ，x?x ，x1 (1 .n )2 (1.n ) 1则称随机区间（?1 ， ?2 ）是的 100 （1 ）的置信区间，?1 和 ?2 称为的 100（1 ）的置信下、上限，百分数100 （ 1）称为置信度。一、求总体期望（均值）E 的置信区间1、总体方差2已知的类型据，得0U) 1，反查表（课本
11、P260 表）得临界值 U ；(2 x =1nxi求 d= Ux -d ， x +d ）n i 1n置信区间（补简例：设总体 X N (,0.09) 随机取 4 个样本其观测值为12.6 ，13.4 ，12.8 ，13.2 ，求总体均值的95% 的置信区间。解：1 =0.95 ，=0.05（U ） =1 =0.975 ，反查表得： U=1.962141(12.6 13.412.813.2) 13 XX i44 i 1=0.3 ，n=4d= U= 1.960.3=0.29n4所以，总体均值的 =0.05 的置信区间为：（ X d ， X d） =（ 13 0.29 ，13 0.29 ）即（ 12
12、.71 ， 13.29 ）2、总体方差2未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！）据 和自由度 n 1（ n 为样本容量），查表（课本P262 表）得 t (n1) ；1nxi1n和 s2xi ) 2确定x=n i( x1n1 i 1求 d= t(n1)s置信区间（x -d ， x +d ）n注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。二、求总体方差2的置信区间据和自由度 n 1 （ n 为样本数），查表得临界值：2 (n1) 和2(n1)2121nxi1ns2) 2确定 X= n i和( Xx1n1 i 1i(n 1)s2(n1) s2上限2( n1)下限2(n1)122置信区间（下限，上
13、限）典型例题：补例 1 ：课本 P166 之 16已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10 个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm 2） :482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（0.04 ）。解：=0.04 ，又 n=10 ，自由度 n 1=9查表得，2 (n1) =02.02 (9) =19.722(n1) =0.298 (9) =2.531102 X =1xi=1 ( 482493 . 469) =457.510 i 110s21 10( Xxi )2=1 (457.5482)2+ (457.5493) 2
14、+ + ( 457.5 469) 29 i 19=1240.28( n1)s29s291240.28上限2(n1) =0.298 (9)=2.53=4412.0612(n1)s29s291240.28下限2 (n1) =02.02 (9) =19.7=566.632所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63 ， 4412.06）第六章假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：1、提出待检假设H 0 2、选择统计量3、据检验水平，确定临界值4 、计算统计量的值 5、作出判断2检验类型：未知方差，检验总体期望 (均值 )根据题设条件，提出 H 0: =0 (0
15、已知 )；选择统计量 TX t (n1) ；s /n据 和自由度 n 1（ n 为样本容量），查表（课本P262 表）得 t (n 1) ；由样本值算出 X ？和 s ？从而得到T0X；s/n若 T0t(n1)，则接受 H 0作出判断若 T0t(n1)，则拒绝 H 0典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查 5个，得到爆破压力的数据 （公斤 /寸 2）为： 545 ， 545 ， 530 ，550 ，545 。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549 公斤 /寸 2，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（X t( n 1)=0.05 ）解：
16、 H0 := 549 选择统计量 Ts/n =0.05 ， n 1=4 ，查表得： t0.05 (4)=2.776 又 X =1(545 . 545) =5435s2=61 ( 545 545) 2. (543 545) 2 =57. T0X543 549=1.772.774s/ n57.5 / 5接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。2检验类型：未知期望(均值 )，检验总体方差根据题设条件，提出 H 0: =0 (0 已知 )；选择统计量2(n 1)(n1)s22；和自由度 n 1（ n 为样本容量），查表（课本P264 表）得临界值：2(n1)据12和2(n1) ；2X
17、 ？和 s？从而得到2(n(n1)s2由样本值算出01)2；若21(n1) 02 (n 1)2(n1) 则接受假设，否则拒绝!222补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差=64 ，今从一批产品中抽 10根作折断力试验， 试验结果 （单位： 公斤）：578 ，572 ，570 ，568 ，572 ，570 ，572 ， 596 ， 584 ， 570 。是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64？（=0.05 ）解：H0:=642(n(n1)s2选择统计量1)2 =0.05 ， n 1=9 ，查表得：2(n 1) =2(9) =2.72(n1) =10. 97522又1(57
18、8 .570) =575.2s 2 =1 ( 575.2578) 2X =10902 (n 1)9 75.73 10.6520.975 (9) =2.76420.025 (9) =19.(575.2570) 2 =75.730 2 (n1)10.65 0 ，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，P( A)（ 13 ）乘法公式（ 14 ）独立性（ 15 ）全概公式（ 16 ）贝叶斯公式事件 B 发生的条件概率，记为P( B / A)P( AB) 。P( A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( /B)=1P( B /A)=1-P(B/A)乘法公式：P( AB)P
19、( A) P(B / A)更一般地，对事件A1， A 2， A n，若 P(A 1 A2 A n-1 )0 ，则有P( A A A) P( A )P( A| A )P( A| A A) P( A| A A21 2n12131 2n1An 1) 。两个事件的独立性设事件 A 、B 满足 P( AB )P( A)P( B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。若事件 A 、 B 相互独立，且P( A)0 ，则有P( AB )P( A)P( B)P( B)P( B | A)P( A)P( A)若事件 A 、 B 相互独立， 则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。必然事件和不可能事件? 与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独
