1、概率论与数理统计复习大纲第一章 随机事件与概率随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果样本空间 -随机试验 E 的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。基本概念必然事件-每次试验中必定发生的事件。 不可能事件 -每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含 AB相等 A=B对立事件，也称 A 的逆事件互斥事件 AB= 也称不相容事件A，B 相互独立 P(AB)=P(A)P
2、(B)例 1 事件 A，B 互为对立事件等价于（ D ）A、A，B 互不相容 B、A，B 相互独立 C、AB D、A，B 构成对样本空间的一个剖分例 2 设 P(A)=0，B 为任一事件，则（ C ）A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容事件的交 AB 或 AB事件的并 AB事件的差 A-B 注意： A-B = A= A-AB = (A B)-BB 例 1 设事件 A、B 满足 A =，由此推导不出 (D)BA、AB B、 C、AB=B D、AB=BA B例 2 若事件 B 与 A 满足 B A=B，则一定有 (B)A、A= B、AB= C、A = D、B=B
3、A事件之间的运算 A1,A2,An 构成 的一个完备事件组( 或分斥)指 A1,A2,An 两两互不相容，且 Ai= i=1n 运算法则交换律 AB=BA AB=BA结合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A (BC) 分配律(AB)C=(AC) (BC) (AB)C=(AC)(BC)对偶律 = = A B A B A B A B 文氏图 事件与集合论的对应关系表记号 概率论 集合论 样本空间，必然事件 全集 不可能事件 空集 基本事件 元素A 事件 全集中的一个子集A A 的对立事件 A 的补集AB 事件 A 发生导致事件 B 发生 A 是 B 的子集A=B 事件 A 与事件 B 相等 A
4、 与 B 相等AB 事件 A 与事件 B 至少有一个发生 A 与 B 的并集AB 事件 A 与事件 B 同时发生 A 与 B 的交集A-B 事件 A 发生但事件 B 不发生 A 与 B 的差集AB= 事件 A 与事件 B 互不相容（互斥） A 与 B 没有相同的元素古典概型的前提是 =1, 2, 3, n, n 为有限正整数，且每个样本点 i 出现的可能性相等。古典概型P(A)= =A包 含 样 本 总 个 数样 本 点 总 数 |A|例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为 1 个的事件 A1，最多为 2 个的事件 A2 的概率。解 ：每个球有 4 种放入法，3 个球共有
5、 43 种放入法，所以|=4 3=64。(1)当杯中球的个数最多为 1 个时，相当于四个杯中取 3 个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A 1|= C 3！=24 ；则 P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为43 2 个时，相当于四个杯中有 1 个杯子恰有 2 个球(C C )，另有一个杯子恰有 1 个球41 32 (C C )，所以|A 2|= C C C C =36；则 P(A2)=36/64 =9/16 31 11 41 32 31 11 例 2 从 1,2,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为 10 的概率 p1；(2) 三数之积为 21 的倍数的概率
6、 p2。解 ：p 1= = , p2= = 121 314例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。解 ：设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y，那么，样本空间，S=(x,y)|0xa,0ya,0a-x-ya。而随机事件 A：”三段构成三角形”相应的区域 G 应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，几何概型前提是如果在某一区域 任取一点，而所取的点落在 中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。若 A，则 P(A)= A的 度 量的 度 量解得 00)P(AB)P(B)P(A|B)表示事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。乘法公式：P(A
7、B)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中 P(A)0, P(B)0)一般有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中 P(AB)0)全概率公式：P(B)= P(B|Ai)P(Ai) 其中 A1,A2,An 构成 的一个分斥。ni=1贝叶斯公式：P(A k|B)= = P(B|Ak)P(Ak)P(B)应用题例 1 设两两相互独立的三个事件 A, B 和 C 满足条件：ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)0，则事件 A 与 B 独立 P(B|A)=P(B)2. 事件 A 与事件 B 独立 事件 A 与事件 独立B 事件 与事件 B 独立 事件 与事件 独立A
8、A B 事件 A1,A2,An 相互独立-指任意 k 个事件 Ai1,Ai2,Aik 满足 P(Ai1Ai2Aik)=P( Ai1)P(Ai2)P(Aik)，其中 k=2,3,n。可靠性元件的可靠性 P(A)=r系统的可靠性： 串联方式 P(A1A 2A n)=rn并联方式 P(A1A 2A n)=1-(1-r)n , 贝努里概型指在相同条件下进行 n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种 A 与 ；各次试验是相互独立；每次试验的结果发A 生的概率相同 P(A)=p, P( )=1-p。A 二项概率-在 n 重独立试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 b(k;n,p)，则b(k;n,p)=
9、 C pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)。nk 第二章 随机变量与概率分布随机变量的分布函数分布函数定义：F(x)=Px, - a=1-F(a), Pa=1-F(a-0), 例 1.设随机变量 的分布函数为 F(x)= , 则 0 xb )2)指数分布 exp()；密度函数 p(x)= 分布函数 F(x)= e-x x00 x1 时，f X(x)=0; 所以 -+ 0x fX(x)= 。同理当 0y1 时，f Y(y)= 8xydx=4y(1-y2), 其它情况 fY(y)=0, 所以关于 Y 的边缘概率密度 fY(y)= 4x3 0x10 其 他 ) y1 . 因为当 0x1,
10、 0y1 时，f(x,y) fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立。4y(1-y2) 0x10 其 他 )几条结论：1. XP(1), YP(2), 若 X 与 Y 相互独立，则 X+YP(1+2);2. XN(1,12), Y N(2,22), X 与 Y 相互独立，则 X+Y N(1+2,12+22);3.(卷积公式) 设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为 f(x,y)，关于 X,Y 的边缘概率密度分别为 fX(x), fY(y)，设 X 与 Y 相互独立，则 Z=X+Y 的概率密度为 fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx= f(x, z-x)dx 或 fZ(z)=
11、 fX(z-y)fY(y)-+ -+ -+ dy= f(z-y, y)dy.-+ 两个随机变量的函数的分布例 1:已知的联合概率分布为 , 求(1)X+Y 的概率分布；(2)XY 的概率分布。X|Y 0 1 20 1/4 1/10 3/101 3/20 3/20 1/20解 ：令 Z1=X+Y，则 Z1 的加法表为 ,令 Z2=XY，则 Z2 的乘法表为 ,X+Y 0 1 20 0 1 21 1 2 3 XY 0 1 20 0 0 01 0 1 2(1) Z1 的分布律为 , 即Z1 0 1 2 3P 1/4 3/20+1/10 3/20+3/10 1/20 Z1 0 1 2 3P 1/4 5
12、/20 9/20 1/20(2) Z2 的分布律为 , 即 Z1 0 1 2P 1/4+3/20+1/10+3/10 3/20 1/20 Z1 0 1 2P 4/5 3/20 1/20例 2:设随机变量 X,Y 相互独立，且都服从0,1上的均匀分布，求 X+Y 的概率密度。解 ：XU0,1, YU0,1, 所以 Z=X+Y 在有效区间0,2上取值。利用卷积公式得到fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx。 积分变量的有效区域为 0x1, 0z-x1 0xz, z-1x1.-+ 当 0z1 时，f Z(z)= 11dx=z; 当 10kk! 均匀分布 Ua,bp(x)=1b-a axb0 其
13、他 )a+b2 (b-a)212几何分布 XGe(p) 分布列为 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 1p 1-pp2超几何分布X h(n,N,M) PX=k= k=0,1,2,3, minM,nnMN nM(N-M)(N-n)N2(N-1)指数分布 exp() p(x)=e-x x00 x0 ) 1 12正态分布 N(,2)p(x)= e (-x+ )12 -(x-)222 2二维正态分布N(1,12,2,22,)p(x,y)= exp- - 12121-2 12(1-2)(x-1)212+ 2(x-1)(y-2)12 (y-2)222 E=1E=2 D=12D=22第
14、五章 大数定律及中心极限定理切比雪夫不等式切比雪夫不等式：P|-E | , P|-E| 1 - D2 D2例 1：设随机变量 1, 2, 3，独立同分布，且 i 服从参数为 的指数分布，i=1,2,3 ，试根据切比雪夫不等式证明：P01+2+36/2/3 .证 ： iexp(), EI=1/; 令 X=1+2+3 ,则 EX=E(1+2+3)=3/，DX=D( 1+2+3)=3/2.P01+2+36/= P0X6/= P-3/X-3/3/= P|X-3/|3/1 - = 1- = 1- = DX2 3/2(3/)2 39 23例 2：已知随机变量 X 的期望 E(X)=100，方差 D(X)=
15、10，估计 X 落在(80,120) 内的概率。解 ：P80X120= P-20X-10020= P|X-E(X)|20 1 - = 1 - = 0.975. DX202 10400大数定律切比雪夫大数定理：设随机变量 X1,X2,Xn 相互独立，分别具有数学期望与方差，且方差一致有上界，则对任意给定正数 ，恒有 P| | = 1。lim n 1nni=1xi 1nni=1Exi伯努利大数定理：设 nA 是在 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对任意给定正数 ，恒有 P| - p|= 1 (或 P| - p| = 0)lim n nAn lim
16、 n nn辛钦大数定理：设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 EXk=，则对任意给定正数，恒有 P| | = 1lim n 1nni=1xi中心极限定理棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：设随机变量 Yn (n=1,2,3,)服从参数为 n, p 的二项分布，即 YnB(n,p)，则对任意实数 x，恒有 P x= (x) = e dt e dtlim n Yn-npnpq -x 12 -t22 ab 12 -t22 这一定理说明，服从二项分布 B(n,p)的随机变量 Yn 作标准化后的随机变量 的极限分布是标准正态分布Yn-npnpqN(
17、0,1)。中心极限定理(林德贝格-勒维) ：设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 EXk=，和方差 D(Xk)=20，随机变量 Yn=( -n)/ 的分布函数为 Fn(x)，则对任意实数 x，恒有 Fn(x)= nk=1xk n lim nPYnx= (x) = e dtlim n -x 12 -t22 这一定理说明， 的标准化随机变量 Yn=( -n)/ 的极限分布是标准正态分布 N(0,1)。nk=1xknk=1xk n中心极限定理的用例 1：某计算机系统由 120 个终端，每个终端在 1 小时内平均有 3 分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立
18、的，求至少由 10 个终端同时使用打印机的概率。解 ：设 X 为同时使用打印机的终端的个数，则 XB(120,p)，这里 p=3/60=0.05。E(X)=np=1200.05=6, D(X)=npq=60.95=5.7 。则 PX10=1 PX10=1 PX10=1 P 利用中心极限定理上式近似等于 X-65.7 10-65.7=1-(1.6754)=1- 0.9621=0.0379. 即至少由 10 个终端同时使用打印机的概率为 0.0379 例 2：在抛硬币的试验中，至少抛多少次, 才能使正面出现的频率落在(0.4, 0.6) 区间的概率不小于 0.9？解 ：设共进行次试验，X 为出现正
19、面的次数，则 XB(N,p)，这里 p=1/2=0.5。E(X)=np=0.5N, D(X)=npq=0.25N 。所求的为 P0.4X/N0.60.9。 将 X 标准化 P0.4X/N0.6= P0.4NX0.6N = P = P-0.2 0.2 2(0.2 ) 1 0.90.4N-EXDX X-EXDX 0.6N-EXDX NX-EXDX N N(0.2 )0.95, 查表 (1.645)=0.95，则 0.2 1.645 N 67.65， 即至少抛 68 次才能满足要求。 N N例 3：设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为-0.5 ，
20、则根据切比雪夫不等式 P|X+Y|6 . 解: E(X+Y)=EX+EY= -2+2=0, D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=1+4+2 = !+4+2(-0.5)12= 3,DXDY则根据切比雪夫不等式 P|X+Y|6= P|X+Y - E(X+Y)|6 = = D(X+Y)62 316 112例 4：生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克。若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977（(2)=0.977 ，其中 (x)是标准正态分布函数）解: 设 Xi
21、为第 i 箱重量(千克)， i=1,2,n。则 EXi=EX=50，DX i=50。令 Z= , 则 EZ=50n, DZ=25n. 要求 PZ50000.977,ni=1Xi利用中心极限定理 PZ5000= P =( )0.977Z-EZDZ 5000-50n5n 5000-50n5n因为 (2)= 0.977，所以 2 25n2-5001n+25000005000-50n5n n98. 每辆车最多可以装 98 箱，才能保障不超载的概率大于 0.977. 例 4：设随机变量 X1,X2,Xn 相互独立，S n=X1+X2+Xn, 则根据列维 -林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，Sn 近
22、似服从正态分布，只要 X1,X2,XnA、有相同的数学期望 B、有相同的方差C、服从同一指数分布 D、服从同一离散型分布解: 根据列维-林德伯格中心极限定理的条件，X 1,X2,Xn 必须独立同分布，所以不能选 A, B。又必须具有有限的数学期望和方差，故 D 不一定能保证此条件，应选 C。例 4：设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X 1,X2,Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n=依概率收敛于 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量1nni=1xi2X1,X2,Xn，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： (n1nni=1xi F 1nni=1Exi)。 【解】 这里 X12,X22,Xn2，满足大数定律的条件，且 EXi2=DXi+(EXi)2=1/4+(1/2)2= 1/2，因此根据大数定律有 Yn= 依概率收敛于 = .1nni=1xi2 1nni=1Exi2 12
