概率论教案

1、1,1.2 概 率,一、事件的频率与概率二、概率的定义三、概率的性质四、古典概型五、几何概型,2,(1)定义 在相同条件下进行了n次试验.其中事件A发生的次数nA 称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率.,(2)性质 0fn(A)1 fn()=1,fn()=0 若A1,A2, ,Ak是两两不相容的事件, 则fn(A1A2 Ak)=fn(A1)+fn(A2)+f(Ak),1.频率,(3)特点 波动性 稳定性,(一)事件的频率与概率,概 率 的 直 观 定 义,3,2.概率的统计定义,(1)定义 事件A出现的频率fn(A)在试验次数无限增大时，它逐渐稳定于某个数值p，此数值称为事件A出现的概率，记为P（A）。,(2)性质0P。

2、1,概率论与数理统计作业1（1.11.4）,设样本点 表示抛掷一颗骰子，出现i点数，i1,2,3,4,5,6. 则样本空间,解,2,3,（）,（）,4,五、电话号码由7个数字组成，每个数字可以是0、1、2、9中的任一个 （但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。,六、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。,七、将C、C、E、E、I、N、S等7个字母随机的排成一行，求恰好排成 英文单词SCIENCE的概率。,解:,解:,解:,5,解:,设事件 A 表示“最强的两队被分在不同的组内”，则,基本事件总数为：,事件 A 含基本事件数为。

3、,第七章,第二节,随机事件的概率,一、频率的定义与性质,二、概率的定义与性质,第一章,三、小结 课堂练习,1、问题的引入,一、频率的定义与性质,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.,1、问题的引入,一、频率的定义与性质,了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生。

4、第六章 概率论初步,第一节 随机事件与概率 第二节 条件概率与事件的独立性 第三节 随机变量及其分布 第四节 随机变量的数字特征 第五节 概率论在经济管理中的应用 第六节 概率论初步实验,客观世界中存在多种多样的现象，这些现象大体可以分两类一类是确定性现象，即在一定的条件下必然会发生或必然不发生的现象例如，向上抛一石子必然下落；在一个标准大气压下，纯净水加热到100时必然会沸腾；在一批合格的产品中任取一件必然不是废品等另一类是髓机现象，即在同样的条件下进行一系列重复试验或观测，每次出现的结果并不完全一样，而且在。

5、例：证明事件A与B相互独立的充要条件是,例：在1,2,3,4,5中任取一个数，记为X，再从1,X中任取一个数，记为Y。求 PY=3.,事件A与B独立，A和B都不发生的概率是1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A)。,由,设有来自三个地区各10名、15名、25名考生的报名表。其中女生的报名表各位3份、7份和5份。随机的取一个地区的报名表，从中先后取两份。（1）求先取到的一份是女生的表的概率。（2）已知后取到的一份是男生的表，求先取到的是女生的表的概率。,某生产线上每个产品不合格的概率为p,各产品与否是相互独立的。当出现一个不合。

6、概率论基础,概率论基础,1.1 事件与概率1.2 概率的基本性质1.3 条件概率与事件独立性1.4 随机变量及其分布,1.1 事件与概率,自然界和人类社会生产实践中的两类现象确定性现象：具有确定结果的现象不确定性现象/随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪种结果概率论研究的对象随机现象,例1.1 生活中的随机现象,生活中随机现象的例子抛掷一颗骰子，出现的点数一天内进入某超市的顾客数某一生产线生产出的灯泡的寿命某批产品的不合格率,1.1.1 随机试验与随机事件,随机。

7、习 题 课,答：随机变量的引入是概率论发展走向成熟的一个标志，它弥补了随机试验下的随机事件种类繁多，不易一一总结它们取值规律的缺陷，因为如果知道随机变量的分布，随机试验下任一随机事件的概率也随之可以得到；另则引入随机变量后，可以使用数学中的微积分工具讨论随机变量的分布。,问1：引入随机变量有何意义？,答：随机变量的分布函数刻划了随机变量的取值规律，不管是连续型还是离散型或既不是连续型又不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值规律；而分布律只能描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能描述连续型随机。

8、第十八次课 5.2 中心极限定理,引入:由大数定律可知,独立同分布的随机变量序列Xn有,(这是辛钦大数定律),注:这仅仅是极限为1,那么如何计算,习题小结,一、勒维中心极限定理 设X1,X2, Xn独立同分布,且EXi=,DXi=2(i=1,2, )则,标准正态分布的分布函数,证明:大量的研究表明:如果一个随机变量可以表示为大量独立随机变量的和: ,其中每一个别随机变量对于总和只起微小作用.,例1.计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的误差是相互独立的随机变量,并且都在区间-0.5,0.5上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值。

9、全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯公 式,第一章 概率论的基本概念,1.5 全概率公式与Bayes公式,信息工程学院,定义 设A、B是两事件,且P(A)0,称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率,1.条件概率,(一)条件概率 概率乘法公式,1.5 全概率公式与Bayes公式,全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯公 式,例2 某一产品一盒共10只,其中有3只次品.从中取两只,每次取一只,作不放回抽样.求:第一次取到次品后,第二次取到次品的概率.,求条件概率的方法： （1）缩小样本空间：在样本空间S缩小的样本空间SA中考察事件B发生的概率。 （2）用条件概率的公式。,全 概 率 公 式 。

10、13条件概率与事件的独立性,一、条件概率,为了加以区别，将后者定义为条件概率，即在事件A（合格品）发生的前提下，事件B（一等品）发生的条件概率。记作：(B|A),例1：100个产品中有60个一等品，30个二等品，10个废品。若要求整批产品中的一等品为 合格品中的一等品,第四次课,为了得出条件概率的计算公式，在上例中，写出(A)，(AB)，并说明它们的意义。,于是，得到条件概率的定义。,1.定义：设A、B为任意两个随机事件，且(A)0，则有事件A发生的前提下，事件B发生的条件概率例2：全年级100名学生中，有男生（用事件A表示）80人，女生20人，。

11、5 条件概率,一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式,条件概率,定义：对事件 A、B，若 ，则把称为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，简称条件概率.,相对地，有时把概率P(A)、 P(B)称作无条件概率.,事实上，P(A|S) = P(A)，P(B|S) = P(B).,例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）,例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；,例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某。

12、*概率的公理化定义和概率的确定方法*概率的性质 性质1：两个相互对立事件的概率之和为1 P(A)+P( )=1 性质2：不可能事件的概率为0 P()=0 性质3：若AB P(A-B)=P(A)-P(B)，P(A)P(B) 特殊情况AAB P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) 性质4：P(A U B)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 性质5：条件概率 P(B)0 性质6：如事件A与B相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B) 性质7：如事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下事件A的条件概率P(A B)等于事件A的(无条件)概率P(A),*均值E(X)、方差Var(X)、标准差*指数函数分布,均值与方差的运算性质,设a,b,C都是常数，X为随机变量。

13、小知识：函数,定义：函数,称为 函数。,性质：（1）收敛性：广义积分,（2）递推公式：,对所有s 0 均收敛。,（3）（s）（1-s）=,(n+1)=n!,(s+1) = s (s)（s0）.,由此公式得：,(1/ 2) =,所以(s)的定义域是(0,+);,4、三种常用的分布,（1）2分布,称Y服从参数为n的2 分布，记为 Y 2(n).,定义：若随机变量Y的概率密度函数为,（其中参数n也称为2分布的自由度。）,n大,性质：,上分位点,则称点t 为2(n)分布的上分位点,记为2 (n)。,当n40时，可查表（P 304）；,其中Z 是 N(0,1) 的上分位点。,对于给定的正数(01),若存在点t 使得,当n 40时，有近似公式。

14、第五章 大数定律及中心极限定理,1 大数定律,2 中心极限定理,第五章 大数定律与中心极限定理,契比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,切比雪夫不等式,得,切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。从切比雪夫不等式还可以看出, 对于给定的 0, 当方差越小时，事件|X-E(X)|发生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量当D(X)已知时，切贝雪夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于 的概率的估计值,切比雪夫不等式的用途：（1）证明。

15、2020/2/8,1,概率论与数理统计,2,概 率 论,3,第三章 多维随机变量及其分布,关键词：二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度,4,1 二维随机变量,问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的。

16、离散型随机变量的概率分布 随机变量的分布函数 连续型随机变量的概率密度 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,随机变量,返回主目录,1 随机变量,第二章 随机变量及其分布,一随机变量的概念,例 1,袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球， 观察取出的3只球中的黑球的个数,1 随机变量,返回主目录,例 1（续）,我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为1， 2，3 因此， X 是一个变量 但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值 带有随机性， 所以，我们称 X 为随机变量,第二章 随机变量及其分布,1 随机变量,返回主目录,该。

17、第一章 随机事件与概率第一节 随机事件教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。教学内容：1、随机现象与概率统计的研究对象随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。2、随机试验（E）对随机现象的观察。特点试验可在相同条件下重复；试验的所有可能结果不只一个，。

18、概率论与数理统计,讲授 柳庆新,河海大学数学系列基础课程CAI,本课程与其他数学基础课的关系,微积分 线性代数,序 言,一.确定性数学 初等数学、高等数学(微积分)、线性代数等 二.随机数学-以概率论为代表1.赌博 人口统计 出生率 性别等2.非确定性现象: 抛硬币 掷骰子 发大水等3.研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 -概率论,三.理论联系实际最活跃的学科,1.应用性: 概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军 事、科技等领域2.渗透性: 与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性。