1、第十八次课 5.2 中心极限定理,引入:由大数定律可知,独立同分布的随机变量序列Xn有,(这是辛钦大数定律),注:这仅仅是极限为1,那么如何计算,习题小结,一、勒维中心极限定理 设X1,X2, Xn独立同分布,且EXi=,DXi=2(i=1,2, )则,标准正态分布的分布函数,证明:大量的研究表明:如果一个随机变量可以表示为大量独立随机变量的和: ,其中每一个别随机变量对于总和只起微小作用.,例1.计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的误差是相互独立的随机变量,并且都在区间-0.5,0.5上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率. 解:设随
2、机变量Xi表示第i个加数的取整误差,则Xi在区间-0.5,0.5上服从均匀分布XiU-0.5,0.5,并且有,例2.设有30个电子器件,它们的使用寿命分别为T1,T2, ,T30,且都服从参数=0.1(单位/小时)的指数分布,其使用情况是第一个损坏,第二个立即使用;第二个损坏,第三个立即使用等等,令T为30个器件使用的总计时间,求T超过350小时的概率. 解:由于Ti服从指数分布,且参数=0.1 TiE(0.1),例3.设X1,X2, Xn, 为独立随机变量序列,且Xi(i=1.2)服从参数为的指数分布,则:,例4.已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2),求这本书印刷
3、错误不多于70的概率. 解:设Xi表示第i页中印刷错误的个数,由勒维中心极限定理,二、德莫威尔拉普拉斯定理 当Xi独立同分布.且XiB(1,P),对任意的实数X. 有,2.常用的三种公式,例5.某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互独立的,求: (1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率 (2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于0.99 解:已知n=200,p=0.75,q=0.25,np=150,npq=37.5 (1)设随机变量X表示任一时刻正在工作的机器的
4、台数,(2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则,例6.试用切比雪夫不等式估计:废品率为0.03,1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率 解:设随机变量X表示废品的个数，则,由切比雪夫不等式,所求概率不小于0.709,解二:用德莫威尔拉普拉斯定理,所求概率不小于0.936 显然,拉普拉斯定理比切比雪夫不等式精确,习题五,一、填空题 1.随机变量,由拉普拉斯定理,2.设X1,X2, ,Xn为独立同分布的随机变量,且,由拉普拉斯定理,4.设X1,X2, ,Xn, 为独立随机变量,且Xi(i=1,2, )服从参数为的泊松分布,则,解:XP() 泊松分布 EX= DX=2 由勒维中心极
5、限定理,5.设随机变更X的分布律为,三、1.利用切比雪夫不等式确定当掷一枚均匀硬币时,需掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4-0.6之间的概率不小于99%. 解:随机变量X表示投n次硬币出现正面的次数,等可能事件,正、反面的概率各占0.5,至少掷250次才能保证使得正面出现的频率在0.40.6之间的概率不小于99%,2.随机变量Y是另一个随机变量X的函数,且Y=ex(0) , 若EX存在,则对任何实数a,有,4.一部件包括10部份,每部份的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05mm,规定总长度为(200.1)mm时产品合格,试求产品合格的概
6、率.,由独立同分布的中心极限定理,5.某商店负责供应某地区1000人的商品,某种商品任一段时间内,每人需用一件的概率为0.6,假定在这一段时间内每人购买与否彼此无关,问商店至少应预备多少件商品才能以99.7%的概率保证不会脱销? 解:设随机变量X表示某段时间内1000人中需用一件商品的人数,则XB(1000,0,6) EX=nP=600 DX=npq=240 设应预备n件商品,则,由拉普拉斯定理 XN(600,240) P(0Xn)=0.997,应预备643件,6.一家保险公司接受多种项目的保险,其中一项为老年人寿保险,假设一年中有10000人参加此项保险,每人每年需付保险费20元,在此项保险
7、中,每人的死亡率为0.016,死后家属可向保险公司领得1000元,试求保险公司在此保险中亏本的概率. 解:设随机变量X表示投保的10000人中一年内死亡的人数,则,由拉普拉斯定理,保险公司亏本的概率为,习题三,一、填空题 1.设随机变量X与Y相互独立且具有同一分布律,则随机变量Z=max(X,Y)的分布律；V=min(X,Y)的分布律；U=XY的分布律。 解：X，Y相互独立,Z=0=X=0,Y=0,Z=max(X,Y)的分布律,V=1=X=1,Y=1,V=min(X,Y)的分布律,U=1=X=1,Y=1,U=XY的分布律：,2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布。则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数fY(y)= 解：,3.设平面区域D由曲线 及直线y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机向量（X，Y）在区域D上有服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值,4.设随机变量X，Y同分布，X的密度函数为,设A=Xa与B=Ya相互独立，且 ，则a=,二、选择题 1.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：,则下列各式中成立的是,4.设离散型随机向量（X，Y）的联合分布律为,若X与Y独立，则，的值：,解：将表重新排列,
