1、第 1 页 共 18 页概率论复习一、单项选择题1. 袋中有 个乒乓球,其中 个黄球, 个白球,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第50203二人取到黄球的概率是( B ).A. B. C. D. 155542. 设 为随机事件,且 , , .则 ( C ).A.0)(AP6.)(B)(AP80)(BPUA.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.83. 设随机变量 的分布函数为 ,则 的分布函数 为( C ).XxFX3YyFYA. B.)35(yF)(5yXC. D.X 14. 设二维随机变量 的分布律为),(YX0212031.则 ( A ). YXPA. B. C. D.3.
2、05.07.08.05. 设随机变量 与 相互独立,且 , ,则 ( D ).)(XD1)(Y)32(YXDA.0 B.1 C. D. 646. 设 , 未知,取样本 ,记 分别为样本均值和样本方差.检验:)(2N2 n,21 nS,应取检验统计量 ( C ).:,:10HA. B. C. D.82Sn)(2Sn4)1(26)1(2S7. 在 10 个乒乓球中,有 8 个白球,2 个黄球,从中任意抽取 3 个的必然事件是( B ).A. 三个都是白球 B. 至少有一个白球 C. 至少有一个黄球 D. 三个都是黄球8. 设 为随机事件,且 ,则下列式子正确的是( A ).BABA. B.)(PU
3、 )(APC. D.) B9. 设随机变量 ,已知标准正态分布函数值 ,为使 ,则常数4 1NX8413.08413.0aXP( C ).aA. B.1 C.2 D.3010. 设随机变量 的分布函数为 ,则 ( B ).),(Y)(yxF),(A. B. C. D.)XyFY111. 二维随机变量 的分布律为,第 2 页 共 18 页YX 011.2.34设 ,则下列各式中错误的是( D ).)0,(,jiYiXPijA. B. C. D.011P10P01P12. 设 , ,则 ( A ).)5(5.6B)2YXEA. B.0.1 C. D. 1.13. 在假设检验问题中，犯第一类错误的概
4、率 的意义是( C ).A.在 不成立的条件下,经检验 被拒绝的概率 B.在 不成立的条件下,经检验 被接受的概率0H0H0H0HC.在 成立的条件下,经检验 被拒绝的概率 D.在 成立的条件下,经检验 被接受的概率14. 设 X 和 Y 是方差存在的随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y),则( B )A、D(XY)=D (X) D(Y) B、 D(X+Y)=D(X) + D(Y) C、 X 和 Y 相互独立 D、 X 和 Y 相互不独立15. 若 那么 （ B ） ()tn21A、 ； B、 ； C、 ； D、1,F(,)F2()n()tn16. 设总体 服从正态分布 是来自 的样本，
5、的无偏估计量是X12,nNX X2（ B ）A、 ； B、 ； C、 ； D、21nii21nii21nii217、设随机变量 的概率密度为 ，则 （ B ）X2(1)()xfxeA、 服从指数分布 B、 C、 D、1E0X(0).5PX18、设 服从 ，则服从自由度为 的 分布的随机变量是（ B ）2N0， 1ntA、 B、 C、 D、nXSnXS2S2nS19、设总体 ，其中 已知， 未知， 取自总体 的一个样本，则下列选项2,123,XX中不是统计量的是 （ B ）A、 （ ） B、3123X )(2321C、 D、12max,X20、设随机变量 分布，则 等于 （ C ）1,0N(0)
6、PA、0 B、0.8413 C、0.5 D、无法判断第 3 页 共 18 页21、已知随机变量 ，且 ，则 的值分别为 （ D ）pnB,3,2ED,npA、 B、 C、 D、12,4np12,49,319,3np22. 设 是来自总体 X 的样本，EX= ，则（ D ）是参数 的最有效估计。31X（A） （B ）3216 321255X（C） （D）344323. 已知随机变量 服从二项分布，且 则二项分布的参数 的值为（ B ， pn，）A、 B、 6.04pn， 4.06pn，C、 D、38， 12，二填空1.设 ，则 40,077PXYPXYmax,0PXY572.已知 P(A)=0.
7、4,P(B)=0.3, ；().6,()AAB则 .33. ；),1)2,0且 则 2e4.设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中的概率为 0.4,则 ；2EX18.45.设随机变量 X 和 Y 的方差分别为 25 和 36，若相关系数为 0.4，则 D(XY) 37 ；6.若 X 和 Y 相互独立,且 XN(1,4),YN(0,3),则 _ N(2,43)_；23XY7. 用（ ）的联合分布函数 表示(,)Fxy； ,Pabc,bcaPbcPXaYc8. 已知随机变量 的均值 ，标准差 ，试用切比雪夫不等式估计：123；618X349.设 ， ， 的矩估计量是 ；2(,)
8、N12,nX 是 样 本 2 21()niiX10. 设 是来自正态总体 的样本，令 则当1234, (0,)N234,Y时 C8Y2()11、 “A、B、C 三个事件中至少发生了两个” ，可以表示为 。ABC12、随机变量 的分布函数 是事件 的概率。()Fxx第 4 页 共 18 页13、某校一次英语测验，及格率 80%，则一个班（50 人）中，不及格的人数 分布，X(50,.2)B=10 = 8 。EXDX14、设 为总体 的一个样本，若 且 ， ，则 _12n， ， ， 1niiXE2DEX_， _ _。 215、设随机变量 的数学期望为 、方差 ，则由切比雪夫不等式有XEXu2D_
9、_。2Pu1416、 “A、B、C 三个事件中恰好有一个发生” ，可以表示为 。ABC17、设 X 服从参数为 的泊松分布，且 ，则 =_ _。21XP218.设 的期望和方差分别为 和 ，则由切比雪夫不等式可估计 2)(34。19.设 是取自总体 的一个样本， 为样本方差，则nx,21 ),(2NXniiXS122)()(2Sn2(1)20. 已知 =0.4, =0.3，则当 A、B 互不相容时， = 0.7,， = 0 。当APBAPABPA、B 相互独立时， = 0.58 ， = 0.12 。 三、计算题1.设 ,求 与 .()0.5,().6,(|)0.8BP)(U()解： U, 7.
10、41.|1. A. ()()2PA2.有来自三个地区的各 名、 名和 名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 份、 份和 份.052 375随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份, 求先抽到的一份是女生表的概率 .p解：记 =报名表是第 个地区考生( ), =第 次抽到的报名表是男生( ),由题意iHi3,1ij 2,1j知( ), , )(iHP,2i 103)(1HAP, , 571A253由全概率公式,知第 5 页 共 18 页. 90251703)()(311 i iiHAPAPp3.设随机变量 的分布函数为 试求:(1) 的分布律; (2)X,3,18.,4)(xxFX.1|2P
11、解：(1) 的所有可能取值为 ,3 ,X)(F)0(4.0.,18,3 2.从而 的分布律为 X1 3P4.0.0(2) . 32)1(|2XP4.一大批种子,良种占 ,从中任选 5000 粒.试计算其良种率与 之差小于 的概率. %0 %21.961)7.(解：设 表示在任选 5000 粒种子中良种粒数,则 ,其中 , ,则)(pnBX，502.p, 810)( DnpE，由棣莫夫-拉普拉斯中心极限定理得,良种率与 之差小于 的概率为21)5()01.250( XPXP. 9607.1()8815.假设甲、乙两厂生产同样的灯泡,且其寿命 , .已知它们寿命的标准差)21N),(2Y分别为 8
12、4 小时和 96 小时,现从两厂生产的灯泡中各取 60 只,测得平均寿命甲厂为 1295 小时,乙厂为1230 小时,能否认为两厂生产的灯泡寿命无显著差异( )? 0.597506.解：建立假设 , .210:H21:在 为真时,统计量 . 12(,1)XYUn对于给定的显著性水平 ,查标准正态分布表,可得 ,从而拒绝域为0.5 1.960.25u.196|u又由 , , , , ,得 25x13y84196221n第 6 页 共 18 页, 21| 3.9516xyun故应拒绝 ,即认为此制造厂家的说法不可靠. 0H6.设二维随机变量 的联合分布律为),(YX10202.5.1.证明: 和
13、相互独立.XY证： 由联合分布律可求得 和 的边缘分布律分别为XY0 1 2P0.25 0.25 0.5和 Y-1 0 20.4 0.2 0.4直接验证可知对任何 ,有321,ji ,jiyYxXPixXPjyY成立,所以 和 相互独立. XY7.设随机变量 的分布律为012P3a求:(1)常数 ;(2) ;(3) ;(4)分布函数 .a21XP2X)(xF解：(1) 由 ,得 ; 316a(2) ; 3102(3) ; 61aXP(4) 由于 的所有可能取值为 故应分情况讨论: 2,1当 时, ;0x)(xxF0当 时,1;)(XP3第 7 页 共 18 页当 时,21x;)(xXPF10X
14、P2当 时,.)(x1从而 )(xF.2103xx， ， ， ，8.某批矿砂的 5 个样品中镍含量经测定为 :3.25,3.27, 3.24,3.26,3.24，假设镍含量的测定值服(%)X从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为 3.25( )? 01.6041.)(05.t解：检验假设 , . 5.3:00H23:01H当 成立时,统计量 . 0 0()/TtnS又 时,查表得 .于是 的拒绝域为5.64)(5.0t 0.),641.(),W经计算 , ,且 .于是 2.3x17.s5n, Wsxt 35.0/7.023所以接受 ,即可以认为这批矿砂的镍含量为 3.25. 0H9.设有三只
15、外形完全相同的盒子，甲盒中有 14 个黑球，6 个白球，乙盒中有 5 个黑球，25个白球，丙盒中有 8 个黑球 42 个白球，现在从三个盒子中 任取一盒，再从中任取一球；问（1）求取到黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它恰好是从乙盒来的概率是多少？ 解：设 B 表示黑球， 表示从第 i 个盒子取球（i=1,2,3）则iA123123714()(),(|),(|),(|)0625PAPBPAB显然， 构成样本空间的一个划分，,1）112212()(|)(|)(|)7470.3430635BA（2） 222()|)/8(| .16235PB10.设随机变量 的密度函数为X2,1()0elsAxfx
16、第 8 页 共 18 页求 :(1)常数 A; (2) (3)分布函数 F(x)；（ 4） ；1|;2PX(),EXD解：（1） 101() sin|AfxddarcAxA(2) 112221()()3PXfxddx(3) 0,1()sin12,Fxarcx（4） ()0EXfd2221()Dxf11.某电站供应 10000 户居民用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为 0.9， 若每户用电0.2 千瓦，问电站至少应具有多大的发电量，才能以 95%的概率保证居民用电。)(95061解：设 表示用电的用户数，需要至少有 k 千瓦发电量，则 ， ).,(901b， 90110901 .,.DE由中
17、心极限定理得： ，952kP即 0950.P95.)(k6510.k9180.k即需要供应 1809.9（或 1810）千瓦的电才能保证供应。12.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为： 2,10cxyfy其 他求：（1） 常数 c；（2）求边缘密度函数 ；（3）X 与 Y 是否独立(),XYfxy第 9 页 共 18 页解：（1） 214(,)3xcfxyddy-3 分34c（2） 2123(),1() ,40xXdyxf els123,()40yYdxyfels（3） 不独立(,)()XYfxyfy13.为了在正常条件下检验一种杂交作物的两种处理方案，在同一地块随机选择 8 块地
18、段。在各试验地段，按二种方案种植作物，这 8 块地段的单位面积产量是：一号方案：86,87,56,93,84,93,75,79；二号方案：80,79,58,91,77,82,74,66假设这二种方案的产量均服从正态分布，问：（1）这二种方案的方差有无明显差异？（2）这二种方案的均值有无明显差异？（ 均取 0.05） 。 ； ； ；0.5(7,)4.9F0.25(8,)4.3F0.2514.8t0.2516.9t解： 在 下检验：设两种产量分别为 ，且设,xy221(,)(,)Ny(1)先在 下检验：05.； 22011:,:H取检验统计量为： ， 2sF则拒绝域为： 121222(,)(,)C
19、nFn 或已知 ，经计算得：128,0.5n-4 分22211 45.69.6,7.,4.69,10.5, 1.20sxyss， 0.25(,)4.9,F0.750.25(,)(7,).F由于检验统计量的观察值 1.4266 没有落在拒绝域中,故接受原假设 H0,即可以认为两个总体的方差没有显著差异； (1)再在 下检验：.第 10 页 共 18 页01212:,:0H取检验统计量为： ，其中 ； 12wxytsn2221()(1)wnsss则拒绝域为： ； 2|()Ct0.2514.8t经计算得： ， 1.35ws 0.25|1.3.()tt故接受 H0,即认为两个总体的均值没有显著差异 -
20、14.已知 ， ，其中 且 ，求： 。(),()PAaBb().7PAab.3a()P(A)B和解 ， 0， ()()()B， 0.3PABa()()1()0.3PAa15.某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材，数量（株）之比为 ，甲、乙、丙三地药材中优等品7:35率分别为 21%，24%，18%，若从该公司收购的药材中任取一株，如果取到的药材是优等品，求它恰好是从乙地收购来的概率是多少？解 设 分别表示甲，乙，丙地药材， 表示优等品， 123,AB则根据贝叶斯公式有 22231 30.24()|)15(|) 0.237. .18iiiPBA 16.设连续型随机变量 的概率密度函数 ，求： 常数
21、 ； X其 它,0),()2xaxf ； 的分布函数 ； 期望 ，方差 。1()2PX()FEXD解（1） ， 1231()()()fxdxdx 34（2） 122354PX第 11 页 共 18 页（3） 3011()42xFx（4） （奇函数且积分区间对称） 12()()04EXxfdxd221315x()5D17.某车间有同型号的机床 200 部,每部机器开动的概率为 0.7,假定各机床开关是相互独立的,开动时每部机器要耗电能 15 个单位,问电厂最少要供应该车间多少单位电能,才能以 95%的概率保证不致因供电不足而影响生产? 95.06.1解 设 表示某一时刻机器开动的台数,则 服从
22、，设电厂至少要供应 个单位的电能,则XX)7.0,2(Bx由题意,有. 9501xP由棣莫弗-拉普拉斯定理,有 3.072153.07215xXPx. 950421x， . 65.1420x 256019.0x故至少须向该车间供应 2261 个单位的电能,才能以 95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.18.设总体 X 的密度函数为： ， 是来自总体 X 的样本，求0xfx其 它 nX,21参数 的矩估计和最大似然估计。 第 12 页 共 18 页解(1) EX= = 21niX的矩估计 ， 12nii(2) L( )= inX1)(ln L( )= n ln + )(iil0) L(l的极
23、大似然估计 1ln1iiX19.某医院从 2009 年的新生儿中随机抽出 20 个,测得其平均体重为 3160 克.样本标准差为 300 克,而根据 2008 年资料 ,新生儿平均体重为 3140 克,问 2009 年与 2008 年新生儿体重均值有无显著差异? (设体重服从正态分布,取 ), 09.2)1(,05.2.t解 设 为 2009 年新生儿的体重, 则由题意可设 , 本题是要求在显著性水平X )(2NX下检验假设:05.(其中 ) 010:,H3140由于 未知, 故采用 t 检验, 取检验统计量为 , 拒绝域为 . 2 nsxt/)1(|2ntC已知 所以,30,16,0sxn，
24、 )19(.2159/43| 025.tt 故接受 , 即在显著性水平 0.05 下认为 2009 年新生儿的平均体重与 2008 年的没有显著差异. 0H20.若事件 相互独立，且 ， ，求 .,AB()0.4PA()0.6B(),PAB解 ()(P第 13 页 共 18 页()(0.641P)13ABP()()0.4()35AB21.某厂有 4 条流水线生产同一批产品，产品分别占总量的 15%，20%，30%，35%，且四条流水线中，不合格品率依次为 0.05，0.04，0.03，0.02，现从中任取一件，求取到不合格品是第一条流水线生产的概率是多少？ 解 设 第 条流水线生产的产品， ，
25、 取到不合格品，i1,234iB则由贝叶斯公式有， 114()| 0.5(| 0.230.5.5iiiPAB 22.设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 ，求： 常数 ； P( )； 其 他,01)(xkxf k41x 的分布函数 ；期望、方差 。X()Fx,EXD解 （1） ， 10fdk32k（2） 1437()28Px（3） 1023xxF（4） 03()25EXfdx122 37xd()75D23.设二维随机向量（X，Y）的概率分布为求 X，Y 的边缘分布，并讨论 X，Y 的独立性； P（XY） ；YX10 20.3 0 0.31 0.1 0.2 0.1第 14 页 共 18 页在
26、X=1 的条件下，Y 的条件分布；=X+|Y|的概率分布。解（1） X -1 1 Y -1 0 2P 6.04. P 44.60)1()(3),( XPYX 与 Y 不独立。 （2） 3.),()1,()(YP（3） 41.0)(1XP2)0(XY41P（4） X+|Y|-1 0 1 2 3P 3.501.24.某单位有 120 个电话分机，每个分机有 5%的时间使用外线，假设各分机使用外线与否是相互独立的，试用中心极限定理计算，使用外线的分机的个数 在 6 至 12 个之间的概率。 （2.5）=0.9938。解 B（120，0.05） 7.5,6npq).12.7.5()126( P).60
27、( )0(5.=0.9938-0.5 =0.493825.设总体 X 的密度函数为： , 其中 为未知参数，其 他,01,),(1xxf 0是来自总体 X 的样本，求参数 的矩估计和最大似然估计。 n,21 第 15 页 共 18 页解 (1) , 1),()(10 dxdxfXE令 ,解得 矩估计量为 . 12X(2) 设 是相应于 的样本，则似然函数为nx,21 nX,21.,0,2,1,)(),()( 1211 其 它 nixxfL innii 当 时, ,并且ixi,0)(Lniixn1ll2l令 , 0ll1niixdL解得 的极大似然估计量为. 21lniiX26.某种电子元件的寿
28、命 服从正态分布 ，其中 均未知，现测得 只元件的寿命的2N，2，16样本平均值 ，样本均方差 。问是否有理由认为元件的平均寿命大于 。 （24.5x98.73s 240， ） 0.1.013t解 由题设 服从 ，且 未知X2N，2， 04H，140由于 未知，选择 检验法T当 成立时，有 服从 02/Xsn1t又由 ，.10.51.34t而由已知， ，2x987s第 16 页 共 18 页则 241.509873/6t.1.34故 接受 ，拒绝 ，即 认为元件的平均寿命不大于 240。0H127. 对一架飞机进行三次快速独立实验，命中率为 0.6，而飞机中一弹、中二弹、中三弹被击落的概率分别
29、为 0.2，0.6，1.0，求射击三次后飞机被击落的概率。0.532829.设随机向量（X,Y）的联合分布律为：X Y -1 1 2-1 0.05 0.10 0.1 0.05 0.11 0.2 0.1 0.2若 X,Y 相互独立，求（1） ；（2）X,Y 的边际分布律；（3）X+Y 的分布律；（4） 。 YXE（1） .0（2）X -1 0 1P 0.25 0.25 0.5Y -1 1 2P 0.4 0.2 0.4(3) X+Y -2 -1 0 1 2 3P 0.1 0.1 0.25 0.15 0.2 0.2 (4) 0.1530.设 ，求正交矩阵 ，使 为对角矩阵.12AP1A第 17 页
30、共 18 页解 212(1)5EA的特征值为 123,5.对 ，求解12()0EAx1()2EA故对应的特征向量为： 12(,0)(1,0)TT正交化 1212(,)(,12),TT单位化.1 2(,0)(1,2)26T T对 ，求解 35EAx4102特征向量为 3(1,)T单位化 3,令 1231163(,),21063P.115PA第 18 页 共 18 页31设三阶实对称矩阵 的秩为 2， 是 的二重特征值。若A621A都是 的属于 6 的特征向量TTT )3,(,)1(,)01(32（1）求 的另一个特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵 。解：（1） 得A03设另一个特征向量为 Tx),(321),),(21T)1,(（2）11 0260 PA= 4232设 为三阶实对称矩阵，且满足 已知向量A02EA, ,0112是 对应特征值 的特征向量，求 ，其中 为自然数。AnA解: ，特征值 1、1、2， )2(E，特征向量 ，所以 T),0(10)2(011nnA.
